在数学分析中,我们采用 \epsilon-\delta 语言在实数体系内（如实数序列、实变量函数）刻画和研究收敛性和连续性。现在我们聚焦于收敛、连续而忽略其他（比如说，忽略具体的数值），并加以抽象、公理化，则可超越实数体系，得到一套抽象框架，让我们得以在可以在一般的抽象空间中刻画、研究收敛性和连续性。这套抽象框架就是点集拓扑学。现代数学中普遍使用的这种方法，即聚焦某种特定本质，然后加以抽象、公理化，发展出一套抽象框架，其好处是什么？这样可以将缠绕在一块的属于不同范畴的问题拆开，围绕着每一个问题发展各自的理论和方法，这样我们得到的就不是一个庞大的体系，而是多个自成一体的简洁优美且深刻的理论单元。这样建立起来的现代数学体系，更加扁平、去中心化、简洁、可读性更强。从集合论的大地出发，你可以很方便的去造访每一个理论单元，而不必具备一大堆预备知识。定义1. \mathscr{T} 为 X 的子集族，若满足1） I 为一指标集，\forall i\in I ,U_i\in \mathscr T ，则 \cup_{i\in I}U_i\in \mathscr T 2） \forall U_1,U_2 \in \mathscr T ，则 U_1\cap U_2\in \mathscr T 3） \emptyset,X \in \mathscr T 则称 \mathscr T 为 X 上的一个拓扑， \forall U \in \mathscr T 称为 X 开集， F=U^c 称为 X 的闭集， (X,\mathscr T) 为一个拓扑空间。 \mathscr T_1,\mathscr T_2 为 X 上的两个拓扑，若 \mathscr T_1\subset \mathscr T_2 ，称 \mathscr T_1 弱于 \mathscr T_2 ， \mathscr T_2 强于 \mathscr T_1 定义2. (X,\mathscr T) 为一个拓扑空间， N \subset X,x\in N ，若 \exists U \in \mathscr T
s.t. \ U\subset N ，则称 N 为 x 的邻域。 I 为一指标集， \forall i\in I,F_i 为闭集，则易知 \cap_{i\in I}F_i 为闭集。 E\subset X ， \mathscr F =\{F:F\supseteq E,F为闭集\},\mathscr U =\{U\subseteq E,U为开集\} ，则 \overline E =\cap_{F\in \mathscr F}F 称为 E 的闭包，它是包含 E 的最小闭集， E^{\circ} =\cap_{U\in \mathscr U} U 称为 E 的内含，它是包含于 E 的最大开集。定义3. f 为拓扑空间 (X,\mathscr T_1) 到 (Y,\mathscr T_2) 的映射， x\in X ，若对于任意 f(x) 的邻域 N ， f^{-1}(N) 是 x 的邻域，则称 f 在 x 处连续。若 \forall x\in X ， f 在 x 处连续，则称 f 为 (X,\mathscr T_1) 到 (Y,\mathscr T_2) 的连续映射。命题1. f 为拓扑空间 (X,\mathscr T_1) 到 (Y,\mathscr T_2) 的连续映射，当且仅当 \forall V\in \mathscr T_2,f^{-1}(V)\in \mathscr T_1 。证明。必要性。 \forall x\in f^{-1}(V) ， V 为包含 f(x) 的邻域，因 f 连续，故 f^{-1}(V) 为 x 的领域。即 V 为其中每一个点的领域，从而 V 是开集。充分性。 \forall x\in X,\forall N\ni f(x)
为 f(x) 的邻域，取 V\in \mathscr T_2,V\subset N ，则 f^{-1}(N)\supseteq f^{-1}(V)\ni x 是 x 的邻域，从而在 x 连续，从而为连续映射。 \blacksquare 定义4. (X,\mathscr T) 是一个拓扑空间， \mathscr B\subseteq \mathscr T ，若 \forall U\in \mathscr T,U=\cup_{\{B\in \mathscr B,B\subseteq U\}}B
