分式的基本性质教学设计Tag内容描述：

1、不等式的基本性质 教学设计 教学设计思想 本节主要学习了不等式的三个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质 3 的探索 及运用，讲解时要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点， 这样有助于加深理解不等式的基本性质 .对于不等式的基本性质 3，采用通过学生自己动手实践、观察、 归纳猜想结论、验证等环节来突破的 .并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目 的 . 教学目标 知识与技能 总结不等式的基本性质； 能够运用不等式的基本性质解决有关问题 . 过程与方法 经历。

2、比例的基本性质 学习目标1.理解比例的基本性质，认识比例的各部分名称。2.能用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。学习重点理解比例的基本性质。学习难点会根据比例的基本性质判断两个比能否组成比例。教具学具：PPT课件教学环节 1、 复习（课件出示以下问题，指名学生回答）1、什么叫做比例？2、什么样的两个比才能组成比例？3、判断下面的比，哪两个比能组成比例？把组成的比例写出来。3 : 9 18 : 30 3 ： 6 1.8 ：0.9 2 ： 4 9 ：27学生独立完成后全班交流订正。判断两个比能不能组成比例，除了看比值是否相等，还有没有其它的。

3、分数的基本性质教学设计教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书数学五年级（下册）7578页。设计思路： 分数的基本性质是人教版义务教育课程标准实验教科书数学五年级（下册）第四单元分数的意义和性质的第三节内容。它是在学生已掌握了商不变的性质之后，并在已有应用经验的基础上进行学习的。这节课的教学重点是理解和掌握分数的基本性质，并能运用分数的基本性质解决实际问题。教材共安排了两道例题、“做一做1、2题”等。教学中创设学生熟悉的情景，组织学生自主活动，进行主动探究，体会知识的形成过程，体验学习的快乐。通过鼓。

4、教学设计学科 数学 授课年级 六年级 姓名 赖正阳章节名称比例计划学时7课时教材分析两个比相等的式子叫做比例比的基本性质-与分数的基本性质类似比的应用-按比分配比例的应用-比例尺等两种特殊的比例-正比例、反比例比例的基本性质-內项外项积相等解比例比例的意义-两个比相等比的意义-两个数相除比例（六年级下册）比（六年级上册）比和比例1、宏观上看，现行人教版小学数学教材对比和比例有关知识的编排作了较大的调整。将过去教材六年级下册的“比和比例”单元一分为二，在六年级上册分数除法单元中安排“比和比的应用”，目的是加强比。

5、分数的基本性质教学设计教学内容：九年义务教育六年制小学教科书第十册第106107页分数的基本性 质完成相应的练习。教学目标：1从生活中收集数据，让学生通过发现合作探究三组大小相等的分数， 自主归纳出分数的基本性质。2学生能运用分数的基本性质。

6、望子成龙学校 八年级数学资料第5讲 分式的基本性质一、方法与技巧归纳1、分式的定义 A、B都是整式，且B0，就把AB表示成的形式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.2、分式有意义、无意义或等于零的条件（1）分式有意义分式的 不等于零；（2）分式无意义分式的 等于 ；（3）分式的值等于零的条件分式的 等于零且 不等于零.3、分式的基本性质 4、最简分式一个分式的分子和分母没有公因式，这个分式叫做最简分式，也叫既约分式.二、专题剖析专题一：分式与最简分式的判别例题1：（1）在，中，分式的个数有 个.（2）下列分式，中，最简分式的个。

7、分数的基本性质的教学设计 学习内容：教材第75、76页。学习目标：1.理解和掌握分数的基本性质。2.运用分数的基本性质把一个分数化成分母（或分子）而大小不变的分数，并能应用这一规律解决简单的实际问题。3.培养乐于探究的学习态度。学习重点：理解和掌握分数的基本性质。学习难点：应用分数的基本性质解决简单的实际问题。学习过程：一、温故知新、导入新课（2至3分钟）1、124 = ( 123

