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　　1?快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解;如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
　　2?推导规律时，往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。
　　3?空缺项在最后的，从前往后推导规律;空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律;空缺项在中间的可以两边同时推导。
　　4?若自己一时难以找出规律，可用常见的规律来“对号入座”，加以验证。常见的排列规律有：
　　(1)奇偶数规律：各个数都是奇数(单数)或偶数(双数);
　　(2)等差：相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。
　　(3)等比：相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减;
　　如：2 4 8 16 32 64()
　　这是一个“公比”为2(即相邻数之间的比值为2)的等比数列，空缺项应为128。
　　(4)二级等差：相邻数之间的差或比构成了一个等差数列;
　　如：4 2 2 3 6 15
　　相邻数之间的比是一个等差数列，依次为：0.5、1、1.5、2、2.5。
　　(5)二级等比数列：相邻数之间的差或比构成一个等比数理;
　　如：0 1 3 7 15 31()
　　相邻数之间的差是一个等比数列，依次为1、2、4、8、16，空缺项应为63。
　　(6)加法规律：前两个数之和等于第三个数，如例题23;
　　(7)减法规律：前两个数之差等于第三个数;
　　如：5 3 2 1 1 0 1()
　　相邻数之差等于第三个数，空缺项应为-1。
　　(8)乘法(除法)规律：前两个数之乘积(或相除)等于第三个数;
　　(9)完全平方数：数列中蕴含着一个完全平方数序列，或明显、或隐含;
　　如：2 3 10 15 26 35()
　　(10)混合型规律：由以上基本规律组合而成，可以是二级、三级的基本规律，也可能是两个规律的数列交■组合成一个数列。
　　如：1 2 6 15 31()
　　相邻数之间的差是完全平方序列，依次为1、4、9、16，空缺项应为31+25=56。
　　《练习题精练和精讲》
　　(数字推理及其解题过程)
　　(一)1/2,1/3,2/3,6/3,(B),54/36
　　A 9/12 B 18/3 C 18/6 D 18/36
　　解题：第三项等于第二项乘以第一项的倒数
　　2*1/3=2/3, 3*2/3=6/3, ….答案为3/2÷6/3=3即18/3
　　(二)① 4,3,2,0,1,-3,(C)
　　A -6 B -2 C 1/2 D 0
　　解题：本题为交叉数列。3，0，-3一组;4，2，1，1/2一组。答案为1/2
　　很明显，前者为等差数列，后者为等比数列。
　　② 4,24,124,624,( )
　　A 1023, B 781, C 3124, D 1668
　　解题：等差等比数列,即高中数学中的差后等比数列。差为20，100，500，2500。等比为5
　　答案为624+2500=3124
　　(三)①516，718，9110，( )
　　A10110，B11112，C11102，D10111
　　解题：分成三部分：
　　从左往右数第一位数分别是：5、7、9、11
　　从左往右数第二位数都是：1
　　从左往右数第三位数分别是：6、8、10、12
　　答案为11112
　　②3/2,9/4,25/8,(　)
　　A 65/16, B 41/8, C 49/16, D 57/8
　　解题：原数列可化为1又1/2, 2又1/4, 3又1/8。故答案为4又1/16 = 65/16
　　③0,1/9,2/27,1/27,(　)
　　A4/27,B7/9,C5/18,D4/243
　　解题：0/3^1, 1/3^2,2/3^3, 3/3^4,答案为4/3^5 =4/243
　　(四)①1,2,9,( ),625.
　　A.16, B.64, C.100, D.121
　　解题：1的0次方、2的1次方、3的平方、4的立方、5的4次方。答案为B。64
　　②10,12,12,18,(　),162.
　　A.24, B.30, C.36, D.42
　　解题：10*12/10=12， 12*12/8=18， 12*18/6=36， 18*36/4=162　答案是：C，36
　　③5,( ),39,60,105.