，则称 \mathscr B 为拓扑 \mathscr T 的一个基。命题2. \mathscr B 是某个拓扑 的一个基，当且仅当1） \cup_{B\in \mathscr B} B=X 2） F 是一个有限指标集， \forall i\in F,B_i\in \mathscr B ，则 \forall x\in \cap_{i\in F}B_i,\exists V\in \mathscr B,s.t. \ x\in V\subseteq\cap_{i\in F}B_i 证明：必要性。若 \mathscr B 是 \mathscr T 的一个基，因 X\in \mathscr T ，故 X=\cup\{B\in \mathscr B,B\subseteq X\}=\cup_{B\in \mathscr B}B 。故1）成立。又 \cap_{i\in F}B_i\in \mathscr T ，故可写成 \mathscr B 中某些集合之并。故 \forall x\in \cap_{i\in F}B_i,\exists V_x\in \mathscr B,s.t.x\in V_x\subseteq \cap_{i\in F}B_i 充分性。令 \mathscr T=\{U:U为\mathscr B中某些集合之并\} 。易知， X,\emptyset\in \mathscr T ，且对于任意并封闭。 U=\cup_{i\in I}B_i,V=\cup_{j\in J}B_j 是 \mathscr T 中的两个集合，则 U\cap V=(\cup_{i\in I}B_i )\cap(\cup_{j\in J}B_j)=\cup_{i\in I,j\in J}(B_i\cap B_j) ， \forall x\in B_i\cap B_j ，取 V_x\in \mathscr B,s.t. x\in V_x\subset B_i\cap B_j ，则有 B_i\cap B_j=\cup_{x\in B_i\cap B_j}V_x \in \mathscr T ，进而易知 U\cap V \in \mathscr T ，从而 \mathscr T 对有限交封闭，故是一个拓扑。此时，称 \mathscr T 为 \mathscr B 生成的拓扑。\blacksquare 定义5. (X_1,\mathscr T_1),(X_2,\mathscr T_2) 是两个拓扑空间。令 \mathscr B=\{U_1\times U_2:U_1\in \mathscr T_1,U_2\in \mathscr T_2\} 。易知， \mathscr B 满足命题2的两个条件，从而是某个拓扑的基，记 \mathscr T_1\times \mathscr T_2 为 \mathscr B 生成的拓扑，称之为乘积拓扑。 \pi_i:(x_1,x_2)\in X_1\times X_2\rightarrow x_i\in X_i,i=1,2 称为 X_1\times X_2 到 X_i 的投影映射。命题3. 设 f 为（Y,\mathscr T_Y) 到 (X_1\times X_2,\mathscr T_1\times \mathscr T_2) 的映射：\forall y\in Y,f(y)=(f_1(y),f_2(y)) 。则 \forall y\in Y ， f 在 y 处连续，当且仅当 f_1:Y\rightarrow X_1,f_2:Y\rightarrow X_2 都在 y 处连续。证明：必要性。易知 \pi_i:X_1\times X_2\rightarrow X_i 连续，从而 f_i=\pi_1\circ f 在 y 处连续。 i=1,2 充分性。设 N 为 X_1\times X_2 中一个包含 y 的领域， \exists U\in\mathscr T_1\times \mathscr T_2,s.t. y\in U\subseteq N ，由乘积拓扑的定义，有 U=\cup_{i\in I}U^1_i\times U^2_i，U^1_i\in \mathscr T_1,U^2_i\in \mathscr T_2 ，f(y)\in U\Rightarrow \exists i_0\in I,s.t.\ f_1(y)\in U^1_{i_0},f_2(y)\in U^2_{i_0} ，从而 f^{-1}(U)\supseteq f^{-1}(U^1_{i_0}\times U^2_{i_0})=f_1^{-1}(U^1_{i_0})\cap f_2^{-1}(U^2_{i_0}) ，因 U^1_{i_0},U^2_{i_0} 分别为包含 f_1(y),f_2(y) 的开领域，且 f_1,f_2 在 y 处连续，故 f_1^{-1}(U^1_{i_0}),f_2^{-1}(U^2_{i_0}) 都是包含 y 的开领域，从而 f^{-1}(U)\supseteq f^{-1}(U^1_{i_0}\times U^2_{i_0})=f_1^{-1}(U^1_{i_0})\cap f_2^{-1}(U^2_{i_0}) 为 y 的领域，即 f 在 y 处连续。 \blacksquare 推论1. 设 f 为（Y,\mathscr T_Y) 到 (X_1\times X_2,\mathscr T_1\times \mathscr T_2) 的映射：\forall y\in Y,f(y)=(f_1(y),f_2(y)) 。则 f连续\iff f_1,f_2连续 。定义6. (x_n)_1^\infty 是拓扑空间 (X,\mathscr T) 中的一个序列。称 x_n 收敛到 x_0 ，若 \forall U\ni x_0,\exists N,\forall n>N,x_n\in U 。定义7.