8、15.1.2分式的基本性质及分式的通分（第1课时）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质（一）。2、通过学习分式的基本性质（一）乘法，学会进行分式的通分一、分式的基本性质（一）乘法1、自学课本课本129页内容，回答下列问题，并在课本上进行标记：（1）分数的基本性质；（2）分式的基本性质；（3）用式子表示分式的基本性质：2、分式的基本性质（一）“乘法”用式子表示为： ,其中C可以表示单独的数、字母、单项式或多项式例1、下列分式的变形是否正确？为什么？（1） 、 （2）例2、利用分式的基本性质填空： （4） 例3。

9、分式和它的基本性质练习题 1有理式，中，是分式的有（ ） A B C D2分式中，当x=-a时，下列结论正确的是（ ） A分式的值为零； B分式无意义 C若a-时，分式的值为零； D若a时，分式的值为零3当x_时，分式的值为正；当x_时，分式的值为负4下列各式中，可能取值为零的是（ ） A B C D5使分式无意义，x的取值是（ ） A0 B1 C-1 D16根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A B C- D7下列各式中，正确的是（ ）A=; B=; C=; D=8下列各式中，正确的是（ ） A B=0 C D9、下列各式，x+y，-3x。

10、15.1.2分式的基本性质及分式的约分（第2课时）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质（二）除法。2、通过学习分式的基本性质（二），学会进行分式的约分一、分式的基本性质（二）1、自学课本课本129页内容，回答下列问题，并在课本上进行标记：（1）分数的基本性质；（2）分式的基本性质；（3）用式子表示分式的基本性质：2、分式的基本性质（二）“除法”用式子表示为： ,其中C可以表示单独的数、字母、单项式或多项式例题1 ：利用分式的基本性质填空提示：分子分母是多项式且能够分解因式的，先试一试分解因式之后再填。

11、小数的基本性质教学设计教学内容：苏教版五年级上册P3435例5、例6，“试一试”、“练一练”，练习六15题。教学目标：1、理解并掌握小数的性质；2、能运用小数的性质进行小数的化简和改写；3、培养学生对所学知识的归纳概括，分析综合及灵活运用的能力。教材的重点：通过探索，发现小数的性质，运用小数的性质解决相关问题。教学难点：对小数的性质这一概念的理解是本节的难点。教学过程：一、导入新课在商店里，经常把商品的标价写成这样的小数：手套每双2.30元，毛巾每条5.00元。这里的2.30元、5.00元分别是多少钱？（2.30元是2元3角，5.。

12、第十五章分式八年级数学人教版上册15.1.2分式的基本性质（第3课时）授课人：XXXX分式的基本性质：（其中M是不等于零的整式）与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：一、新课引入1、约分：二、新课讲解2、把下面的分数通分：3、什么叫分数的通分？把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.4、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.5、通分的关键是确。

13、 数学与信息科学学院试讲说课稿 分式及其基本性质说课稿一、课题介绍选自华东师大版八年级下册第十六章第一节“分式及其基本性质”，根据课标的理念，对于本节课，我将从教材分析、教学重难点、教法学法分析、教学过程、教学评价五个方面具体阐述我对这节课的理解和设计.二、教材分析1、地位和作用本节内容分两课时完成，我设计的是第二课时的教学，主要内容是分式的基本性质及其运用.分式是继整式之后对代数式的学习，是整式的一种补充，与整式一样分式也是解决问题的常用工具.本节课的内容是分式中较为重要的一课，是今后学习分式约分与。

14、分式及分式的基本性质从分数到分式 知识领航：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；当B=0时，分式无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零1、 当x取什么值时，下列分式有意义（1） ， （2）.2、已知分式，当X为何。

15、各组分数是否相等？让学生说说从左到右是怎样运算的？问题2：以上运算的依据是什么？ 分数的基本性质 那么，你还记得分数的基本性质的内容是什么？（板书在左边黑板） 一个分数的 乘（或除以）同一个 的数，分数的 。 对于任意的分数2、可以变形的依据是什么？ 都满足以下式子： 列式思考：问题1：因为汽车是匀速行驶的，那我们得到的分式相等吗？ 问题2：这2个等式从左到右是进行了怎样的变形？从右到左呢？衔接语:由此可见，分式有着与分数类似的性质！那么，这节课我们就来学习分式的基本性质.）问题1：你能类比分数的基本性质，得到分。