　　A.10, B.14, C.25, D.30
　　解题：答案B。 5=2^2+1，14=4^2-2，39=6^2+3，60=8^2-4，105=10^2+5
　　(五)①1/7,3/5,7/3,( 　)
　　A.11/3,B.9/5, C.17/7,D.13,
　　解题：分子差2，4，6……分母之间差是2所以答案是D.13/1
　　②5，4，3，根号7，(　)
　　A。根号5，B。根号2，C。根号(3+根号7)，D。1
　　解题：3=根号(5+4)，根号7=根号(4+3)，最后一项=根号(3+根号7)。选C
　　(六)①2，12，30，(　)
　　A.50，B.45，C.56，D.84
　　1*2
　　2*6
　　3*10
　　4*14
　　解题：答案C。1^2+1 3^2+3 5^2+5 7^2+7
　　②1，0，1，2，(　)
　　A.4，B.3，C.5，D.2
　　解题：1+0=1，1+0+1=2，1+0+1+2=4。答案A
　　(七)①1/7，1/26，1/63，1/124，()
　　A.1/171，B.1/215，C.1/153，D.1/189
　　解题： 答案：B。分母是2，3，4，5，6的立方减1
　　②2，8，26，80，()
　　A.242，B.160，C.106，D.640
　　解题： 答案A。差为6，18，54，162(1*6，3*6，9*6，27*6)，162+80=242
　　(八)5)0，4/27，16/125，36/343，()
　　A.64/729，B.64/523，C.51/649，D.3/512
　　解题： 选A。分子0,2,4,6,的平方。分母1,3,5,7,的立方
　　6)1，2，9，121，()
　　A.251，B.441，C.16900，D.960
　　解题： 选C。前两项的和的平方等于第三项
　　8)2，2，8，72，()
　　A.81，B.1152，C.121，D.256
　　解题： 选B。后一项除以第一项分别得1、4、9，故推出B.1152除以72得16。
　　(九)6)3,2,5/3,3/2,( )
　　A.7/5,B.5/6,C.3/5,D.3/4
　　解题： 选A。3/1，5/3，7/5….，
　　2/1,3/2。双数列
　　7)13,21,34,55,( )
　　A.67,B.89,C.73,D.83
　　解题：选B。前两项之和等于第三项
　　10)3/8,15/24,35/48，( )
　　A.25/56,B.56/75,C.63/80,D.75/96
　　解题：选C。分子为2平方-1，4平方-1，6平方-1，8平方-1
　　分母为3平方-1，5平方-1，7平方-1，9平方-1
　　(十)6)1/3，1/15，1/35，()
　　A.1/65，B.1/75，C.1/125，D.1/63
　　解题： 答案D。分母分别为2,4,6,8,的平方减1
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　　7)1，2，6，24，()
　　A.120，B.56，C.84，D.72，
　　解题：答案A。1*2=2，2*3=6，6*4=24，24*5=120
　　9)1/2，2，6，2/3，9，1，8，()
　　A.2，B.8/9，C.5/16，D.1/3
　　分组!!
　　解题： 选A。1/2*2=1平方
　　6*2/3=2平方
　　9*1 = 3平方
　　8*2 = 4平方
　　(十一)1)69，()，19，10，5，2
　　A36，B37，C38，D39
　　解题：选A。 2，5，10，19，36，69
　　*2+1。*2+0，*2-1，*2-2，*2-3，
　　根据规律附加(*2-4=134)
　　5)2，3，6，36，()
　　A.48，B.54，C.72，D.1296
　　解题： 选D。2*3=6，2*3*6=36，2*3*6*36=?
　　6)3，6，9，()
　　A.12，B.14，C.16，D.24
　　解题：选A. 原来发布的题目编辑有错误。
　　7)1，312，514，()
　　A.718，B.716，C.819，D.518
　　解题：这题书上题目原来就是这样，思路还没有找出。大家讨论。参考答案是B
　　8)144，72，18，3，()
　　A.1，B.1/3，C.3/8，D.2
　　解题：答案C。 144/72=2，72/18=4，18/3=6，3/?=8。?=3/8
　　(十二)2)20，31，53，86，()
　　A.130，B.144，C.141，D.124
　　解题：选A。等差数列，差为11,22,33,44。推理86+44=130
　　5，6，10，9，15，12，( ), ( )
　　A.20，16，B.30，17，C.20，15，D.15，20
　　解题：选C。本题第一项原来为4，现在改成5
　　4)1/5，1/10，1/17，1/26，()
　　A.1/54，B.1/37，C.1/49，D.1/53
　　解题：选B。分母差分别为5、7、9、11
　　7)215，213，209，201，()
　　A.185，B.196，C.198，D.189
　　解题： 选A。这题选项A经过大家讨论修改成185。
　　10)3，15，35，63，()
　　A.85，B.99，C.121，D.79
　　解题：选B。2的平方-1，4的平方-1，6的平方-1，8的平方-1。10的平方-1=99