(X,\mathscr T) 称为一个Hausdorff空间，若 \forall x_1\neq x_2,\exists开集 U_1\ni x_1,U_2\ni x_2,s.t. U_1\cap U_2=\emptyset 命题4. 若 (X,\mathscr T) 为一个Hausdorff空间，则收敛序列的极限唯一。即若 x_n\rightarrow x_a且x_n\rightarrow x_b ，则 x_a=x_b 证明：略。 \blacksquare 注：Hausdorff性质是必要的，例如令 X=\mathbb R,\mathscr T=\{(-\infty,a):a\in \mathbb R\} ， x_n=-n,n=1,2,\cdots ，则 \forall x_0\in \mathbb R,x_n\rightarrow x_0 成立。定义8. d 为 X\times X 上的一个实值函数，若满足1） d(x,y)\ge0，且d(x,y)=0\iff x=y ，2） d(x,y)=d(y,x) ，3） d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z) ，则称 d 为 X 上的一个距离。称 (X,d) 为一个距离空间。定义9. (X,d) 为一个度量空间，令 r> 0,B(x,r)=\{y\in X,d(x,y)<r\} 称为以 x 为球心，以 r 为半径的开球。记 \mathscr B = \{B(x,r):x\in X,r>0\} 为全体开球的集合，不难验证 \mathscr B 命题2的两个条件，构成一个拓扑基，从而生成一个拓扑 \mathscr T ，称为由度量 d 诱导的拓扑。易知 (X,\mathscr T) 是Hausdorff空间。定义10. d_1,d_2 为 X 上的两个距离。若存在 a>0,b>0,s.t. \ ad_1\le d_2 \le bd_1 ，则称 d_1,d_2 等价。例1. X=\mathbb R^n ,\vec{x}=(x_1,x_2,\dots, x_n),\vec{y} =(y_1,y_2,\cdots ,y_n),d_1(\vec x,\vec y)=\max_i
x_i-y_i|,d_2(\vec x,\vec y)=\sqrt{\sum_i|x_i-y_i|^2} ，则有 d_1\le d_2\le \sqrt n d_1 ，从而 d_1,d_2 等价。命题5. d_1,d_2 为 X 上两个等价的距离，则 d_1,d_2 诱导的拓扑相同。命题6. \mathscr T 为 \mathbb R 上的普通拓扑。 d 为 \mathbb R^2 上的欧式距离。记 \mathscr T_1=\mathscr T\times \mathscr T 为 \mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R 上的乘积拓扑， \mathscr T_2 为 d 所诱导的拓扑，则 \mathscr T_1=\mathscr T_2 证明：记 d'((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|) ，由命题5， d' 所诱导的拓扑也是 \mathscr T_2 。从而 \mathscr T_2 由 \mathscr B=\{B(\vec x,r)=\{\vec y:d'(\vec x,\vec y)<r\}:\vec x\in\mathbb R^2,r>0\} 生成。设 \vec x=(x_1,x_2),B_1(x_1,r)=\{y_1\in \mathbb R,|y_1-x_1|<r\},B_2(x_2,r)=\{y_2\in \mathbb R,|y_2-x_2|<r\} ，则 B(\vec x,r)=B_1(x_1,r)\times B_2(x_2,r) ，而这正是乘积拓扑 \mathscr T\times \mathscr T 的基，从而 \mathscr T_1=\mathscr T_2 。 \blacksquare 命题7. (X_1,d_1),(X_2,d_2) 为两个度量空间，诱导的拓扑分别是 \mathscr T_1,\mathscr T_2 ， f:(X_1,\mathscr T_1)\rightarrow(X_2,\mathscr T_2),f(x_1)=x_2 ，则f在 x_1 处连续当且仅当对任意 a_n\rightarrow x_1,f(a_n)\rightarrow x_2 证明：必要性。设f在 x_1 处连续，则 \forall n,x_2=f(x_1),B_2(x_2,1/n) 是 x_2 的邻域，从而 f^{-1}(B_2(x_2,1/n)) 是 x_1 的邻域，则对于充分大的n，有 a_n\in f^{-1}(B_2(x_2,1/n)) ，即 f(a_n)\in B_2(x_2,1/n) ，进一步易知 f(a_n)\rightarrow x_2 充分性。反设f在 x_1 处不连续，则 \exists N\ni x_2,f^{-1}(N) 不是 x_1 的邻域。