大家都知道，一个国家或地区的经济会发生“经济危机”，没想到数学这种象牙塔中的理论研究也会发生危机。历史上的数学危机有三次，本文介绍第一次。

第一次数学危机发生于古希腊时代。古希腊的泰勒斯（Thales，公元前624年－公元前546年）被学界誉为第一位数学家，他第一次将“证明”的思想引入，为数学注入理性精神。古希腊的思想家们追溯万物之源，思想活跃、不落俗套、敢于出新。各种灵巧怪异的想法纷纷涌现出来，听起来令人感觉妙趣横生。如泰勒斯认为“万物皆水”，他的一位学生主张“万物皆气”，另一位学生认为万物起源于某种虚无缥缈不定形的东西……

离泰勒斯活跃的米利都不远处，有一个叫萨摩斯岛的城邦，则出了一位主张“万物皆数”的数学家，认为“数”可以解释世界上的一切事物。这是毕达哥拉斯（Pythagoras，前570年－前495年），他既是数学家，也是哲学家和音乐理论家。他对数字痴迷到近乎崇拜；同时认为一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和证实。他的毕达哥拉斯学派除了将数学推崇到极致之外，还具有一些不可思议的神秘主义因素。例如，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中，据说毕达哥拉斯本人可以与牲畜交谈，以便告诉牲畜不要吃蚕豆。

毕达哥拉斯与泰勒斯相差50多年，曾经见过泰勒斯并受他以及米利都学派的影响，可以算是泰勒斯的学生。毕达哥拉斯曾用数学研究乐律，首次发现了音调的音程按弦长比例产生，频率间隔比例的简单数值形成了美妙和谐的声音。由此，毕达哥拉斯将自己有关数的理论结合米利都学派的宇宙论，提出了宇宙无比“和谐”的概念。他用数学关系表达音调的特质，他认为这些关系也呈现在视觉、角度、形状中……所有的比例都是按照完美的数字构成的！太阳、月亮和行星都散发着自己独特的嗡嗡声（轨道共振） ，地球上生命的特性反映了人耳察觉不到的这些天体的声音。

毕达哥拉斯第一次提出了大地是球体这一概念，从他开始，希腊哲学产生了数学的传统，对以后古希腊的哲学家有重大影响。

2，毕氏学派对数学的贡献

毕氏学派证明了毕达哥拉斯定理（勾股定理），这和其他很多文明中发现许多勾股数的意义是不同的。勾股数是符合勾股定理的三元数组，它们的数目有无穷多。例如，(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)…等等，都是勾股数，中国古代的“勾三股四弦五”就是典型的例子。在公元前18世纪的巴比伦石板上，就已经记录了各种勾股数组，最大的是（18541，12709，13500）。发现了勾股数，不等于发现了勾股定理，更不等于证明了勾股定理。这个定理的证明，是始于毕达哥拉斯，再由后来的欧几里得给出了清晰完整的证明。

毕达哥拉斯学派还研究过正五边形和正十边形的作图，得到黄金分割的比值数：（1：0.618）。

除了诸如证明勾股定理这种具体的贡献之外，毕氏学派当时最著名的数学思想是用原子论的观点，将几何建于算术（整数）之上。根据毕达哥拉斯学派的观点，一切数都可以用整数以及整数的比值（即我们现在所说的“有理数”）表示出来。

当年的古希腊，各种哲学思想派别林立、此消彼长。毕达哥拉斯欣赏原子论的观点，并把它用于数学，用原子观点来构建他的几何纲领。

原子论认为万物分下去是原子，而毕氏学派认为几何线段分下去是“点”。点是什么呢？就是几何的原子，和原子一样有大小，即其长度不为零 。例如，设d表示点的长度，d有三种可能性：d = 0, d = 无穷小，d>0。

图4：毕氏学派用原子论观点解释几何线段

对“点”的理解反映了当时数学界连续派和离散派观点的区别，根据连续派的说法，线段无限可分，最后的“点”无尺寸，大小为零，或有人说是“无穷小”。但毕氏学派认为：如果说点是0，那么，无尺寸的“点”，如何能构成有尺寸的线段呢？这是无中生有、自相矛盾的。如果说点是无穷小，那么无穷小是什么？也说不清楚，令人困惑，更显得诡秘深奥。因此，毕氏学派采取离散派的观点，认为“分割”有尽头，最后的“点”很小但不为零。换言之，在毕氏学派看来，线段就像是许多珠子串在一起的珍珠项链。基于毕氏的几何观，任何两个线段都可以共度（或称公度、通约），因为它们都由某个最小的长度组成。也就是说，所有的数都可以表示为整数或者整数之比。因此，世界及宇宙的美妙与和谐就建立在整数的基础之上！