　　(十三)略
　　(十四)
　　6)12,16,14,15,( )
　　A.13,B.29/2,C.17,D.20
　　解题： 选B，前两项的和除以2等于第三项。12+16/2=14、16+14/2=15、14+15/2=29
　　/2。
　　7)0,7,26,63,( )
　　A.124,B.168,C.224,D.143
　　解题：选A。1`3-1 ,2`3-1, 3`3-1,4`3-1. 5`3-1=124
　　(十五)
　　3)1/3,1/7,1/21,1/147,( )
　　A.1/259, B.1/3087, C.1/531, D.1/2095
　　解题： 选B。前面两项分母相乘得到第三项的分母，分子都是1。故21×147=3087，
　　10)5,25,61,113,( )
　　A.154, B.125, C.181, D.213
　　解题： 选C。 1,2平方和， 3,4平方和， 5,6平方和， 7,8平方和。 9,10平方和=181
　　这题还可以理解成是二级等差数列。
　　(十六)
　　2)0,3/2,4,15/2,( )
　　A.35/2, B.10, C.25/2, D.12
　　解题：选D。原题化成 0/2，3/2, 8/2, 15/2。 分子是等差数列3，5，7，9，所以是24/2=12
　　5)-1,24,99,224,( )
　　A.399,B.371,C.256,D.255
　　解题： 选A。二级等差数列。差为25，75，125，175
　　9)4,7,12,19,( )
　　A.20,B.28,C.31,D.45
　　解题： 选B.二级等差数列，差为3，5，7，9
　　10)1,3,15,105,( )
　　A.215,B.945,C.1225,D.450
　　解题：选B。1×3，3×5=15，15×7=105，105×9=945
　　(十七)
　　2)1,2,6,24,( )
　　A.72,B.36,C.120,D.96
　　选C。1×2=2，2×3=6，6×4=24，24×5=120
　　5)根号6-根号5，1/(根号7+根号6)，2(根号2)-根号7，1/(3+2(根号2))，( )
　　A.根号10+3，B.1/(根号10+3)，C.根号10-2(根号2)，D.1/3-根号10
　　化简：1/(根号7+根号6)，--------------根号7-根号6
　　2(根号2)-根号7，-------------根号8-根号7
　　1/(3+2(根号2)，------------根号9-根号8
　　所以推出~~~~~~~~~~~~~~~~~根号10-根号9
　　答案：B.1/(根号10+3)，
　　10)80，62，45，28，()
　　A.7，B.15，C.9，D.11
　　选C。 9`2-1,8`2-2,7`-4,6`2-8-------5`2-16=9
　　(十八)14,77,194,365,( )
　　A.425,B.615,C.485,D.590
　　选D。二级等差数列。差为63，117，171....
　　(十九)(1)4,8,24,96,( )
　　A.250,B.480,C.360,D.39
　　选B。4×2=8，8×3=24，24×4=96，96×5=480
　　(2)1/3,1/6,1/2,2/3,( )
　　A.1,B.6/5,C.1(1/2),D.7/6
　　选D。前两项的和等于第三项。1/3+1/6=1/2，1/6+1/2=2/3，1/2+2/3=7/6
　　(二十)(1)4,9,8,18,12,( )
　　A.22,B.24,C.36,D.27
　　选D。交叉数列，一个是4，8，12;另一个是9，18，(27)
　　(2)1,2,3,0,5,-2,( )
　　A.3,B.7,C.5,D.9,
　　选A。 1+2-3=0,2+3-0=5,0+5-(-2)=7
　　(二十一)1/49,1/18,3/25,1/4,( )
　　A.4/5,B.6/7,C.7/8,D.5/9
　　解题为：选D。原题化为1/49,2/36,3/25,4/16,---5/9;
　　分子是1，2，3，4，5。分母是7，6，5，4，3的平方
　　(二十二)略
　　(二十三)1，1/3，4/15，2/7，( )
　　A.16/45，B.7/9，C.2/3，D.3/5
　　解题为：分子:1,2,4,8,16;分母:1,6,15,28,45;分母各项差是二级等差。选D
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各位别用算术平方根反驳我了，你用初中规定反驳复变函数，不脸红么？正文开始\sqrt{4} 等于多少？可能很多人都知道，是2。但是对一个负数开根号呢？比如 \sqrt{-1} 是多少？？托很多科普文章的福，大家都知道 \sqrt{-1}=\rm{i} ，因为 \rm{i}\cdot\rm{i}=-1 。但是。。你稍微想想，为什么不是 \sqrt{-1}=-\rm{i} 呢？毕竟 -\rm{i}\cdot\left(-\rm{i}\right)=-1 也是没问题的啊？然后有人说了，初中就学过了， \sqrt{4}=\pm2 ，但是我们只取正的，叫算数平方根。所以对 \sqrt{-1}=\pm\rm{i} ，我们也取正的就可以了。（当然此时你还意识不到复数不能比大小，正负也就无从谈起了。）