从而 \forall n, B_1(x_1,1/n)\nsubseteq f^{-1}(N) \Rightarrow \exists a_n \in B_1(x_1,1/n),a_n \notin f^{-1}(N) ，从而 f(a_n) \notin N \Rightarrow f(a_n)\nrightarrow x_2 。但 a_n \rightarrow x_1 ，矛盾。从而f在 x_1 处连续。 \blacksquare 定义11. x_n 是 (X,d) 上的序列，称之为cauchy列，若 \forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n,m>N,d(x_n,x_m)<\epsilon 。 (X,d) 称为完备度量空间，若对任意cauchy列 x_n,\exists x\in X,s.t. x_n\rightarrow x 。定理1.（度量空间的完备化）任何一个度量空间 (X,d) 都可以完备化。即存在一个完备的度量空间(C_2,d_2) ，以及 \phi:(X,d)\rightarrow (C_2,d_2) ，满足1） \phi 是一个单射，2） \forall x_1,x_2 \in X, d_2(\phi(x_1),\phi(x_2))=d(x_1,x_2) ，3） \phi(X) 在 C_2 中稠密。证明：记 C_1=\{(x_n):(x_n)为(X,d)上的cauchy列\} ，在 C_1 上引入等价关系： (x_n)\sim (y_n) \iff d(x_n,y_n)\rightarrow 0 。考虑商空间 C_2=C_1/\sim ，在 C_2 上引入度量 d_2([(x_n)],[(y_n)])=\lim_n d(x_n,y_n) 。首先，我们需要说明，若 (x_n),(y_n) 都是cauchy列， \lim_nd(x_n,y_n) 是存在的。 \forall \epsilon>0 ，取 N>0,\forall n,m\ge N,d(x_n,x_m)<\epsilon/2,d(y_n,y_m)<\epsilon/2 ，进而有 d(x_n,y_n)\le d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)<d(x_m,y_m)+\epsilon ，同理有 d(x_m,y_m)<d(x_n,y_n)+\epsilon ，即 \forall n,m\ge N,|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|<\epsilon ，又 \mathbb R 是完备的，故而 \lim_n d(x_n,y_n) 存在。另外，可以验证， d_2 的定义同代表元的选择无关，从而该定义是良好的。不难验证， d_2 满足距离定义的三个条件。构造 (X,d) 到 (C_2,d_2) 的映射 \forall x\in X,令x_n=x,\phi(x)=[(x_n)] ，则 \phi 是从 X 到 C_2 的一个单射，并且\forall x_1,x_2\in X,d_2(\phi(x_1),\phi(x_2))=\lim d(x_1,x_2)=d(x_1,x_2) ，即 x_1,x_2 的像在 C_2 中的距离同 x_1,x_2 在 X 中的距离保持不变。形象起见，可将 \phi 称为 (X,d) 到 (C_2,d_2) 的嵌入。 下面我们证明， \phi(X)\subseteq C_2 在 C_2 中是稠密的。对于任意的 c=[(x_m)]\in C_2 ，由于 (x_m) 是cauchy列， \forall \epsilon>0,\exists N,\forall n_1,n_2>N,d(x_{n_1},x_{n_2})<\epsilon ，取 m>N 令 y_n=x_m，\forall n ， b=[(y_n)] ，则 b\in \phi(X) 且 d_2(b,c)=\lim_{n\rightarrow \infty} d(y_n,x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_m,x_n)<\epsilon ，从而 \phi(X) 在 C_2 中是稠密的。下证 (C_2,d_2) 完备。对于 C_2 中的cauchy列 (c_n) ，若 \forall n,c_n\in \phi(X) ，令 x_n=\phi^{-1}(c_n) ，由于 \phi 是保距映射，故 (x_m)_1^{\infty} 是 X 中的cauchy列。从而 (x_m)_1^{\infty} 定义了一个 C_2 中的一个等价类。记 c=[(x_m)_1^{\infty}] ，则 d_2(c_n,c)=\lim_{m\rightarrow \infty}d(x_n,x_m)\stackrel{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow }0 ，即有 c_n\rightarrow c 对于 C_2 中的一般cauchy列 (a_n)_1^{\infty} ，由于 \phi(X) 在 C_2 中稠密，可取 c_n\in \phi(X),s.t. d_2(a_n,c_n)<1/n ，易知 (c_n)_1^{\infty} 是cauchy列，由前述论证，可知 \exists c\in C_2,s.t. d_2(c_n,c)\rightarrow0 ，进而 d_2(a_n,c)\le d_2(a_n,c_n)+d_2(c_n,c)\stackrel{n\rightarrow 0}{\longrightarrow} 0 ，从而 a_n\rightarrow c 。