16、一、选择题（每小题3分，共39分）1下列分式中与分式的值相等的是( )A B C D2对分式，通分时，最简公分母是( )A24x2y2 B12x2y224xy212xy23公式，的最简公分母为( )A（x1）2 B（x1）3 C（x1） D（x1）2（1x）34下列运算中，错误的是( )A BCD5不改变分式的值，使分。

17、15.1.2分式的基本性质（1）一、前置性作业1、 找出下列各组单项式的公因式，并让学生说明方法。（学生口答） （1）2bc和ac （2）5x和25x2 （3）15ab2c和25a2bc3 找公因式的方法：一看（ ）二看（ ）三看（ ）2、 把下列多项式分解因式（板书在黑板右边，学生填空） （1）3x_3y = （2）x2+xy= （3）x2_9 = （4）x2+6x+9= （5） 6x2_12xy+6y2= 分解因式的方法有( )和（ ）两种二、回顾旧知 问题1：各组分数是否相等？让学生说说从左到右是怎样运算的？问题2：以上运算的依据是什么？ 分数的基本性质 那么，你还记得分数的基本性质的内容是什。

初二数学（下）应知应会的知识点

1．二次根式：一般地，式子a,(a?0)叫做二次根式.注意：（1）若a?0这个条件不成立，则 a不是二次根式；（2）a是一个重要的非负数，即；a ≥0.

3．ab??b(a?0,b?0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.

5．二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小.

7．二次根式的除法法则：

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化

因式，使分母变为整式.

8．常用分母有理化因式： 与，?b与a?b， m?nb与m?n，它们

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被

开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.

11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内

的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有

时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

四边形 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，

菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二 定理：中心对称的有关定理

※1．关于中心对称的两个图形是全等形.

※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

11．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高） 2

2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）

13．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线） 2

※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：

2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

平行四边形n(n?3). 2矩形方菱形

3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ?? ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ?? ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 ?? .注意：线段有两条对称轴.

※5．梯形中常见的辅助线：

※6．几个常见的面积等式和关于面积的真命题：

第二篇：八年级下册数学知识点已整理 2500字

苏科版八年级数学下册知识点总结

7.1用不等号表示不等关系的式子叫做不等式

1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 7.2不等式的性质：○

2不等式的两边都乘（或除以不为0）正数，不等号的方向不变；不等 ○

式的两边都乘（或除以）负数，不等号的方向改变

7.4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。

7.5用一元一次不等式解决问题

7.6由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。

7.7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数

当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；

当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

8.1AB叫做分式，其中

A是分式的分子，B是分式的分母。

8.2分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示就是AB=A?M

B?M(其中M是不等于0的整式)

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。

8.3同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减

异分母的分式相加减，先通分，再加减。

8.4分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

8.5分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时就可以将分式方程转化为一元一次方程来解。

如果由变形后的方程求得的根不合适原方程，那么这种根叫做原方程的增根。 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验。

x叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x

的函数，k是比例系数。

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

9.2一般地，反比例函数y=

xkx(k为常数，k≠0)的图象是由两个分支组成的，是双曲线。 (k为常数，k≠0)的图象是双曲线。

当k>0时，双曲线的两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小， 当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大。

9.3反比例函数的应用

c中，我们把b叫做a和c的比例中项

AB10.2如果ABAC，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比值约为

10.3各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形

两个相似三角形对应边的比值叫做它们的相似比

10.4如果一个三角形的两个三角与另一个三角形的两个角对应相等，

那么这两个三角形相似。

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，

那么这两个三角形相似。

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 10.5

相似三角形周长的比等于相似比

相似多边形周长的比等于相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似多边形面积的比等于相似比的平方

