动力学基本方程的基本定律是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-07 21:45 标签： 动力学基本方程

相对论这个词对我们又熟悉又陌生，高大上的相对论理论对我们大多数人都是敬而远之，觉得它很神秘莫测，虽然中学物理就会涉及狭义相对论，却又觉得十分难以理解。可以毫不夸张地说，牛顿力学体系主宰了宏观的所有的非电磁领域，微观的只要速度远小于光速，且不涉及原子核变化和电磁力的现象，都可以被牛顿力学囊括其中(应当指出，牛顿力学不适用于微观领域中物质结构和能量不连续现象，这属于量子力学管辖范围)。牛顿力学统治的范围包括抛体运动、飞机航行、江河流动、工程建筑、火箭发射、天体运行等等领域，无一不服从于它的强权。经典力学把人类对整个自然界的认识推进到一个新水平，牛顿把天上运动和地上运动统一起来，实现了天上力学和地上力学的综合，从力学上证明了自然界的统一性，这是人类认识自然历史的第一次大飞跃和理论大综合，它开辟了一个新时代。而相对论则彻底的扩充了牛顿力学的范围，颠覆了人们对物理的认识。简单说，相对论力学告诉我们，1.光速是不能被超越的，且在任何参考系光速都是不变的。2.牛顿力学不适用于高速运动（超过光速的10%可以称为高速），高速运动下物体质量会增加。3.高速下运动的物体会产生各种超越常理的相对论效应（相对时空观）。4.经典力学中速度叠加原理不再成立（经典力学的速度叠加是基于伽利略变换，而相对论力学则是洛伦兹变换）。总之，牛顿的经典力学是相对论模型在宏观低速、弱场下的完美近似，是在低速度、平坦空间下的物理规律。狭义相对论的出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。狭义相对性原理是指；一切物理定律（力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性参考系（惯性系）中都是等价（平权）的，没有一个惯性系具有优越地位，不存在绝对静止的参考系（以太），从而否定了“以太说”和绝对空间。或者说，一切物理定律在洛伦兹变换下数学形式不变。而光速不变原理；在狭义相对论中，指的是无论在何种惯性系（惯性参照系）中观察，光在真空中的传播速度都是一个常数，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变。这个数值是299,792,458 米/秒。再说一说速度叠加，在宏观、低速、弱引力场模型中伽利略变换是近似成立的，而在微观、高速、强引力场模型中则要使用洛伦兹变换。 相对论认为携带能量和信息的物质运动速度不能超过光速，纵使光速与光速叠加，速度仍然是1倍光速。具体来看速度叠加，例如一列火车以100m/s的速度向前运动，火车里面一个人以相对车厢10m/s的速度也向前运动，那么此人相对地面速度就是110m/s；这谁都可以理解并接受。这里的火车对地面的速度就是两个参考系之间的牵连速度，u=100m/s；人对火车就是相对速度v`=10m/s；人对地面的速度就是绝对速度v=u+v`=110m/s。这里的v=u+v就是伽利略变换的体现。同样，要是一列火车以光速0.7c的速度向前运动，火车里面一个人以相对车厢0.4c的速度也向前运动，那么此人相对地面速度就是1.1c吗？不是说光速不可超越吗，所以伽利略速度变换在这里失效，应当用相对论速度变换，这里的u=0.7c,而v`=0.4c，实际的人相对地面速度是v=(0.7c+0.4c)/(1+0.4x0.7/1) =0.859c,所以光速是不可被超越的。即使在光速行驶的列车上向前发射一道光，光相对地面速度计算出来还是c。当速度远小于光速时，分母接近1，公式退化为伽利略速度变换v=u+v`，我们可以尝试将0.05c和0.03c进行叠加，伽利略速度1变换算出0.08c，而相对论速度变换算出来是0.07988c，所以在速度不超过几万千米每秒的情况下，v=u+v`是成立的，目前人类火箭导弹也达不到这个速度，所以经典力学完全可以驾驭。不知这个例子有没有体会到牛顿力学是相对论在低速下的近似。说到这次的正文吧，我们今天从最基本的质速关系、质能方程出发，结合微积分推导，揭示相对论力学和牛顿力学的区别和联系。所谓质速关系就是速度对物体质量的影响，速度增大质量会增加，m0称为静质量，m称为动质量。狭义相对论预言，物体的惯性质量随其运动速度的增加而加大，速度趋于光速时，惯性质量趋于无限大。这就是经典力学无法理解的一个层面，经典力学认为质量是物体本身属性，和速度无关。容易计算，如果想让质量增加1%，则速度就要达到0.14倍光速；如果质量加倍，速度就需要达到0.866倍光速。目前在宏观领域达到1%的光速都不可能，这也难怪牛顿力学那么普遍适用了。质能方程应该都是耳熟能详的了，这个方程表明质量和能量是可以相互转化的，能量和质量是一个本质的两种体现形式；质能方程揭示了原子核种蕴含的巨大能量，只是很难将其释放出来，原子弹和氢弹的研制成功的理论基础就包含质能方程。