故 (C_2,d_2) 完备。 \blacksquare 定义12. (X,\mathscr T) 为一拓扑空间， E\subseteq X ，对于 E 的任何一组开覆盖 E\subseteq \cup_{\alpha\in A} U_{\alpha},\forall \alpha,U_{\alpha}\in \mathscr T ， E 存在有限开覆盖，即存在一个有限指标集 F\subseteq
A ，使得 E\subseteq \cup_{i\in F}U_i ，则称 E 是紧致的。若 X 是紧致的，则称 (X,\mathscr T) 是紧致空间。定义13. (X,d) 为一度量空间。 E\subseteq X ，若 \forall \epsilon>0,\exists x_1,x_2,\cdots,x_m\in X,s.t. E\subseteq \cup_{i=1}^mB(x_i,\epsilon) ，则称 E 是全有界的。点列 (x_i)_1^m 称为 E 的一个 \epsilon 网。定义14. (X,d)为一度量空间，E\subseteq X ， 其直径 \mathscr {diam}(E) \triangleq \sup\{d(x_1,x_2):x_1,x_2\in E\} 。命题8. \mathscr{diam}(E)= \mathscr{diam}(\overline E) 证明：若 \mathscr{diam}(\overline E)>\mathscr{diam} (E) ，则\exists \epsilon>0,s.t.\ \mathscr{diam}(\overline E)>\mathscr{diam}(E)+\epsilon\Rightarrow \exists x\in \overline E-E,e\in E,d(x,e)>\mathscr{diam} (E)+\epsilon \\ \Rightarrow \forall y\in B(x,\epsilon/2),d(y,e)>\mathscr{diam}(E)+\epsilon/2\Rightarrow y\notin E\Rightarrow B(x,\epsilon/2)\cap E=\emptyset 这与 x\in \overline E 矛盾。 \blacksquare 命题9. 若度量空间X全有界，E\subseteq X，则 \forall \epsilon>0 ，可将E划分为有限个直径不超过 \epsilon 的子集的不交并E=\cup_1^n E_i,E_i\cap E_j =\emptyset,\forall 1\le i<j\le n,\forall i,\mathscr {diam}(E_i)<\epsilon 证明：取X的一个 \epsilon 网， X=\cup_1^n B(x_i,\epsilon) ，令 F_i=E\cap B(x_i,\epsilon),E_i=F_i-\cup_{j=1}^{i-1}E_j ，则易知 E=\cup_1^n E_i 即为满足命题的划分。 \blacksquare 命题10. (X,\mathscr T） 紧致， E_1\supseteq E_2\supseteq \cdots\supseteq E_n\supseteq\cdots ， \forall i,E_i 为非空闭集，则 \cap_1^{\infty}E_i\neq \emptyset 证明：若 \cap_iE_i=\emptyset\Rightarrow \cup_iE_i^c=X ， \forall i,E_i^c 为开集，从而存在有限开覆盖 X=\cup_{i\in F}E_i^c ，易知 E_1^c\subseteq E_2^c\subseteq\cdots ，设指标集 F 中的最大指标为 N ，则有 X=\cap_{i\in F}E_i^c=E_N^c\Rightarrow E_N=\emptyset ，矛盾。 \blacksquare 命题11. (X,d) 为一度量空间，则 X 紧致当且仅当它是全有界且完备的。证明：必要性。\forall \epsilon>0,X\subseteq \cup_{x\in X}B(x,\epsilon) ，因 X 紧致，故 \exists x_1,\cdots,x_m,s.t. X\subseteq \cup_{i=1}^mB(x_i,\epsilon) ，即得 \epsilon 网，从而全有界。设 (x_n) 为一cauchy列， A_n=\{x_n,x_{n+1},\cdots\} ， 由cauchy列的定义， \mathscr{diam}(A_n)\rightarrow0 ，由命题9，\mathscr{diam}(\overline {A_n})\rightarrow 0 。