相似三角形对应高的比等于相似比

10.6 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的

两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心。（会画图）

10.7相似三角形的应用

在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影

在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成比例

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影

第十一章 图形与证明（一）

对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义

判断某一件事情的句子叫做命题

如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题

如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命

11.3用推理的方法证明真命题的过程叫做证明。进过证明的真命题称为定理

证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：

（1） 根据命题，画出图形。

（2） 根据命题，结合图形，写出已知、求证；已知部分是已知事项（即命题的条件），求

证部分是论证的事项（即命题的结论）

定理：内错角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180°

三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

11.4两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了

12.2一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，那么其中的m个结果之一出现时，事件

A发生，那么事件A发生的概率为 P(A)=

12.3等可能条件下的概率（二）

原文地址（我的博客）：

时我就感叹过生成函数（generating function）是全书最精彩的部分之一，这个漂亮的结构有很多非常有趣的用法。近日在看 时也被迫复习了Racket/Scheme语言所定义的流（stream）结构，偶然想到二者之间似乎存在着十分微妙的联系。所以我在此随手写一篇抄书性质的小结，不作严谨的定义和推导，仅浅谈我对它们的新理解和应用。

生成函数是离散数学中最神奇且实用的工具之一，它把关于序列（sequence）的问题转换成了关于代数的问题。

简单来说，我们可以构造这样一个关于变量 x 的函数

这种表示法可以在很多问题的解决上给出启发，比如一个由1组成的序列1,1,...可以写成这样的生成函数

就可以得到一个关于级数的重要结论，也是几何级数的计算公式

当然，这只是生成函数应用的冰山一角，接下来会随着编程工具的引入发掘更多，包括很多脱离辅助变量 x 的例子。

Scheme的函数即lambda表达式的语法糖，封装一个无参函数，把需要求值的部分写在函数体中可以实现延迟求值（delayed evaluation）。流结构正是利用了该特性，用于表示一个特殊的pair或者说list，只有第一个元素的值是已经求值完成的，后面的元素只有当取用时才会安排求值过程。构造一个stream所用的特殊过程cons-stream

可以被理解为等同于这样的一个过程（当然cons-stream的特殊性在于它不会在传入参数前就对第二个参数进行求值）

一个stream通常由第一个已经求值完成的元素<a>和剩下还没有进行求值而被放置的另一个stream也就是上面的形参<b>组成，看上去像是一个天然的递归结构。可以和一般的pair一样定义一些选择器（selector）：

当然，除此之外对于delay还有一个重要的优化，因为这些表达式可能会被调用多次进行多次求值，所以很有必要在被调用前检查它是否在之前的调用中已经被计算过了，如果是，可以直接返回之前的计算结果而不用再次计算。所以实际上会用memo-proc封装一个过程proc，调用proc返回它的结果，并把结果放入本地cache，以备不时之需。

接下来我们用上面流工具来隐式定义（implicitly define）上面那个全为1的序列

这个长度无限的流ones也可以用来表示前文提到的生成函数$G(x)$

同样可以做一些显式的定义，如正整数序列可以定义为

为了方便使用和构造更多的流，我们需要仿照着针对普通list的几个常用函数，给我们的stream定义一些习语（idiom）。

stream-map对流s的每个元素应用一次proc并将结果组成新的流返回

Scheme的内置习语map是一个更复杂的过程，可以使用多个长度相同的list作为参数，参数proc取每个list 相同位置 的元素作为proc的所有参数进行计算，计算结果放入返回list的对应位置。对于流操作，这样的过程仿写为

应用stream-map可以定义两个流对应位置的元素相加产生新的流的过程add-streams，这个操作也等同于把两个生成函数直接相加。

最后，可能需要用以显示前n个元素的打印过程

用生成函数表示计数问题

德川和我修院来到一家高级雪食餐厅，喝完迎宾酒后主菜还没有做完，于是侍者主动提出可以先上 n 块曲奇，但只有巧克力味和原味两种口味，我修院认为原味非常新鲜非常美味，而德川更喜欢巧克力口味，于是开始为了这 n 块曲奇应该如何点而争执起来，请一共有多少种可能的点法？

这个计数问题很熟悉，如果 n=1 只有两种可能性， n=2 时有三种可能， n 块曲奇中巧克力味的数量为 [0,n] ，剩下的都是原味，所以共有 [0,n] 种取法。

