1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

1、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

1、秩的定义：非零子式的最高阶数

（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

二、线性组合和线性表示

 1、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

 2、线性表示的充分条件：

若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

 3、线性表示的求法：（大题第二步）

 设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

三、线性相关和线性无关

1、线性相关注意事项：

（1）α线性相关←→α=0

 （2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

2、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数

 3、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（2）部分相关，则整体相关

（3）高维相关，则低维相关

（4）以少表多，多必相关

★推论：n+1个n维向量一定线性相关

 4、线性无关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性无关

（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关

 5、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，部分无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交的非零向量组线性无关

（4）不同特征值的特征向量无关

 6、线性相关、线性无关判定

★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

四、极大线性无关组与向量组的秩

1、极大线性无关组不唯一

2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

 ★3、极大线性无关组的求法

（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法

（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

设α1，α2，α3线性无关

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n

 2、非齐次方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

 ★1、重要结论：（证明也很重要）

设A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

（1）B的列向量均为方程Ax=0的解

 2、总结：基础解系的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

 1、齐次线性方程组的通解（所有解）

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，

 2、非齐次线性方程组的通解

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，

一、矩阵的特征值与特征向量

 1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

 2、特征多项式、特征方程的定义：

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以写为|A-λE|=0

（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

 △4、总结：特征值与特征向量的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑

（2）A为数字的：由特征方程法求解

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)

（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）

1、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=称A可相似对角化。

 2、相似对角化的充要条件

（1）A有n个线性无关的特征向量

（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

 3、相似对角化的充分条件：

（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

（2）矩阵形式（常用）

如果二次型只含平方项，这样的二次型称为标准形（对角线）

 3、二次型化为标准形的方法：

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

 △2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

四、正定二次型与正定矩阵

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

（1）A的正惯性指数为n

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

 3、总结：二次型正定判定（大题）

（1）A为数字：顺序主子式均大于0

（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定