e为什么的导数是e是导数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-30 20:45 标签： 什么的导数是e
提供一个不是很严谨的解释：假设我们有一个指数函数 f(x) = a^x, a >0 ,我们想要知道它的导数 f'(x) 是什么样子的。所以根据导数定义 f'(x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\cfrac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}
a^x \cdot \cfrac {a^{\Delta x} - 1} {\Delta x} 。（此处略去 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\cfrac {a^{\Delta x} - 1} {\Delta x} 的收敛性证明，当然后来我们知道 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\cfrac {a^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = \ln a 。）我们神奇的发现指数函数的导数居然是它本身乘上一个常数因子 C(a) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac {a^{\Delta x} - 1} {\Delta x} ！而且更近一步，我们知道 C(2) < 1,C(3)>1 。（此处略去各种严格证明。）那么根据介值定理，我们知道它们之间有一个数，会让常数因子等于1，也就是说它的导数还是它本身！我们就叫这个天选之子 E 好了。根据上面的推导，有 C(E) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac {E^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = 1 。忽略极限符号（再次偷懒略去严谨的证明），可以推出 E = (1+ \Delta x)^{\frac 1 {\Delta x} } 。再将 \Delta x
替换为 \frac 1 n ，取极限，就是我们熟悉的自然常数 e = \lim_{n \rightarrow +\infty} (1+\cfrac 1 n)^{n } 了。
为什么e^x的导数等于本身?求推导!扫码下载作业帮搜索答疑一搜即得答案解析 查看更多优质解析d(e^x)/dx=lim(t->0) [e^(x+t)-e^x]/t=lim(t->0) e^x(e^t-1)/t令s=1/(e^t-1) t=ln(1+1/s) 当t->0时,s->+∞,所以原式=e^x*lim(s->+∞) 1/sln(1+1/s)=e^x*lim(s->+∞) 1/[ln(1+1/s)^s]=e^x*(1/lne)=e^x 楼上的回答中,...解析看不懂？免费查看同类题视频解析查看解答更多答案(1)二维码回顶部

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