闭闭合曲线积分为0的条件 C:|z|=1 取正方向,则积分 _(2/4+1/2)=？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-22 07:40 标签： 闭合曲线积分为0的条件

有2 7 = 128个可打印的字符，可以由不同的7位ASCII代码表示。另一组字符不适用于HTML表示，但它们被设计为控制硬件。

下表列出了所有7位ASCII代码及其等效的HTML实体代码。

如果你想看到等效的HEX，OCT和扩展的一组ASCII码，然后检查下一章。

7位可打印ASCII字符：

0

7位ASCII设备控制字符

许多PDE可以表示为下面的泛函形式：

我们当然没有研究这类泛函的一般理论。然而，如果我们能找到一个"能量泛函" I ，使得 A 是 I 的"导数"，那么方程的解就是能量泛函的驻点。变分法求解关于如何寻找这类泛函和寻找驻点的问题。

Lagrange量，第一与第二变分

被称为Lagrange量。一般记为

在边界条件 w=g\mathrm{\ on\ }\partial U 之下的取值情况。假设某个 u 使得泛函 I 取极小值，称为 I 的极小化子。我们很快就会看到这与某个特定的PDE挂钩。

这被称为泛函 I 的Euler-Lagrange方程。这个方程是一个准线性二阶PDE。

这就是我们之前研究过的二阶椭圆方程的一种。在举两个例子。

如果 f 是一元光滑函数，令

这实际上是曲面面积。E-L方程为

称为极小曲面方程。上式的含义其实就是，极小曲面的平均曲率为零。

我们已经见识了Lagrange量的一些作用，下面继续研究。根据简单的微积分知识，我们还知道

则对几乎所有的点都有 |\rho'|=1 。因为

因为 \zeta 的任意性，得到一个重要的性质

这个性质类似于凸函数。这个性质将会在之后证明极小化子的存在性和唯一性中派上用场。

接下来我们研究极小化子是否存在唯一以及它的性质。我们需要一些限制条件才能讨论。

与上一小节考虑光滑函数不同，为了用于PDE，我们考虑泛函

(称为可行集)上的取值。

研究极小化子时，我们需要先找到泛函的下确界。令

被称为 I 的极小化序列。

上面一组式子我们统一记为

另外，容易知道 u\in\mathcal A ，因为迹算子是连续的。

现在我们想要的是证明 m=I[u] ；但问题在于， I 很多时候并不一定是线性泛函，也就是说

未必成立。幸运的是，我们并不需要如此强的条件。下面定义的条件在我们的证明中已经够用了。

回忆上一节提到的凸性。它告诉我们，要讨论极小化子问题一定不能少了凸性。

THEOREM 1 如果 L 是光滑函数，有下界且关于 p 是凸函数，则对应的泛函 I 是弱下半连续的。

1.先做一点准备。弱收敛性质告诉我们 \{u_k\} 是有界的。通过取子列，不妨假设

3.因为 L 有下界，不妨设 L\geq 0 。则根据凸函数性质

接下来我们可以得到存在性的定理了。

非空，则极小化子存在，也就是存在函数 u\in\mathcal A 使得

因为 m 是有限数，所以上面得出

唯一性需要更多的条件。下面假设 L=L(p,x) 与 z 无关，且满足一致凸性

THEOREM 3(极小化子的唯一性) 上述条件下极小化子是唯一的。

两个式子加起来除以 2 ：

回到最开始的E-L方程上来。如果我们需要求解问题

我们希望研究这个方程的"弱解"。首先我们看看E-L方程的推导过程，其中引入了一个测试函数 v\in C_c^\infty(U) ，并且得到了

u 为E-L方程的弱解。

十分自然的一点是，既然光滑的极小化子满足方程，那么在更一般的情形下极小化子应该在弱的意义下满足方程。

证明思路与一开始是一样的，只是有更多技术细节。

所以根据增长速度条件并借助均值不等式可得：

如果 L 关于 (p,z) 是凸函数，可以证明反过来的结果：弱解都是极小化子。

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