现在可以构造一个生成函数 Cookie(x) 来表示这样的计数问题， x^n 项前的系数为两种口味从取出$n$块曲奇的取法总数。

塘埔冰室的烧仙草可以加入不同类别不同数量的配料，但不同的配料在数量上有一些限制：珍珠只能加3的整数倍颗，葡萄干只能加奇数粒……

如果以一个生成函数 f(x) 表示 n 颗珍珠怎么取，实际上只有0和1两种系数，当 n 为3的倍数时 x^n 的系数为1，否则为0

同理，葡萄干的生成函数为

现在有一位蜘蛛侠来到了冰室点了一杯烧仙草，并准备加入数量为 n 的配料，请问他一共有多少种方案？

这个问题先放一下，虽然我猜很多人看到这已经算出答案了或者知道做法了，但为了更完整的解法，还是需要再引入一些工具。

为了把更多关于 x 的函数转换成与生成函数形式相似的，关于 x 的多项式函数，需要借助Taylor级数在 x=0

等式右边这样多项式的写法对于求导或积分非常有利，以积分为例，如果有一个形如这样的生成函数或Maclaurin级数

常数 C 需要根据具体情况确定。现在试着计算出从 x 项开始的系数序列，假设$f(x)$的各项系数按顺序用stream表示，那么integrate-series函数返回这个生成函数的积分除了常数项以外的所有部分

接下来我们可以隐式的定义和计算出更多函数的Maclaurin级数，比如众所周知有

，这两个函数的第一项可以确定了，那么剩下的只需要再这样隐式的定义即可

上面是一个很典型的互递归（mutual recursion）定义，sine-series和cons-stream的定义中都带有另一个。虽然函数（过程）的定义中这样互递归的场景很多，但对于非过程的变量这样做需要十分谨慎，因为变量的求值一般是遵循及时求值（eager evaluation）的，好在这里的cons-stream保证了对第二个参数的延迟求值。

铃木，木村和三浦三位同学在空手部社团活动结束后来到一家新开的拉面店为社团 n 位同学预定 n 份拉面，已知每种拉面的选择都遵循相应的生成函数……

假设a拉面的点对应的生成函数为

相应的， n 份b拉面有 b_n 种取法。

现在需要从a和b两种拉面中选出 n 份，那么可以是0份a+n份b，1份a+n-1份b，2份a+n-2份b，……，n-1份a+1份b，n份a+0份b，所以取法共有

的卷积（convolution）序列，在信号处理和控制论中可以看到卷积序列的很多应用，这里就不展开详谈了。卷积序列的计算可以直接用上面那个求和公式计算每一项，也可以为了编写程序方便而把它看成

这样只需要将 A(x) 的每项系数乘以 B(x) 并按顺序错位相加就可以得到 A(x) \cdot

计算(convolute-series ones ones)可以发现结果等于integers，这也是符合上面对于计数问题的解释的：从没有数量限制的A和B中一共取 n 个，取法共有 n+1 种。当然，反过来说，也可以用类似于前文对几何级数所做的错位相减计算出integers所代表的生成函数

这也正好是两个ones所代表的生成函数的乘积。

根据结合律，这个规则也可以推广到多个两两不相交的集合。

假设拉面一共有 k 种口味可选，需要从中点 n 份，一共有多少种选法？这个问题用普通的计数问题视角可以转化成另一个与之双射的问题：长度为 n 的序列中需要插入 k-1 个间隔，第 i 个间隔和第 i+1 个间隔间的全部元素都是第 i 种口味的拉面，也就是说需要在 n+(k-1) 长度的序列中选择 (k-1) 个元素作为间隔，剩下的元素自然的可以标记为确定口味的拉面，那么显然总共可以有

接下来再试着用生成函数的思路看待这个问题：每种口味的拉面对应的生成函数都可以用ones序列表示，即 1/(1+x) ，那么从 k 种拉面中选取项的生成函数等于它们的乘积即

就是我们刚才用普通的计数法算得的结果。

把之前的问题完整的延伸开来

蜘蛛侠来到塘埔冰室购买一杯烧仙草，冰室主人梁启超允许他加入数量为 n 的配料，已知配料的选择必须遵循以下原则：
1. 珍珠的数量为3的倍数
2. 葡萄干的数量必须为奇数
3. 最多能放2粒花生米
4. 最多能拿一个和别人不一样的勺子（勺子包含在配料内）
那么蜘蛛侠可以选择多少种不同的搭配方案？

