求与a可交换的矩阵是什么意思u和v为啥交换？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-09-23 18:05 标签： 求与a可交换的矩阵是什么意思
更新：7月4日22:00updated放在后半，之前的回答只字未易——————————————————————————————————————1.简而言之：\frac{\partial z}{\partial x} \ne \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} 2.繁而言之：不像常微分里那样，若z=z(u),u=u(x)则\frac{dz}{dx} =\frac{dz}{du} \frac{du}{dx} . 偏微分复合函数直接约分根本就是错的。接下来一段话可能有些让你觉得繁琐乏味，但是看完之后对此问题你就不会再说：因为公式就是这么写的，因为是偏微分，所以就是不能约分。首先，请记住在计算\frac{\partial z}{\partial u} 的时候，一定要清楚当z随着u变化的时候谁没有变。也许你会说：z=z(u,v)所以是v没有变。这样说姑且算对，但是只知道这一点的人就会提出这个问题：f = x*x - y*y, x, y是相互独立的变量，那么 f 对(x-y)的偏导数是多少？也许你还是觉得这个问题自找麻烦了，那么请打开一本热力学与统计物理的教科书，比如 汪志诚 的，你就会看到(\frac{\partial U}{\partial T} )_{V} 、(\frac{\partial U}{\partial T} )_{S} 这类绝非扯淡的偏微分方式。回到我们的原本的问题上来，单独地处理\frac{\partial u}{\partial x} 和\frac{\partial z}{\partial u} 的问题时，我们不会问"没变化自变量是谁"。当问题是处理它们的关系之时，”没变化自变量是谁“就值得考虑了。在计算\frac{\partial u}{\partial x} 之时，u随着x一起变化，而本来是和x一起共同决定u的值的y保持不变u=u(x,y)，在计算\frac{\partial z}{\partial u} 之时，本来与u一起决定z的值的v没有变z=z(u,v).此外，还知道 z是u和v的函数，而u和v又都是x和y的函数，所以最基层的自变量是x和y.这样一来，计算\frac{\partial z}{\partial u} 的过程从最基层的自变量x与y的角度理解就是z(u(x,y),v(x,y))随u(x,y)变化而变化，未变化的是v(x,y).于是乎，一边是\frac{\partial z}{\partial x} ：x自由变化，y固定不变，而u(x,y)与v(x,y)均可以随着x的改变而变化。一边是\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} :x倒是仍能自由变化，右侧分式的u(x,y)也可以随x而变化，不过左侧分式的u出现在分母位置，也就是说v被锁定死了，所以计算结果自然不会与\frac{\partial z}{\partial x} 相等。用比较专业的话来说就是：定义偏导数的时候，一定要说明使用的整体坐标系统，而不是只看“分子”和“分母”。用通俗一些的话来说：一所名叫z的房子里面有两个房间：u和v，两个房间里面都有两种人x和y，直接算\frac{\partial z}{\partial x}相当于让两个房间里面的y类型的人闭嘴，听听整个房子里面x类型的人说话是什么效果，而\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}相当于先封印v房间，只开放u房间，然后看看只让u房间里面x类型的人说话是什么效果。至于那个完整的偏微分展开式也可以做类似的比拟来理解。——————————————————————————————————————接下来，我将采用古典的几何直观方法给出微分形式的论证。可微的一元函数y=y(x)可以看成平面上的一条曲线，而它的微小局部可以近似成一段直线。在点(x_{0}, y_{0}
)附近微小的一段函数都可用一条直线（其实也就是它的切线）代替：y-y_{0}=k(x-x_{0})既然是等效的替代，就有理由认为直线的微分形式dy=k dx也是曲线的微分形式。与此类似的，可微的二元函数z=z(x,y)可以看成三维空间中的一块曲面，它在点(x_{0},y_{0},z_{0})附近微小的一块曲面可以用小块平面代替：z-z_{0}=m(x-x_{0})+n(y-y_{0})两者共同的微分形式：dz=mdx+ndy从dy=k dx可以直接得到k=\frac{dy}{dx} ，但是面对dz=mdx+ndy，m和n该怎么办呢？那就强行让dx=0或者dy=0吧，m=\frac{dz(x,y)}{dx} (dy=0), n=\frac{dz(x,y)}{dy} (dx=0)不过这样写不太方便，改为\frac{\partial z(x,y)}{\partial x} =\frac{dz(x,y)}{dx}(dy=0)和\frac{\partial z(x,y)}{\partial y} =\frac{dz(x,y)}{dy}(dx=0)微分形式变为：dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy参考如下照片，倾斜的截面就是近似代替二元函数的平面，各个偏导数的几何意义如图所示：暂且就这样吧

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