为什么用幂级数怎么求解常微分方程？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-02 06:37 标签： 幂级数怎么求
上节介绍了Maple中常微分方程的求解这几介绍常微分方程的级数解法1、泰勒级数法当一个常微分方程的解析解难以求得时，我们仍就可以用 Maple 求得方程解的泰勒级数。这在大多数情况下，这还是一种非常好的近似结果。作为例子，我们用泰勒级数法求解物理摆的角振动方程：其中 l 是物理摆的摆长， 是摆角， g 是当地的重力加速度。我们要求解的是没有激励的情况下，在 v0 初速度下的自由振动。首先，还是在 Maple 中先定义要解的微分方程和定解条件：用泰勒级数发解微分方程，用的还是函数 dsolve，只不过需要加上参数 type = series。我们在之前介绍级数时讲过，级数的默认展开阶数是由环境变量 Order 决定的，在这里也如此。默认情况下， Order 的值是 6。如果需要改变，可以先对它赋值。例如，我们对物理摆问题求它的 9 阶泰勒级数解：2、幂级数解法对于一个符号代数系统来说，幂级数是必不可少的微分方程求解工具。在 Maple 的幂级数工具包 powseries 中就有幂级数求解函数 powsolve。不过，这一工具的使用范围很有限，它只可以用来解决多项式系数的线性常微分方程（或方程组）。我们首先来看一个贝赛尔方程的简单例子：对于它， Maple 可以给出用贝赛尔函数表示的解析结果：下面，我们用函数 powsolve 来求解在初值 y(0)=1 ， y^{'}(0)=0 下的幂级数解：可以看到， powsolve 给出的是子程序形式的幂级数，为了得到截断形式的近似解，可以用 tpsform 获得幂级数的截断形式：也可以用 powsolve 给出的函数直接获得用递归形式定义的幂级数系数，不过，参数必须用_k，因为这是 powsolve 使用的临时变量。上面这个式子表示该幂级数具有递归形式的系数： a_{k}=-4\frac{a_{k-3}}{k^{2}} 。幂级数解法的第二个例子是量子力学中的一个经典例子：一维谐振子的解。薛定锷方程在无量纲化后具有这样的形式：然后，做变量替换 y(x)=h(x)e^{-x^{2}/2} ，方程可以整理为：我们再用 powsolve 求解这个变换后的方程：还可以得到递归形式的幂级数系数：当然，这个递归表达式还可以写成：
(k+1)(k+2)a_{k+2}=(2k+1-\varepsilon)a_{k} 。如果存在整数 k ，使 \varepsilon=2k+1 成立，那么，这个级数就是一个有限项级数。来自：《Maple手册》

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