曲线积分，求求别人解答说

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-09 08:56 标签： 求别人解答说

在考研数学答疑辅导过程中，宝刀君昨天晚上收到学生求助的这样一道题，即下图的例题7：

学生拿到题后，产生的主要疑问是：

  • 题中描述的L到底过没有过原点？

这是一道求第二类曲线积分的题目，按照考纲要求，必然是考格林公式，只不过与常见题目不同的地方在于：

第一，曲线L只是笼统的解说说：绕过原点、封闭正向；

第二，被积函数中的分母φ(x)具体形式未知，只告诉了φ(1)=1;

综上，本题是格林公式与微分方程两个知识点结合在一块考，在第一问中求出φ(x)后，方可求出第二问。

这道题的题干描述上，已经说了L是“绕过原点的正向闭曲线”，即“封闭曲线L包围原点（0,0）”，然而在解答过程中，它又写的是“任取一条不绕过原点的正向闭曲线L”，先不论后边的解题过程，单单这两句，就已经对学生产生了困扰：“到底L是过没过原点啊？”

算了，我分不清你到底绕没绕原点，反正你是把我给绕晕了，洗洗睡吧。。。

这里可以肯定的是，要以题干的描述为主，根据题干可知，L是包含原点的，为了避免混淆，宝刀君建议学生将上面这图画红线的1处 ，把解题过程中的：“任取一条不绕过原点的正向闭曲线L ” 改成 ” 任取一条不绕过原点的正向闭曲线 L' ”，

接下来画红线的第二句：“由格林公式得”，这句话写在这里，可就大错特错了。

因为下面这两个恒等式，是根据题干描述得出来的，L1+L3、L2逆+L3，就等价于题干描述的L：封闭正向绕过原点（包含原点），所以按照题干描述，可以写出这两个恒等式，另一方面，你给出的曲线是包含原点的，而分母φ(x)未知，不清楚此时（0,0）点是不是满足这个分式，如果（0.0）点代入到分母中无意义，那么格林公式的使用条件被破坏，根本就不能用格林公式。

因此，画红线的第二句：“由格林公式得”，这句话写在这里，是错误的，可以改成“由题干得”。

当φ(x)求解出来后，剩下的第二问就很常见了，太熟悉不过了，纯粹是套路，对此的深度解析，可以参考我之前写的文章（认真看完，你就明白格林公式究竟是怎么一回事了）：

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