处理数字图像的离散域时，可以用图像的一階差分来代替图像函数的导数定义二维离散图像函数在 X 轴方向的一阶差分为：

Y轴方向上的一阶差分定义为：

利用图像灰度的一阶导数算孓在灰度值变化显著的地方得到的极值来检测边缘点。它在某一个点的值就代表了该点的边缘强度值可通过设置阈值来进一步得到边缘圖像。但用差分的方法进行边缘检测必须使差分的方向和边缘的方向相垂直这就需要对图像的不同方向分别进行差分运算，增加了运算量一般可将边缘分为水平边缘、垂直边缘和对角线边缘：

显然，差分边缘是最原始、最基础的方法这种算子具有方向性，并且由于计算不方便等原因在现在已经很少应用了，但其思想还是很多其他算法的基础

Reboerts算子是一种利用局部差分来寻找边缘的算子，Roberts 梯度算子所采用的是对角方向相邻两像素值之差算子形式如下：

Roberts梯度算子对应的卷积模版为：

用以上两个卷积算子与图像运算后，可求出图像的梯喥幅值 G ( x,y)然后选择

算子采用的是用对角线方向上相邻两像素的差近似梯度幅值来检测边缘，它的定位精度高对于水平和垂直方向的边缘，检测效果较好而对于有一定倾角的斜边缘，检测效果则不理想存在着许多的漏检。另外在含噪声的情况下，Roberts 算子不能有效的抑制噪声容易产生一些伪边缘。因此该算子适合于对低噪声且具有陡峭边缘的图像提取边缘。

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯喥幅值检测边缘检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高对噪声敏感

Sobel算子在二阶边缘检测算子子扩大了其模版，在边缘檢测的同时尽量削弱了噪声其模版大小为3×3，其将方向差分运算与局部加权平均相结合来提取边缘在求取图像梯度之前，先进行加权岼均然后进行未分，加强了对噪声的一致Sobel算子所对应的卷积模版为：

 图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算後，再计算得到

算子在空间上比较容易实现不但产生较好的边缘检测效果，同时由于其引入了局部平均，使其受噪声的影响也较小若使用较大的邻域，抗噪性会更好但也增加了计算量，并且得到的边缘比较粗在对精度要求不是很高的场合下，Sobel 算子是一种较为常用嘚二阶边缘检测算子法

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同 Sobel 算子相似Prewitt 算子也是一种将方向的差分运算和局部平均相结合的方法，也是取水平和垂直两個卷积核来分别对图像中各个像素点做卷积运算所不同的是，Sobel 算子是先做加权平均然后再微分Prewitt 算子是先平均后求微分，其对应的卷积模版为：

图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算后再计算得到

Prewitt 算子通过对图像上的每个像素点的八方向邻域的灰度加权差之和來进行检测边缘，对噪声有一定抑制作用抗噪性较好，但由于采用了局部灰度平均因此容易检测出伪边缘，并且边缘定位精度较低

Prewitt算子利用像素点上下、左右邻点灰度差，在边缘处達到极值检测边缘对噪声具有平滑作用，定位精度不够高

灰度方向 计算公式为：

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实际的应用中，通常都是利用简单的卷积核来计算方向差分的不同的算子对应着不同的卷积核。它们在图像的像素点上所产生的两个方向的偏导数用均方值或者绝对值求和的形式来近似代替梯度幅值然后選取一个合适的阈值，用所得到的梯度幅值和所设定的阈值进行比较来判断边缘点若大于所取的阈值，则判断为边缘点；否则判断为非边缘点。很显然在提取边缘的过程中，阈值的选取特别重要尤其在含噪图像中，阈值的选择要折衷考虑噪声造成的伪边缘和有效边緣的丢失

当Laplace算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区)原則上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率但是拉普拉斯算子在图像边缘检测中并不常用。主要原因有：任何包含有二阶导数的算子比只包含有一阶导数的算子更易受噪声的影响一阶导数很小的局部峰值也能导致二阶导数过零点，所以Laplace算子对噪聲具有无法接受的敏感性； Laplace算子的幅值产生双边元这是复杂的分割不希望有的结果;最后，Laplace算子不能检测边缘的方向为了避免噪声的影響，必须采用特别有效的滤波方法所以，人们提出了改进的功LOG算子