3，希帕索斯发现无理数

图5：发现无理数的希帕索斯（点击观视频）

谁知好景不长，毕达哥拉斯的一位学生希帕索斯发现了√2这种无法用整数或整数之比来表示的数（之后被称为“无理数”）。

事实上，从毕氏学派证明了的勾股定理，是很容易发现无理数的。一个边长为1的正方形，其对角线便不能与边长通约，长度记为√2。类似情形还有很多很多：面积等于3、5、6、……17的正方形的边，与单位正方形的边也都不可通约。无理数的存在逐渐成为并不罕见人所共知的事实。√2与1不可通约，可以用如下反证法证明：

无理数的发现，对于依靠整数的毕氏哲学，是一次致命的打击。因此，据说当时他们将这些事实严格保密，缄口不言，不想被不识时务的希帕索斯给捅了出来！唉，别无他法，只有将他丢到海中喂鱼，才能解除一点同窗学子们的心头怨恨。

不过是发现了一种不能通约的数而已，有这么严重吗？情况的确挺严重的，因为：如果存在不可通约的线段，就没有公共的量度单位，便不能将“点”看成有长度的东西，毕氏学派“万物皆（整）数”的哲学思想立刻分崩离析，建立于美妙的整数之上的和谐宇宙也轰然倒塌了！毕氏学派证明的几何命题、他们关于相似形的一般理论，都局限在可通约的量上。人们自然便怀疑：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？

因此，无理数的发现，引起了第一次数学危机。

4，芝诺悖论冲击极限概念

没过多久，生活在另一个古希腊城邦埃利亚的芝诺（Zeno of Elea，公元前490-430），又提出了几个怪怪的、似乎扯不清楚的“悖论”，更加深了人们的危机感，以及对美好和谐世界的担忧。

芝诺是著名哲学家巴门尼德的学生，因提出四个有关运动的悖论而知名。其中的阿基里斯悖论与数学中极限理论密切相关，在此重点介绍一下。

阿基里斯是古希腊神话的善跑英雄，希腊第一勇士，假设他跑步的速度为乌龟的十倍：例如，阿基里斯10米/秒，乌龟1米/秒。出发时，乌龟在前面100米处，如图7所示。

按照常识，阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。

芝诺却说：“他永远都赶不上乌龟！”

为什么？芝诺振振有词：开始，乌龟超前100米；当他跑了100米到乌龟开始位置时，乌龟已经向前爬了10米，乌龟超前10米。然后下一步，乌龟将超前1米；再下一步，超前0.1米；然后继续下去：超前0.01米、0.001米、0.0001米……不管这个数值变得多么小，乌龟永远超前！

用我们现代的数学知识，一个简单的代数计算就足以反驳芝诺的“谬论”。

假设某个时刻x秒之后，阿基里斯追上了乌龟（图8），可以列出x满足的方程并解出x=(100/9)。也就是说，11又1/9秒之后，阿基里斯赶上了乌龟！

因此，现在的大多数人会觉得芝诺是在“诡辩”，因为他说的乌龟超前的一连串数字：1米、0.1米、0.01米、0.001米、……，貌似无穷多，但都是在（100/9）秒之内完成的，并非“永远”！

当我们说到“无限”， 有两种含义： 一是无限分割， 一是无限延伸。无限份时间不等于无限长时间！一个收敛级数的和是有限的。而时间的流逝却是无限的。芝诺显然混淆了两者，或者偷换了概念。因此，以现代观点看，他的确是在“狡辩”。

不过，我们需要用历史的眼光分析这个问题。那是两千多年前，还没有完善的极限概念，可能也不知道“收敛级数”这个词，而这正是我们得到上面结论的基础。比芝诺稍后（200年左右）的阿基米德（前287年－前212年）对此悖论进行了颇为详细的研究。他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远，将这问题归结为无穷级数求和的问题，证明了尽管路程可以无限分割，但整个追赶过程是在一个有限的长度中。所以说，芝诺的说法并非仅仅是狡辩。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话是中国惠施（前370年-前310年）说的。意思是说，一尺长的竿，每天截取一半，一万年也截不完。竿子越来越短，长度越来越趋于零，但又永远不会等于零，这正是“事物无限可分，但又不可穷尽”的极限思想的萌芽。

图10：不同的极限观点

前面说到的毕氏学派用原子论解释几何的数学观，代表了古希腊极限观。

芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。芝诺揭示了稠密性连续性、无限可分和有限长度、连续和离散、实无穷潜无穷之间的关系。引起人们对这些关系的关注与研究。

