& 等腰三角形的性质知识点 & “如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点...”习题详情
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如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直&，数量关系为相等&．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2013-惠山区一模
分析与解答
习题“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），...”的分析与解答如下所示：
（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
解：（1）①CF⊥BD，CF=BD&…（2分）故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD与△CAF中，∵{BA=CA∠BAD=∠CAFAD=AF∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°∴CF⊥BD&…（7分）（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G&&&&&&…（9分）则∵∠ACB=45°∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC，AD=AF，∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，∴∠GAD=∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）&&&&…（10分）∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°∴CF⊥BC&&&&&&&&&&&…（12分）
本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
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如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B...
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经过分析，习题“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），...”主要考察你对“等腰三角形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
与“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），...”相似的题目：
[2014o宜昌o中考]如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　） 30°
[2014o盐城o中考]一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（　　）40°50°60°70°
[2014o泉州o中考]如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=&&&&°．
“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点...”的最新评论
该知识点好题
1已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（　　）
2由下列条件可以作出等腰三角形的是（　　）
3如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AC上，且∠DBC=∠DBA=∠A，则∠A等于（　　）
该知识点易错题
1已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（　　）
2等腰三角形的两边长分别为2cm、4cm，则周长为（　　）
3在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为____，数量关系为____．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为____，数量关系为____．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．”相似的习题。全等三角形中常见的基本图形：；相似三角形中常见的基本图形：；1.已知一直角三角形的周长是4?26，斜边上的中；A、5B、3C、2D、1；2.有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5c；3.BE、CD是△ABC的高，F是BC边的中点，；DE；4.在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB；A、1＜AB＜29B、4＜AB＜24C、5＜AB；5.如图，在△AB
全等三角形中常见的基本图形：
相似三角形中常见的基本图形：
1.已知一直角三角形的周长是4?26，斜边上的中线长为 2，则此三角形面积是（
2. 有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能
3. BE、CD是△ABC的高，F是BC边的中点，求证：△DEF是等腰三角形。
4. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（
A、1＜AB＜29
B、4＜AB＜24
C、5＜AB＜19
D、9＜AB＜19
5. 如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是多少？
6. 若△ABC的三边分别为a、b、c，要使整式(a?b?c)(a?b?c)7. 根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（
） A、AB＝3，BC＝4，AC＝8；
B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C、∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；
D、∠C＝90，AB＝6
8. 如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D。求证：AC＝2BD。
?0，则整数m应为
9. 如图已知： △ABC中，BC=2AB，D、E分别是BC、BD的中点。求证：AC=2AE。
10. 如图已知： △ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF
11. 在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E?是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是
________．
12.在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于（
13. 下列判断中错误的是（
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
14. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC?绕点A沿顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF．下列结论：①AED≌△AEF；②ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（
15. 如图，Rt△ABC中，AB?AC，AD?BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（
） A．AB?BF
D．∠ABE?∠DFE
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD
与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE；
② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
17. 如图1，△ABC是直角三角形，如果用四张与△ABC全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形（如图2），那么在Rt△ABC中，
的值是_______．
18．如图，在等腰三角形ABC中，?ABC?120，点P是底边AC上一个动点，M，N 分别是AB，BC
的中点，若PM?PN的最小值为2，则△ABC的周长是（
19.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
②△EPF是等腰直角三角形；③SAEPF?
SABC；④EF=AP．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E?不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（
D．①②③④
20. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（
的位置，则点P2008的横坐标为_______．
22. 如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的关系式是（
） A、b?a?c
C、b2?a2?c2
D、b?2a?2c
23. 如图G是?ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则?AED的面积：四边形ADGF的面积= (
(A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2
24. 图为?ABC与?DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB // DE。若?ABC与?DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF= (
21. 如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2008
25. 如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （
26. 如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （
27.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（
28. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
29. 如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，
A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
30. 在平面直角坐标系中：
（1）若A点坐标为（1，1），在坐标轴上找一点P，使△POA为等腰三角形，这样的P?点有多少个？
（2）若A点坐标为（2，1），在y轴上找一点，使△POA为等腰三角形，这样的P?点有多少个？
（3）若A点坐标为（2，1），在坐标轴上是否存在P点，使△POA为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
31. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，?EC，?已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）请根据（2
的最小值．
32. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E，求证：AM=MD?ME．
33.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD?之间的位置关系为_____，数量关系为
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画
图不写作法）；
AC=4BC=3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，?求线段CP长
的最大值．
34. 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.
（1）求证：AB?AF＝CB?CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2. ①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.
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解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD∠ACF=∠ABD∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（4）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45°，AC=22，∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．设CD=x，∴DQ=2-x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°且∠ADE=90°，∴∠ADQ+∠PDC=90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°∴∠ADQ=∠DPC，∵∠AQD=∠DCP=90°∴△AQD∽△DCP，∴CPDQ=CDAQ，∴CP2-x=x2．∴CP=-12x2+x=-12（x-1）2+12．∵0＜x≤32，∴当x=1时，CP有最大值12．（1）可通过证明三角形ABC和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．（2）可通过构建三角形来求解．过点A作AG⊥AC交BC于点G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90°-∠CAD．AG=AC那么根据AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因为∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．因此△BAC满足∠BCA=45°时，CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解．图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出关于CP、CD、AQ、QD的比例关系，因为∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=4，如果设CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例关系，那么可得出关于CP和x的函数关系式，然后根据函数的性质和x的取值范围求出CP的最大值．