说明: 高斯平滑运算不但可以滤除噪声还会导致图像中的边缘和其它尖锐不连续部分模糊，而模糊程度取决于空间尺度因子σ 的大小σ 越大，高斯滤波對噪声的滤除效果越好但同时也会丢失重要的边缘信息，影响到边缘检测器的性能如果σ 较小，又可能导致平滑作用不完全而留有较哆的噪声因此在实际应用中，要根据情况选择适当的σ。

1986年Canny从二阶边缘检测算子子应该满足的三个准则出发，推导出了最优边

缘检测算子Canny算子该算子是目前理论上相对最完善的一种二阶边缘检测算子法。

Canny提出的评价边缘检测性能优劣的三个准则分别是:

（1）好的信噪比准则即将非边缘点判为边缘点的概率要低，将边缘点判为非边缘点的概率要低;

（2）好的定位性能准则即检测出的边缘点要尽可能在实際边缘的中心;

（3）单边缘响应准则。即单一边缘具有唯一响应单一边缘产生的多个响

应的概率要低，并且对虚假边缘的响应应得到最大抑制

利用Canny算子检测边缘的土体算法如下:

（1）用式所示的高斯函数h(r)对图像进行平滑滤波，去除图像中的噪声

（2）在每一点计算出局部梯喥和边缘方向，可以利用Sobel算子、Roberts算子等来计算边缘点定义为梯度方向上其强度局部最大的点。

（3）对梯度进行“非极大值抑制”在第②步中确定的边缘点会导致梯度幅度图像中出现脊。然后用算法追踪所有脊的顶部并将所有不在脊的顶部的像素设为零，以便在输出中給出一条细线

（4）双阐值化和边缘连接。脊像素使用两个闽值Tl和竹做阂值处理其中Tl<T2.值大于竹的脊像素称为强边缘像素，Tl和T2之间的脊像素称为弱边缘像素由于边缘阵列孔是用高闽值得到的，因此它含有较少的假边缘但同时也损失了一些有用的边缘信息。而边缘阵列Tl的閩值较低保留了较多信息。因此可以以边缘阵列几为基础，用边缘阵列Tl进行补充连接最后得到边缘图像。

Canny算子也存在不足之处:

（1）為了得到较好的边缘检测结果它通常需要使用较大的滤波尺度，这样容易丢失一些细节

（2）Canny算子的双阈值要人为的选取不能够自适应

實验在MATLAB R2007a平台下进行，实验的结果如下图所示：

几种二阶边缘检测算子子的比较

边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题边缘检测嘚目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化这些包括：深度上的不连续、表媔方向不连续、物质属性变化和场景照明变化。边缘检测是图像处理和计算机视觉中尤其是特征提取中的一个研究领域。图像边缘检测夶幅度地减少了数据量并且剔除了可以认为不相关的信息，保留了图像重要的结构属性有许多方法用于边缘检测，它们的绝大部分可鉯划分为两类：基于查找一类和基于零穿越的一类基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界，通常是将边界萣位在梯度最大的方向基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点

人类視觉系统认识目标的过程分为两步:首先，把图像边缘与背景分离出来;然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓计算机视觉正是模仿人类视觉的这个过程。因此在检测物体边缘时先对其轮廓点进行粗略检测，然后通过链接规则把原来检测到的轮廓点连接起来同時也检测和连接遗漏的边界点及去除虚假的边界点。图像的边缘是图像的重要特征是计算机视觉、模式识别等的基础，因此边缘检测是圖象处理中一个重要的环节然而，边缘检测又是图象处理中的一个难题由于实际景物图像的边缘往往是各种类型的边缘及它们模糊化後结果的组合，且实际图像信号存在着噪声噪声和边缘都属于高频信号，很难用频带做取舍

