学习阶段：大学数学。前置知识：复变函数的导数与积分、洛朗级数。根据柯西积分定理，解析函数随便画个圈，积分都为零，没啥好讨论的。我们加一点难度，从这个解析函数里面挖去几个点，构造孤立奇点，然后研究它的积分。由于积分和路径无关，那么积分值就只和这几个孤立奇点的情况有关，这引出了本篇文章的主要内容。1. 孤立奇点孤立奇点：函数在一个点不解析，但是在这个点的某个去心邻域解析，这个点就是孤立奇点。为什么要研究孤立奇点？因为常见的奇点都是分母不为零约束出来的，诸如 \frac{1}{z+1} ， \frac{z}{\sin{z}} ， e^{\frac{1}{z}} 这种函数，这种奇点往往都是孤立奇点。而且孤立奇点有非常好的性质，值得研究。有些函数如 \frac{1}{\sin{\frac{1}{z}}} 在 z=0 是非孤立奇点，我们在此就不研究它了。2. 留数与留数定理现在我们看看除孤立奇点之外解析的函数的积分。除孤立奇点之外解析的函数的积分比如说上图这个积分，可以怎么计算？我们可以利用类似上一篇文章推导洛朗级数时用的挖洞的办法：孤立奇点挖洞法1当缺口收缩闭合时，联络线的积分互相抵消，因为蓝色路径内部完全解析，有 \oint_L+\oint_{L_1+L_2+L_3}=0 ，那么 \oint_L=\oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-} ，即下图中的 \oint_L=\sum \oint_{绿色路径} . 孤立奇点挖洞法2这告诉我们，求取“除孤立奇点之外解析的函数的积分”，可以先找到路径之内所有的奇点，然后把环绕这些奇点的积分求和，即得到结果，这就是留数定理的含义。关于留数定理，我们后面会详述。上述结论告诉我们，环绕孤立奇点的积分有重要意义。设函数为 f(z) ，奇点为 z_0 ，环绕这个奇点的积分为 \oint_Cf(z)dz ，注意到洛朗级数中负一次方项的系数为c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{-1+1}}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)d\zeta 这不正好能求出我们所需要的东西嘛！这个 c_{-1} 很有用，我们给它专门取一个名称：留数：把函数 f(z) 在某个孤立奇点 z_0 的去心邻域内洛朗展开，称负一次方项的系数 c_{-1} 为 f(z) 在 z_0 点的留数，记作 \text{Res}[f(z),z_0] ，即\mathrm{Res}[f(z),z_0]=c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz\\ 有了留数，我们就可以给出留数定理：留数定理：设函数 f(z) 在正向闭合路径 C 内除有限个孤立奇点 z_1,z_2,\cdots,z_n 之外处处解析，则 \oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k] . 留数定理的本质就是柯西积分定理，即解析函数的积分与路径无关。3. 留数的求法，孤立奇点的分类留数最直接的求法，当然就是洛朗展开，然后求 c_{-1} 咯！比如说求 \text{Res}\left[e^\frac{1}{z},0\right] ，对 e^{\frac{1}{z}} 在
z|>0 洛朗展开得e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots 显然 c_{-1}=1 ，那么 \text{Res}\left[e^\frac1z,0\right]=1 . 3.1 可去奇点有一种情况，如 f(z)=\frac{\sin{z}}{z} ，它在z=0处是孤立奇点，但是它的洛朗展开式\frac{\sin{z}}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots 并不含负幂项，得到 \text{Res}\left[\frac{\sin{z}}{z},0\right]=c_{-1}=0 . 可以发现， \lim_{z\to 0}\frac{\sin{z}}{z}=1 ，如果补充z=0时f(z)=1，那么这个函数将全平面解析，好似这个奇点完全不存在一样，我们称这种奇点为可去奇点。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的可去奇点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数无负幂项。(3) \lim_{z\to z_0}f(z)=c ， c 为常数。(4) 补充 z=z_0 时 f(z)=\lim_{z\to z_0}f(z) ，则函数在 z_0 解析。显然，可去奇点的留数必为0. 从某种角度上来说，我们可以把可去奇点“不当做奇点”。3.2 极点与零点还有一种情况，比如说 f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)} ，在 0<|z|<1 洛朗展开，分母上的这个 (z-1) 怎么办？洛朗级数可不能用求导 c_{-1}=\frac{f^{(-1)}(0)}{(-1)!} 来求系数，直接积分 c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz 又太麻烦，好像很棘手！实际上，我们可以对 z^2f(z)=\frac{1}{z-1} 在
z|<1 处泰勒展开，这时就可以利用求导 c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} 计算系数，有 z^2f(z)=-1-z-z^2-\cdots ，再得到原函数的洛朗展开 f(z)=-\frac{1}{z^2}-\frac1z-1-\cdots ，因此 \text{Res}\left[\frac{1}{z^2(z-1)},0\right]=-1 . 思考一下上述过程： f(z) 在某个点 z_0 是孤立奇点，但是 (z-z_0)^m f(z) 在 z_0 可能就变成了可去奇点。如果这种情况成立的话， (z-z_0)^m f(z) 就可以泰勒展开，没有负幂项，那么 f(z) 的洛朗级数的负幂项最高次不会超过 -m 次。当孤立奇点 z_0 的洛朗级数的负幂项有限时，容易发现 \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty ，称这种孤立奇点为极点。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的极点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数的负幂项有最高次数。(3) \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty . (4) 存在某个整数m，使得 (z-z_0)^m f(z) 的 z_0 是可去奇点。(5) 存在某个整数m与某个在 z_0 解析的函数 g(z) 且 g(z_0)\neq0 ，有 f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m} . 