和别人不一样的勺子的生成函数

那么计算它们组合出的计数就可以按照卷积规则直接相乘得

x^n 前的系数为 n ，也就是说蜘蛛侠一共有 n 种方案去搭配出数量为 n 的配料。

在上面烧仙草的例子中可以看到最后得到生成函数的代数形式有时是可以互相约分消去的，比如ones写为 1/(1-x) 意味着它在形式上与 1-x 满足交换环（commutative ring）的性质，令 S 表示生成函数 f(x) 对应的序列，如果有一个生成

其中 I 为初始项为1其他项为0的单位元，那么可以说 R 是 S 的乘法逆元。当且仅当 S 的初始项不为0时， S 存在相应的乘法逆元 S^{-1} ，直接计算 S^{-1} 可能会有些困难，但可以通过关系隐式定义，假设 S 的初始项为 S_0 ，初始项后面的部分为 S_R (除了初始项为0，其他部分与 S 一致)，那么有

根据上面的表达式可以直接隐式的递归定义逆运算为

多个生成函数相乘得到的结果，有时并不像烧仙草问题那样在形式上工整熟悉容易展开，也可能同时不像拉面问题/曲奇问题那样性质良好适合重复求高阶导数算Maclaurin级数。最后需要面对的可能是一些更一般的形式，虽说借助上面定制的编程工具convolute-series直接硬算卷积也没什么可麻烦的，不过技不压身，完全可以多学习一些算术技巧去解决它们。

部分分式方法（partial fraction method）利用这个等式关系把多项式的商转化成和的形式。举个例子，假设我们得到的某个结果为

现在要把它转化为普通的生成函数那样幂级数的形式，首先把分母因式分解，利用一元二次方程求根公式得到 1-x-x^2=0 的两个根为

上面是一种比较一般的形式，有时会遇到更特化的形式：分母在因式分解后存在重复的分式。也就是分母存在重复根，那么展开为分式的和的形式时可以存在这样的项：

其中 \alpha 为 k 个重复根 r 的倒数，计算这个式子的展开形式并不困难，在拉面问题中已经看到了

再用 \alpha x 代替 x 并在整个式子前面乘以系数 c ，就可以得到整个分式展开后 x^n 前系数为

再加上其他分式展开后的系数就是最终的计算结果了。

在解线性递推（linear recurrence）问题时，我们常常会找连续几项的关系，并用对应的 x^n 代表它们，然后形成一个特征方程求解。这样的方法从生成函数的角度也是可以找到依据的。以求解Fibonacci序列的通项为例，令 F(x) 表示它的生成函数，即 f_n 为第 n

与Binet公式一致。

顺带一提，根据演示的递推关系，即第二行与第三行的和从第二项开始与Fibonacci序列一致，可以隐式的定义出一个表示Fibonacci数的stream

一个更一般的线性递推式关系表现为

其中 d 表示递推的次数， c_i 为常数， h(n) 表示非齐次项。

从生成函数的角度来看，要使得这些 f(n),f(n-1),\cdots,f(n-d) 像刚才那样“对齐”到同一个位置，需要在生成函数前乘 x^i 并乘以系数 相关的内容，高次部分只剩下 h(n)x^n ，那么当 h(n) 的生成函数也可以被表示为多项式的商的形式时，这个线性递推问题可以用类似前面的部分分式法把它分解为多个生成函数的线性组合。

当然，解线性递推问题已经有了像特征方程那样成熟的工具，直接使用就可以了。从生成函数视角开始一步步求解只是为了方便理解为什么可以那样做。

通过生成函数，我们在离散的序列问题与连续的代数问题之间建立了联系。 x^n 乃至 x 本身在函数中都只起了占位作用，在不理解由序列构造的生成函数本身的物理意义的前提下，在构造出的幂级数往往并不收敛的情况下，用代数的方法求解忽略限制求解计数问题。stream数据结构是生成函数和它们对应的无限长度的序列的良好容器，可以应用于表达幂级数，通过编写相关计算函数工具，也给形式并不特殊的生成函数问题提供了求解的可能性。

[1]: 假设 x \ne 1 ， x 取值并不重要所以这里和以后涉及这个断点时也不再强调这个不等式约束。