又 \overline {A_1}\supseteq \overline{A_2}\supseteq\cdots ，由命题10， \cap_1^{\infty}\overline{A_n}\neq \emptyset ，取 x\in \cap_n\overline{A_n} ，易知x_n\rightarrow x ，从而 X 完备。充分性。假设 X=\cup_{\alpha\in A} U_{\alpha} 不存在有限覆盖，将 X 表为有限个直径不超过1的子集的不交并 X=\cup_{i\in F}A_i ，则 \exists i_0\in F,s.t. A_{i_0} 不能被 \{U_{\alpha}:\alpha\in A\} 中的有限个覆盖，简单起见，称为 A_{i_0} 不存在有限覆盖。记 E_1=A_{i_0} ，再将 E_1 表示为有限个直径不超过 \frac{1}{2} 的子集的不交并，因 E_1 不存在有限覆盖，存在某个直径不超过 \frac{1}{2} 的子集，不妨记作 E_2 ，不存在有限覆盖。再将 E_2 表为直径不超过 \frac{1}{3} 的子集的不交并，重复该过程，得到 X\supseteq E_1\supseteq E_2\supseteq \cdots\supseteq E_n\supseteq \cdots ， \forall n,\mathscr {diam }(E_n)\le \frac{1}{n},E_n 不存在有限覆盖。另一方面，取 x_n\in \overline{E_n}，易知 (x_n)_1^{\infty} 为cauchy列，因 X 完备，设 \lim_n x_n=x 。因 x\in \cup_{\alpha\in A} U_{\alpha}=X ，不妨设 x\in U_{\alpha_0} ，因 U_{\alpha_0} 开，故对于充分大的 n,B(x,\frac{2}{n})\subseteq U_{\alpha_0} 。另外易知， x\in \overline{E_n} ，又 \mathscr{diam}(\overline{E_n})=\mathscr{diam}(E_n)\le1/n ，故 E_n\subseteq B(x,\frac{2}{n})\Rightarrow E_n\subseteq U_{\alpha_0} 。这与 E_n 不存在有限覆盖矛盾。假设不成立，从而 X 紧致。 \blacksquare 定义15. 拓扑空间X称为是列紧的，若对于任意的序列 (x_n) ，存在子列 (x_{n(l)}) 以及 x\in X 使得 x_{n(l)}\rightarrow x 命题12. (X,d) 是度量空间，则 X 列紧当且仅当它是全有界且完备的。证明：必要性。若 X 不是全有界的，则 \exists \epsilon>0 使得 X 不存在有限 \epsilon 网，取 x_1\in X ，因 X\nsubseteq\cup_{i=1}^1B(x_i,\epsilon) ，故 \exists x_2\in X-\cup_1^1B(x_i,\epsilon) ，同样因 X\nsubseteq \cup_1^2B(x_i,\epsilon) ，故 \exists x_3\in X-\cup_1^2B(x_i,\epsilon) ，重复上述过程可得到序列 (x_n)_1^{\infty} ，易知，该序列中任意两点间的距离不小于 \epsilon ，从而不可能存在收敛子列，这与列紧性矛盾。从而 X 全有界。再证完备性。对任意cauchy列 (x_n) ，依列紧性它存在某一子列收敛到 x ，则不难知道 x_n\rightarrow x 。从而 X 完备。充分性。设 S=\{x_1,x_2,\cdots\} 为 X 中的一个序列。因 X 全有界，可将 X 表示为有限个直径不超过1的子集的不交并，则其中必有一个子集，不妨记作 E_1 ，包含 S 中无限个元素。取 y_1\in E_1 ，令 S_1=S-\{y_1\} 。再将 E_1 表示为有限个直径不超过1/2的子集的不交并，因 E_1 包含无限个 S 中的元素，从而也包含 S_1 中无限个元素，从而其中必有一个直径不超过1/2的子集，不妨记作 E_2 ，包含 S_1 中无限个元素。取 y_2\in E_2 ，令 S_2=S_1-\{y_2\} 。再将 E_2 表示为有限个直径不超过1/3的子集的不交并，重复上述过程，得到 E_1\supset E_2\supset \cdots\supset E_n\supset\cdots,\mathscr{diam}(E_n)\le 1/n,y_n\in E_n 。不难知道 (y_n)_1^{\infty} 为cauchy列，因X完备，设 y_n\rightarrow y_0 ，又 (y_n)_1^{\infty} 为 (x_n)_1^{\infty} 的子列，从而X列紧。\blacksquare 定理2. (X,d) 为一个度量空间。则 X 紧致 \iff X 全有界且完备 \iff X列紧证明：由命题11和命题12立得。 \blacksquare

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