同时，进一步定义：设 f(z) 在 z_0 的洛朗展开式的负幂项最高次为 -m 次，称 z_0 为 f(z) 的m阶极点。相应地，根据上述定理中的(5)，有 \frac{1}{f(z)}=\frac{(z-z_0)^m}{g(z)} ，称 z_0 为 \frac{1}{f(z)} 的m阶零点。在高数中，m阶极点对应于m阶无穷大，m阶零点对应于m阶无穷小。那么，m阶极点的留数怎么求呢？首先，化极点为可去奇点，令 g(z)=(z-z_0)^mf(z) ，然后求泰勒级数的系数。求哪一个系数？我们要求的是 f(z) 的 c_{-1} ，也就是要求 g(z) 的 c_{m-1} ，有 c_{m-1}=\frac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}=\text{Res}[f(z),z_0] . 总结一下：若 z_0 为 f(z) 的m阶极点，则 \text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}((z-z_0)^mf(z)) 上述定理中的极限符号，可以理解为是“给可去奇点一个面子”。3.3 本性奇点最古怪的奇点就是本性奇点了，正如第3节“留数的求法，孤立奇点的分类”一开始给出的例子 e^{\frac1z} 一样，负幂项有无穷多项。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的本性奇点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数的负幂项有无穷多项。(3) \lim_{z\to z_0}f(z) 不存在，且不为 \infty . 本性奇点一般直接洛朗展开求 c_{-1} ，没有什么更好的办法。3.4 洛朗级数的解析部分和主要部分将f(z)在孤立奇点 z_0 附近洛朗展开为f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n 其中 \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n 是解析的，称为f(z)在 z_0 的解析部分；负幂项 \sum_{n=-\infty}^{-1}c_n(z-z_0)^n 决定了孤立奇点 z_0 的分类，体现了该奇点的主要性质，称为f(z)在 z_0 的主要部分。4. 无穷远点4.1 无穷远点留数的定义实际上，我们也可以把复变函数的无穷远点视为一个奇点，同时研究无穷远点的留数。考虑了无穷远点的复平面，被称为扩展复平面。不过无穷远点留数的路径该怎么规定呢？复球面是一个很不错的研究无穷远点的工具，如下图所示：复球面在复平面的原点放一个球面，联结球面“上顶点”和复平面上任意一点，可以构建复平面到该球面的双射（例如图中的红点对应褐色点），所以该球面被称为复球面。复球面的“上顶点”在复平面上找不到对应，它可以代表无穷远点，当复平面上任意复数 z 的模长
z|\to \infty 时，均可视为 z\to\infty . 再看看复平面上任意一条正向环绕路径在复球面上的对应（例如图中的绿色路径对应褐色路径），可以发现，从球内向球外看，复球面上逆时针的环绕路径为正向的。那么，我们可以用同样的方法，在复球面上画出无穷远点的正向环绕路径，并对应到复平面上，即：无穷远点的正向环绕路径我们发现：环绕无穷远点的正向路径是顺时针的！而且，复球面上要保证褐色路径到球面“上顶点”的区域解析，对应复平面上的绿色路径外部区域解析。也就是说，如果 f(z) 在环域
z|>R 完全解析，那么 f(z) 的无穷远点是一个孤立奇点，存在留数，记为 \text{Res}[f(z),\infty] 或 \text{Res}f(\infty) . 在解析环域
z|>R 内对 f(z) 洛朗展开，得到 c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz ，但是这里的 C 是逆时针环绕的，所以和无穷远点的留数差一个负号。所以我们定义\text{Res}[f(z),\infty]=-c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz\\ 这里 C^- 表示一条顺时针路径。4.2 无穷远点作为孤立奇点时的分类将f(z)在孤立奇点 \infty 附近洛朗展开为 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n ，与非无穷远点的情况正好相反，我们称\sum_{n=-\infty}^0c_nz^n 为f(z)在 \infty 的解析部分；正幂项的部分 \sum_{n=1}^{+\infty}c_nz^n 为f(z)在 \infty 的主要部分。当正幂项全为0时，称无穷远点为可去奇点；当正幂项的最高次幂为m次时，称无穷远点为m阶极点；当正幂项无最高次幂时，称无穷远点为本性奇点。4.3 无穷远点留数的求法一个比较经典的想法是换元：若 z\to\infty ，则 \frac 1z \to 0 ，我们看看 \text{Res}[f(z),\infty] 和 f\left(\frac 1z\right) 有没有什么关系。首先对 f(z) 在
z|>R 洛朗展开，得到 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n ，用 \frac 1z 替换 z 得到 f\left(\frac 1z\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n} ，解析域 0<\left|\frac{1}{z}\right|<\frac{1}{R} ，即在点 0 的附近展开。上式系数 c_{-1} 对应的项是 z^1 ，我们可以提出 z^2 来，即：f\left(\frac 1z\right)=z^2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n-2}, \quad\frac{1}{z^2}f\left(\frac1z\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n-2} 上式中 z^{-1} 的系数是 c_{-1}，是点 0 的留数，正好也是 f(z) 无穷远点留数的相反数，所以我们有：\text{Res}[f(z),\infty]=-\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right] 4.4 扩展留数定理画一个足够大的正向圈 C ，圈住所有奇点，这当然也满足留数定理。注意到 \frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=-\text{Res}[f(z)+\infty] ，我们有定理：扩展留数定理：设函数 f(z) 在扩展复平面内除有限个孤立奇点 z_1,z_2,\cdots,z_n, \infty 之外处处解析，则 \text{Res}[f(z),\infty]+\sum_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k]=0 ，即所有奇点的留数之和为零。