但是，如果不是开二次方，是开三次方呢？\sqrt[3]{8} 是多少？是 2 么？为什么不是 2，-1+\sqrt{3}\,\rm{i}，-1-\sqrt{3}\,\rm{i} 呢？毕竟 \left(-1+\sqrt{3}\,\rm{i}\right)^3=\left(-1+\sqrt{3}\,\rm{i}\right)\cdot\left(-1+\sqrt{3}\,\rm{i}\right)\cdot\left(-1+\sqrt{3}\,\rm{i}\right)=\left(-2-2\sqrt{3}\,\rm{i}\right)\cdot\left(-1+\sqrt{3}\,\rm{i}\right)=8 没问题啊。于是，开三次根号八，居然有三个解！函数的定义是什么？一个自变量对应唯一一个因变量？但是开三次方这个函数，居然一个自变量对应三个因变量？到此为止，你应该以经发现了，只要你承认 \rm{i}\cdot\rm{i}=-1 ，你就不可避免地要回答一个问题， \sqrt{2} 到底是正二还是负二？开根号到底是有几个解？看来复数，并不只是 \sqrt{-1}=\rm{i} 这么简单。复数定义设有一对有序实数 (a,b) ，遵从
加法： (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
乘法： (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc) 则称这一对有序实数 (a,b) 定义了一个复数 \alpha=(a,b)=a(1,0)+b(0,1) ，其中 a 为 \alpha 的实部， b 为虚部。复数减法为加法的逆运算 (a,b)-(c,d)=(a-c, b-d) 虚数单位 \rm{i}=(0,1) 原来我们要先定义一对实数，并满足两个运算法则，然后 (0,1) 就是我们要的虚数单位 \rm{i} 了。给读者留个小作业，验证 \rm{i} 的平方为负一。复数运算共轭复数： \alpha^*\equiv a-b\,\rm{i} 与 \alpha=a+b\,\rm{i} 互为共轭，共轭复数的乘积为实数，因为(a-b\,\rm{i})\cdot(a+b\,\rm{i})=a^2+b^2 。复数除法：我们可以用共轭复数来记算除法\frac{a+b\,\rm{i}}{c+d\,\rm{i}}=\frac{(a+b\,\rm{i})(c-d\,\rm{i})}{(c+d\,\rm{i})(c-d\,\rm{i})}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,\rm{i} 复数几何表示既然复数是两个实数组成的一对，那我们把第一个实数画在横轴上，第二个实数画在纵轴上，于是就有了复平面原来复数好似是复平面上的一个向量，共轭复数关于实轴对称。复数的极坐标和指数表示由上图，我们发现 x=r\cos\varphi,~y=r\sin\varphi, r=\sqrt{x^2+y^2} ，于是我们把复数写成极坐标的形式\alpha=r(\cos \varphi+\rm{i}\,\sin \varphi) 其中 r 为复数的模， \varphi 为复数的辐角。大名鼎鼎的欧拉公式已上线： \rm{e}^{\varphi\,\rm{i}}=\cos \varphi +\rm{i}\, \sin \varphi ，于是复数也可以写成指数形式\alpha=r\rm{e}^{\rm{i}\,\varphi} 。原来复数还不能完全看成是向量，因为乘法时是模相乘辐角相加，并不是向量的点乘或者叉乘。到底怎么算三次根号下八？我们现在知道了，对于实数，其实是躺在实轴上的一个复数，也就是辐角 \varphi=0 ，其指数表示法为8=8\rm{e}^{0\,\rm{i}} 但，为什么不是 8=8\rm{e}^{2\pi\,\rm{i}} 呢？但，为什么不是 8=\rm{e}^{4\pi\,\rm{i}} 呢？？因为辐角0度，和360度，和720度，都是在同一个地方啊？但是你把这三个辐角都除以3，就会产生不同的结果。对于 8=8\rm{e}^{0~\rm{i}} ， 8^{1/3}=\left(8\rm{e}^{0\,\rm{i}}\right)^{1/3}=2\rm{e}^{0/3\,\rm{i}}=2 对于 8=8\rm{e}^{2\pi\,\rm{i}} ， 8^{1/3}=\left(8\rm{e}^{2\pi\,\rm{i}}\right)^{1/3}=2\rm{e}^{2/3\pi\,\rm{i}}=2\left( \cos \frac{2}{3}\pi +\rm{i}\,\sin \frac{2}{3}\pi \right)=-1+\sqrt{3}\,\rm{i} 给读者留个作业，自行计算 8^{1/3}=-1-\sqrt{3}\,\rm{i} 。多值函数原来，在计算复数时，由于其辐角 \varphi=\varphi_0+2\pi n,~n=0,1,2... 的多值性，函数的因变量也会有不同的值。此为多值函数。开方和取对数，在复数域里，都是多值函数。从此，函数不再是一对一的了。或者说，函数其实还是一对一的映射，但是多值函数不算是函数了。后记：笔者是学物理的，对数学概念理解得并不深，如果有错误还请各位数学专业大佬多多指教。。