一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。——爱因斯坦

古典时期学者们的数学工作的精华，幸运地在欧几里得和阿波罗尼斯两个人的著作中流传到今天。从生活年代来说，两人都属于希腊历史上第二个大分期，即亚历山大时期。但他们的著作的内容和精神都是属于古典时期的。

欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年），出生于雅典的古希腊数学家，欧氏几何开创者，被称为“几何之父”。年轻时在柏拉图学院求学，后应托勒密王邀请在埃及的亚历山大城办学授徒，并于公元前300年完成《几何原本》的编著。

《几何原本》共分13卷，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，基本囊括了从公元前7世纪一直到公元前4世纪前后总共400多年的数学发展历史，并使几何学成为一门独立的、演绎的科学——欧氏几何。

《几何原本》开创了基于公理化基础、利用演绎逻辑推导出结论（定理）进而建立系统化知识体系的方法——公理化方法，成为后来2000多年间建立任何知识体系必须遵守的严密思维的范式。牛顿的《自然哲学之数学原理》即照此范式写成。

最早的中译本是1607年(明代万历35年)由意大利传教士利玛窦和徐光启合译出版的，只译了15卷本的前6卷，它是我国第一部数学翻译著作。取名为《几何原本》，中文“几何”的名称就是从这里开始的。而后9卷的引入是在两个半世纪后的1857年由清朝的学者李善兰和英国人韦列亚力翻译补充的。

二、《几何原本》里的定义和公理

1、点是没有部分的那种东西。

2、线是没有宽度的长度。（注：线这个字指曲线）

3、一线的两端是点。（注：书中没有无限伸展的线）

4、直线是同其中个点看齐的线。（注：书中直线指线段）

5、面是只有长度和宽度的那种东西。

6、面的边缘是线。（注：所以是有界的）

7、平面是与其上直线看齐的那种面。

8~14 平面角、平角、直角与垂线、钝角、锐角、边界、图形（略）

15、圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点连到该线的所有直线都彼此相等。

16、于是那个点便叫圆的中心（简称圆心）

17、圆的一直径是通过圆心且两端终于圆周的任一直线，而且这样的直线也把圆平分。

18~22 半圆、直线形（三角形、四边形、多边形）、等边./等腰/不等边三角形、直角/钝角/锐角三角形、正方形/矩形/菱形/平行四边形/梯形（略）

23、平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。

1、从任一点到任一点作直线（是可能的）。（注：隐含假定是唯一的）

2、把有限直线不断循直线延长（是可能的）。（注：隐含假定是唯一的）

3、以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）

4、所有直角彼此相等。

5、若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相较于该侧的一点。（注：这条是欧几里得自己得出的，也是引发故事最多的）

1、跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

2、等量加等量，总量仍相等。

3、等量减等量，余量仍相等。

4、彼此重合的东西是相等的。

三、《几何原本》各卷内容

48个命题，关于全等形的一些定理，平行线、毕达哥拉斯定理、初等作图法、等价形（面积相等的图形）和平行四边形。其中命题47是毕达哥拉斯定理。

卷2：几何代数的基本原理

14个命题，突出内容是对于几何代数法的贡献，即用线段代替数来处理无理数，包括平方和公式（命题4）、一元二次方程求解（命题6）等都化作了几何问题。命题1~10可视为代数恒等式的几何版，命题12和13即余弦定理。

卷3：与圆有关的平面几何

37个命题，先给出圆的11个几何定义，然后讨论弦、切线、割线、圆心角、圆周角等。其中命题3是垂径定理，命题16讨论了牛头角问题，命题22关于四点共圆，命题32是弦切角定理，命题34是相交弦定理，命题36是切割线定理。

卷4：与圆有关的直线图形的做法

16个命题，先给出7个定义，然后论述圆的内接和外切图形，如三角形、正方形、正五边形和正六边形。命题4是三角形内心，命题5是三角形外心，命题10做底角是顶角两倍的等腰三角形，命题16是如何在一给定圆内作正十五边形。

根据欧多克索斯的工作而写的卷5被人认为是欧几里得几何的最大成就，与《几何原本》的其它内容相比，它的内容被人讨论得最多，它的意义被人争论得最激烈。

该卷先对比例给出了18个定义，其中定义5就是欧多克索斯为了处理无理数而提出的新比例论。然后就证明关于量和量之比的25个命题，欧几里得用线段来说明量，以帮助读着理解定理和证明的意义，但这些定理是适用于所有各种量的。

不过，欧几里得并没有有理数的概念可供他建立无理数的理论。比例论的严格性是经不住批评的。

33个命题，命题4是相似三角形判定法则，命题8是射影定理，命题19是说相似三角形面积之比等于对应边长的平方之比，命题27给出了一个矩形面积最大值的几何求法并演员能推导出周长相同的矩形中正方形面积最大，命题28和29是一元二次方程的几何解法，命题30是黄金分割。

一般认为这3卷的命题属于毕达哥拉斯学派。在这3卷中的许多定义和定理，特别是关于比例的那些，重复了卷5中的内容。对此原因有各种说法，归根结底还是数与量、有理数与无理数的理论当时还不完备。

