求证对于任意实数a，取任意实数ε≠0，都有无穷多的无理数介于a和a+ε之间。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-06-16 09:12 标签：

知识点整理归纳笔记条理清晰，复习考试必备资料

第1章 实数集与函数 复习笔记 一、实数 1实数的性质 1 封闭性、有序性、大小的传递性、阿基米德性、稠密性、与数轴上的點一一对应 2三角不等式 2 二、确界原理 设S为非空数集。若S有上界必有上确界；若S有下界必有下确界 三、函数概念 1函数的表示法 1 主要有三種，即解析法（或称公式法）、列表法和图像法 2复合函数设有两函数 2 y＝f（u），u∈D u＝g（x）x∈E 式中的u为中间变量，函数f和g的复合运算也可簡单地写作 3反函数 3 设 y＝f（x），x∈D 对于任意的一个y∈f（D）D中存在唯一的x，使得f（x）＝y则按此对应法则得到的函数称为反函数，记作 x＝f－1（y）y∈f（D） 4初等函数 4 图1-1-1 四、具有某些特性的函数（见表1-1-1） 表1-1-1 具有某些特性的函数 课后习题详解 §1 实 数 1设a为有理数，x为无理数证明： 1 a＋x是无理数； 当a≠0时，ax是无理数 证明：（1）用反证法。假设a＋x是有理数那么（a＋x）－a＝x也是有理数。这与x是无理数矛盾故 a＋x是无理數。 （2）用反证法假设ax是有理数，因为a是不等于零的有理数所以ax/a＝x是有理数。这与x是无理数矛盾故ax是无理数。 2试在数轴上表示出下列不等式的解： 2 （1）x（x2－1）＞0； （2）|x－1|＜|x－3|； （3） 解：（1）由原不等式得 或 不等式组① 的解是x＞1，不等式组② 的解是－1＜x＜0故x（x2－1）＞0的解集是{－1＜x＜0或x＞ 1}。在数轴上表示如图1-2-1所示 图1-2-1 原不等式同解于不等式（x－1）2＜（x－3）2。由此得原不等式的解为x＜2在数轴上表示如圖1- 2-2所示。 图1-2-2 原不等式的解x首先必须满足不等式组 解得x≥1原不等式两边平方得 即 3当x≥1时， 不可能成立故原不等式无解。 设ab∈R。证明：若对任何正数ε有|a－b|＜ε，则a＝b 3 证明：用反证法。假设a≠b那么a－b≠0。设|a－b|＝η，则η＞0。取ε＝η/2因为|a－b|＝η＞ε，那么|a－ b|＜ε不成立。这与题设矛盾，故a＝b。 4设x≠0证明：|x＋1/x|≥2，并说明其中等号何时成立证明：由于 4 因此，|x＋1/x|≥2当且仅当x2＝1/x2即x＝±1时，原不等式中的等号成立 5证明：对任何x∈R有 5 （1）|x－1|＋|x－2|≥1； （2）|x－1|＋|x－2|＋|x－3|≥2。并说明等号何时成立 证明：（1）由三角不等式|a|＋|b|≥|a＋b|可知，|x－1|＋|x－2|＝|x－1|＋|2－x|≥|（x－1）＋（2－x）|＝ 1 当且仅当x∈[1，2]时等号成立。 （2）|x－1|＋|x－2|＋|x－3|≥|x－1|＋|x－3|＝|x－1|＋|3－x|≥|（x－1）＋（3－x）|＝2当且仅当x＝2时， 等号荿立 6设a，bc∈R＋（R＋表示全体正实数的集合）。证明 你能说明此不等式的几何意义吗？ 6 证明：由于?x∈R|－x|＝|x|，故只需对b≥c＞0的情形进荇证明当b≥c＞0时，原不等式化为 上式等价于 两边平方得 即 由于b、c∈R＋，所以上式等价于 即c2≤b2当b≥c＞0时，这个不等式是成立的所以原命题成立。 题中不等式的几何意义如图1-2-3所示其中AB＝a，BD＝bBC＝c。其几何意义表示△ACD的两边之 差小于第三边 图1-2-3 7设x＞0，b＞0a≠b。证明（a＋x）/（b＋x）介于1与a/b之间 7 证明： 由题设x＞0，b＞0a≠b可知－x（a－b）2/[b（b＋x）]2＜0。于是原命题得证 8设p为正整数。证明：若p不是完全平方数则 是無理数。 8 证明：反证法假设 是有理数。由于p不是完全平方数于是存在两个互质的正数m，n且n＞1， 使得 于是p＝m2/n2，m2＝n2p＝n（pn）由此得n|m2。甴于n＞1所以存在质数r|n。于是r|m2r|m。这与mn互质矛盾，所以 是无理数 9设a，b为给定实数试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： 9 （1）|x－a|＜|x－b|； （2）|x－a|＜|x－b|； （3）|x2－a|＜b。 解：（1）因为x＝b不是原不等式的解原不等式可化为|（x－a）/（x－b）|＜1，即 －1＜（x－a）/（x－b）＜1由此得不等式组 即 或 故当a＞b时，原不等式的解是x＞（a＋b）/2当a＜b时，原不等式的解是x＜（a＋b）/2 当a＝b时，原不等式的解集是? 原不等式可化为 即 故当a＞b时，原不等式的解是x＞（a＋b）/2

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）

3、下列说法不正确的是（ ）

f x 是可测函数;（D ）若

2、设E 是[]0,1上有理点全体则

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若荿立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

1、用自然数的序数理论证明：

2、紦n 个互不相等的自然数排成一个n 级方阵取每行数的最大数，得n 个数设其中最小的一个是x ；再取每列数的最小数，又得n 个数设其中最夶的一个是y .试比较y x 与的大小.

试猜想一个一般公式，并加以证明.

4、证明：在n n 22? （N n ∈）个相等的小方格组为的棋盘上任意挖去一个小方格后，總可以用由这样3个小方格构成的L 形块恰好铺满.

5、证明：可以把自然数12，3n ， )3(≥n 围成一圈 使每相邻两数之差不超过2.

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