知道这两个关系后，先讨论下相对论动量吧，牛顿力学动量表述为质量和速度的乘积，p=mv 。而在相对论力学中，质量随速度变化而改变，所以变为如下形式；当速度远小于光速时，1/c2太小而被忽略，回归到牛顿力学的形式。用(p相-p牛)/p相
计算相对误差可以得到，在0.1倍光速时，误差是千分之5.0；而在0.01c时，误差在十万分之5.0；所以p=m0v在普通低速中完全适用。
相对能动能的推导相对复杂，首先我们先把相对论质量先平方变形，然后对其左右同时微分，在相对论中动质量m、速度v都是变量，静质量m0和光速c是常量，所以根据微分法则有dm^2c^2=2mc^2dm，而dm^2v^2=2mv^2dm+2vm^2dv,等号右侧是常量，微分值为0。再化简就得到c^2dm=v^2dm+mvdv。动能定义是合力F在位移x上的积分，也就是合外力在空间上的累积即为动能。而力F是动量p对时间t的微分，用乘法求导法则就可以得到力和m,v,t之间的关系。我们用力F的微分表达式对位移x进行积分，就可以得到动能等于（v^2dm+mvdv）的积分，而前面计算出了c^2dm=v^2dm+mvdv，所以相对论动能等于c^2dm的定积分，积分下限是静质量m0，积分上限则是m，所以相对论动能即为Ek=mc^2-m0c^2；再代入质速关系就可得到速度和动能的确定关系了。额，这样看起来这个式子和经典的Ek=1/2m0v^2没有半毛钱关系啊，难道相对论动能退化后不是牛顿经典动能吗？别担心，我们这里需要了解一个函数的泰勒展开，嗯是这样的。请继续看这里，根号(1-x)的倒数可以展开为多项式的形式，这个x是不是跟v^2/c^2很像，而且x越趋近于零的时候越精确，所需的项数越少。于是我们取前三项试试，可以得到下述结果，3/8那项的(v/c)^2太小可以忽略，以至于又可以回归到牛顿力学了，这也解释了困扰我多年的一个疑问，为什么动能前面有个1/2，哈哈，完美自洽。再多说一句，这个近似有多好呢，或者说Ek=1/2m0v^2的适用速度的范围有多大？简单计算可以得到，在0.1倍光速时，误差是千分之7.5；而在0.01c时，误差在十万分之7.5；所以Ek=1/2m0v^2在普通低速中完全适用。
还有关于能量和动能的关系也应明白，静能就是静质量m0乘以c^2，而运动时候的总能量E就是静能E0和动能Ek之和，即动质量m乘以c^2；所以动能也就是运动时的总能量和静能之差了；动能也可以理解为因物体速度而导致质量增加所增加的额外能量，也就是质量增加(Δm)的部分就是体现物体的动能。
说完动能和动量，有必要说说它们两者的联系了，先找一下能量E和动量p之间的关系。注意这里的E=mc^2和p=mv中的m是动质量，是变量；然后联立消除m建立v和E、p、c的关系，最后将v带入E的速度表达式即可得到教科书上的E2=p^2c^2+m(0)^2c^4，这就是能量和动量关系式，符合勾股定理，E平方等于E0平方加上pc平方。前阵子人教版初中数学在这里还翻了车，被贻笑大方，成了爱因斯坦用相对论证明了勾股定理的笑话。 能不能推导出动能和动量关系呢？答案是肯定的，我们知道牛顿力学中Ek=p^2/(2m0)。把E=Ek+E0带入上面的关系即可，最后得到关于Ek、m0、p、c的一元二次方程关系，用求根公式可以得到动能Ek和动量p的关系。我们可以把Ek提到括号外，发现Ek和2m0c^2相比实在太小，可以舍去括号中的Ek，就可以得到Ek=p^2/(2m0)，这又回归了牛顿力学。
最后，再求解一下相对论力学中的力F和加速度a关系（牛顿第二定律），首先写出F关于m、v、t的微分式，带入动质量m的表达式，根据复合函数求导法则求导，并合并化简，最后得到十分简洁的公式，即牛顿第二定律的相对论形式，F=km0a，其中k=1/(1-β^2)^1.5，β=v/c。当速度不大时，又退回到经典牛顿第二定律的形式。
我们举例说明相对论牛顿第二定律和牛顿第二定律差别，设如下图中的情形，在牛顿力学中，100千克的物体产生100m/s^2的加速度无论在多大速度下均需要10000N的力。而考虑相对论效应，在达到0.01c时的合外力需要10001.5N，差别其实很小。最后算下两个力学体系下的误差，产生1%的误差，则需要0.0817c的速度；若产生50%的误差，其实这时相对论外力是牛顿体系外力的二倍了，速度只有0.608c，而此时物体质量才达到静止时的1.23倍呢。所以相对论力对速度敏感程度远大于动质量、动量和动能。
以上就是利用相对论两个基本关系得到的动力学部分的结论。进一步论证了牛顿力学确实是狭义相对论力学在低速下的近似！

我要回帖

更多关于 动力学基本方程 的文章

 

随机推荐