22个定义中有奇数、偶数、素数、合数、平方数、立方数、完全数等概念。

卷7有39个命题，命题2和3是求最大公因子，命题36和39是求最小公倍数，其余命题主要是关于代数的运算法则以及素数与合数的性质。

卷8有27个命题，讲连比例，即几何数列。

卷9有36个命题，其中有关于平方数和立方数、平面数和立体数的问题，还有另外一些关于连比例的定理。命题14是说质因数分解是唯一的，命题20指出质数的个数是无穷的，命题35是求几何数列之和，命题36是完全数的定理。

本卷中的无理量理论主要是特埃特图斯的贡献。开卷先定义了可公度量和不可公度量，并据此定义有理和无理。共有115个命题，其中命题1即阿基米德-欧多克索斯公理，命题111给出了13种无理线段。

卷11~13：立体几何

首先定义了二面角、平行平面、相似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、正十二面体及其它立体形。其中除正多面体外，书中其它立体图形都是从平面图形绕一轴旋转而得出的。

卷11有39个命题，只考虑平面元素所形成的立体形，头19个讲直角和平面的性质。相关定义和证明有缺陷。

卷12有18个关于面积和体积的命题，特别是关于曲线和曲面所围形体的面积和体积。本卷的主要思想是得自欧多克索斯的穷竭法。穷竭法是严格的，它依赖于间接证法，因而避免了用极限。实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。

卷13有18个命题，将正多边形本身的性质及其内接在圆内时的性质，并论述怎样把五种正多边形内接于一个球的问题。还证明了（凸的）正多面体不能多于五种（命题18），证明的方法依赖于卷11命题21，即立体角各面角之和必小于360度。

四、《几何原本》的优缺点

《几何原本》对数学发展的影响超过任何别的书。读了这本书之后，可以对数学本身的看法、对证明的想法、对定理按逻辑次序的排法，都能学有所获。

本书的陈述方式：公理——定义——定理，是欧几里得独创的，定理的编排从简单到复杂。而且书中只列入了最重要的定理。

欧几里得对公理的选择非常出色，对平行公理的处理特别聪明。

主要的缺点：1、使用了重合法，而这用了运动的概念，并且默认移动不改变性质，这需要对物理空间假定很多条件。2、有些定义含糊其辞而另一些无关宏旨。3、用了数十个不自觉作出的假定；4、用特例证明一般性的定理。

瑕不掩瑜，《几何原本》被广泛认为是历史上最成功的教科书，对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的思维方式都有无与伦比的影响。

五、欧几里得的其它数学著作

其中仅次于《几何原本》的是《二次曲线Conics》，其后成为阿波罗尼斯《圆锥曲线》前三篇的主体内容。（失传）

《数据》是除《几何原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《几何原本》前6卷相近，包括94个命题。指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。

《辨伪术》含有正确和错误的几何证明，目的是训练学生之用。（失传）

《论剖分》是论述把所给图形剖分为其它图形的。

《衍论》主要关于实际绘制那些存在性不成问题的几何对象。（失传）

《曲面-轨迹》可能是讲形成曲面的一些轨迹的。（失传）

《现象》是天文学教本，其中有关于球面几何的18个命题以及关于匀速旋转球的其它命题。

【人物故事】一位学生曾这样问欧几里得：“老师，学习几何会使我得到什么好处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点钱给这位学生。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。

虽然刘瑞祥老师早就告诉我他要把《欧几里得几何原本》整理一下，当我从微信里得到这个电子版书时还是有些意外。没想到他会花这么大精力，然后发布出来，免费让大家分享。当然这部电子书不是他自己翻译的。但是他在整理过程中参考了多个翻译版本，并尽量把原来的翻译错误都纠正过来，他是花费了大量的心血。他在文中加入了很多他自己的理解。由于是HTML版本，他还增加了大量的URL连接，方便读者阅读。对于一个非数学工作者来说，这是一件了不起的事情。（刘老师是一位初中劳动与技术课程教师。我在2017年4月2日的介绍过他的博文。科学网不允许他开博，实在遗憾。）

这部电子书有以下几个特点：

1. 将全书正文全部输入，同时对已经发现的错误进行了修正，其中2003年版印刷、校对方面的错误很多，2014年版好一些，也有部分错误。

2. 全书图形采取几何画板第五版绘制，并复制到“画笔”中以png格式存储。

3. 增加了注解，其中包括部分几何专著、网络及自己的评语，并尽量给出了出处，部分没有列出的敬请版权方原谅，比如关于连续性的说明，以及对毕达哥拉斯定理（勾股定理）的说明。

4. 补充了部分命题，比如直角三角形斜边上的高一定交于斜边内部、三角形三条高线交于一点、等底的三角形面积之比如同其高的比、九点圆定理，等等。

5. 对证明每个命题用到的定理、公理、定义，给了相关链接，而且补充了原书没有列全的依据。

6. 每个命题下面给出了这个命题在什么地方用到的链接。

7. 对于第十卷等及其它一些地方出现的数学公式，大多用CSS技术以文本方式表现，并用到了Symbol字体，个别难以用文本实现的用了图片（比如辗转相除法的过程）。

刘老师是一位严谨的人。他对数学的严谨表达特别重视。他曾经给我看他写的一本《几何小科普》PDF文本，让我体意见。我通篇阅读了，并提了一些建议。也不知道他后来是如何处理他的作品的。很可能还在继续编写呢。我还读过他的几篇有关平面几何问题的作品，发现他都是尽量避免第五公理，显然是深受欧氏的影响。另外在他的关于尺规作图的讨论中也体现了他深受欧氏的影响。这里就不展开介绍了。

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