二阶微分方程推导过程求解过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-03 02:00 标签： 二阶微分方程推导过程
2020年03月09日 07:48--浏览 ·
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--评论求解微分方程前，需要知道导函数的拉氏变换（前提积分需收敛）：根据分部积分法，我们得到：积分收敛前提下，第一项的值趋于0，故：同理我们可以得到：例子：初值根据之前的特征方程的解法可以很容易求解使用Laplace变换求解复杂一些：对方程两边进行Laplace变换使用前面的公式可以得到Y（s）为变换后的函数然后通过逆变换得到：
第2讲 二阶线性微分方程的求解方法二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下：学习要点1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。一、解结构1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。2、二阶非齐次方程的通解 Y + y*证明比较简单，可见同济高数P333。可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法，具体方法见同济高数P336，具体看是否有教学考核要求。二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的，但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法，给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程，直接套用公式。根据第一部分齐次方程的通解结构，只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了erx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。1、特征根求解公式在实际求解时可以套用公式，下面简要给出推导过程。2、几个求解例子3、变形问题：从特解反求微分方程注意特解的构造性，利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质，目的是为了构造出erx的特解。三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解，而利用特征根法已经解决了通解求解问题，下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法，其本质是构造法给出特解，其特点是不用积分就能求出，称为待定系数法。1、f(x) = eaxPm(x)型2、f(x) = eax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型待定系数法的本质就是构造出了特解，只要确定系数就可以，所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。如果对复数形式比较熟悉，可以更加简洁一点的过程。

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