这就需要边缘检测来进行解决的问题了。邊缘检测的基本方法有很多一阶的有Roberts Cross算子，Prewitt算子Sobel算子，Canny算子 Krisch算子，罗盘算子；而二阶的还有Marr-Hildreth在梯度方向的二阶导数过零点。现在僦来简单介绍一下各种算子的算法

其中、、 分别为4领域的坐标且是具有整数像素坐标的输人图像;其中的平方根运算使得该处理类似于人類视觉系统中发生的过程。

      Sobel算子是一种一阶微分算子它利用像素邻近区域的梯度值来计算1个像素的梯度，然后根据一定的绝对值来取舍它由下式给出:

dy形成Sobel算子。一个核对通常的垂直边缘响应最大而另一个核对水平边缘响应最大。2个卷积的最大值作为该点的输出值运算结果是一幅边缘幅度图像。

Prewitt算子是3*3算子模板图3所示的2个卷积核dx ,dy.形成了Prewitt算子。与Sobel算子的方法一样图像中的每个点都用这2个核进行卷积，取最大值作为输出值Prewitt算子也产生一幅边缘幅度图像。

在这个2x2正方形内求有限差分的均值便于在图像中的同一点计算二和y的偏导数梯喥。幅值和方向角可用直角坐标到极坐标的坐标转化来计算:

M[i,j]反映了图象的边缘强度;反映了边缘的方向使得M}i,j}取得局部最大值的方向角，就反映了边缘的方向

Canny算子也可用高斯函数的梯度来近似，在理论上很接近4个指数函数的线性组合形成的最佳边缘算子在实际工作应用中編程较为复杂且运算较慢。

式中：G(x,y)是对图像进行处理时选用的平滑函数(Gaussian函数);xy为整数坐标; σ为高斯分布的均方差。对平滑后的图像fs(fs=f(x,y)*G(x,y))做拉普拉斯变换，得：

即先对图象平滑后拉氏变换求二阶微分，等效于把拉氏变化作用于平滑函数得到1个兼有平滑和二阶微分作用的模板，洅与原来的图像进行卷积用Marr-Hildreth模板与图像进行卷积的优点在于，模板可以预先算出实际计算可以只进行卷积。

LOG滤波器有以下特点:

(1)通过图潒平滑消除了一切尺度小于σ的图像强度变化;

(2)若用其它微分法，需要计算不同方向的微分而它无方向性，因此可以节省计算量;

(3)它定位精度高边缘连续性好，可以提取对比度较弱的边缘点

LOG滤波器也有它的缺点:当边缘的宽度小于算子宽度时，由于过零点的斜坡融合将会丟失细节

LOG滤波器有无限长的拖尾，若取得很大尺寸将使得计算不堪重负。但随着:r=的增加LOG滤波器幅值迅速下降，当r大于一定程度时鈳以忽略模板的作用，这就为节省计算量创造了条件实际计算时，常常取n* n大小的LOG滤波器近似n=3σ。另外，LOG滤波器可以近似为两个指数函數之差，即DOG ( Difference Of two Gaussians

Robert算子定位比较精确但由于不包括平滑，所以对于噪声比较敏感

Prewitt算子和Sobel算子都是一阶的微分算子，而前者是平均滤波后者昰加权平均滤波且检测的图像边缘可能大于2个像素。这两者对灰度渐变低噪声的图像有较好的检测效果但是对于混合多复杂噪声的图像，处理效果就不理想了

LOG滤波器方法通过检测二阶导数过零点来判断边缘点。LOG滤波器中的a正比于低通滤波器的宽度a越大，平滑作用越显著去除噪声越好，但图像的细节也损失越大边缘精度也就越低。所以在边缘定位精度和消除噪声级间存在着矛盾应该根据具体问题對噪声水平和边缘点定位精度要求适当选取。

讨论和比较了几种常用的二阶边缘检测算子子梯度算子计算简单,但精度不高,只能检测出图潒大致的轮廓,而对于比较细的边缘可能会忽略。Prewitt 和Sobel 算子比Roberts 效果要好一些LOG 滤波器和Canny 算子的检测效果优于梯度算子,能够检测出图像较细的边緣部分。不同的系统,针对不同的环境条件和要求,选择合适的算子来对图像进行边缘检测

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