图11：实无穷和潜无穷

实无穷把极限当作数学实体，潜无穷认为极限是无限趋近的过程。古时候，毕氏学派代表 “实无穷”的极限观，惠施的说法是“潜无穷”观点。

因此，在希腊数学发展的关键时刻，芝诺也做出了有意义的贡献。

6，第一次数学危机的解决

第一次数学危机被柏拉图（Plato，公元前429年－前347年）的弟子欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前408年－前355年）创立了新的比例论、完善了穷竭法而克服。

欧多克索斯也属于毕氏学派，是毕达哥拉斯弟子阿尔库塔斯（Archytas，前428年－前347年）的学生。因此，第一次数学危机的解决可说是“解铃还需系铃人”。也可以说，无理数的发现，当年是毕氏学派的最大灾难，其实也是毕氏学派的最大成就。

欧多克索斯处理不可通约量的方法，出现在欧几里得（前325年－前265年）《几何原本》第5卷中，和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。他给出的比例的定义与所涉及的量是否有公度无关，这样就容许了无理数的存在。

第一次数学危机使整数的尊祟地位受到挑战，使古希腊的数学基础发生了根本性的变化。在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何，以几何为基础，几何学开始在希腊数学中占具特殊地位使，数学的公理化成为可能。危机的解决也推动了数学及其相关学科的发展。

同时，第一次数学危机也表明了直觉和经验不一定可靠，推理证明才是可信的。从此希腊人开始建立几何学公理体系，直到后来的欧几里得。因此，公理化思想是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

由此产生的欧几里得几何对数理天文学的发展有重大意义。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。

回顾一下历史事实便知，数学基础从整数转向几何意义颇大。古代以数为基础的文明，很难建立数学的公理系统。古代中国和古印度古埃及都是例子。在这些国家从未建立起数学的公理系统。

因此，第一次数学危机，是整个科学发展进程中的一个重要事件，对科学的发展起了促进作用。

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本文不是解析剧情，不是解析导演的手法，或者编剧的立意，更不是演员的演技。只是一些关于数学的八卦。

首先出场的是哥德巴赫猜想，一个表述非常简单的猜想，简单到其表述可以被小学毕业的人看懂，于是这个猜想成为了民科们的最爱。哥德巴赫猜想最被人们熟知的表述形式就是：

任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。

关于此，还有一个常见的谬误，也即 "1+1=2" 的说法，人们常说陈景润证明了 "1+2" ，而哥德巴赫猜想是 "1+1" ，有人错误的将其称为 "1+1=2" ，比如"1+1为什么等于2，还没有人证明"，遗憾的是，这种错误的说法还会存在于一些数学老师的口中。

事实上，这些 "x+y" 是一系列命题(猜想)：

任意一个足够大的偶数都可以表示成两个自然数的和，其中第一个是至多 x 个质数的乘积，后一个是至多 y 个质数的乘积。

显然，当 x=y=1 时，就变成了哥德巴赫猜想。而陈景润证明的，则是：任何足够大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。

电影里的一句“康托尔、谷山丰、哥德尔三个人有什么共性？”引出了康托尔。

康托尔是集合论的创始者，他的成果太过超前，受到了数学家中的保守派的攻击，换上抑郁症并最终精神失常，在精神病院里去世。

康托尔的工作就不如哥德巴赫猜想那么好理解。

以前写议论文的时候，老师说议论文有两个主要的方式：摆事实、讲道理。如果下面的事情太过于难以理解，那么只要记住一件事就行，康托尔告诉我们，要证明一件事，只要讲道理就够了----你不需要举任何的例子，就可以说这样的例子是存在的。

用一个例子说，我是一家旅馆的主人，有10个房间，分别是1号、2号、……、10号，如果10个房间都住满了人，那么再来客人的时候，我就不得不拒绝他----房间已满。

如果我有像自然数那么多个房间，分别是1号、2号、3号……，而且每个房间都住了人，再来客人的时候，怎么办？我可以请1号房的客人住到2号，2号房的客人住到3号，3号房的客人住到4号……，每个人都搬到了下一间，这样1号房间就腾出来了，给这位新来的客人住。

突然有一天，比如黄金周的某一天，我的旅馆由于坐落在一个风景优美的海边，来了像自然数那么多个客人要住，而我的每个房间都满了，那怎么办？我可以让1号房的客人住到2号，2号房的客人住到4号，3号房的客人住到6号、4号房的客人住到8号……，每个人都搬到原来房间号的2倍的房间里住，这样1、3、5、7、9、……所有的单数房间都空了。新来的第一个客人住到1号、第2个客人

住到3号、第3个客人住到5号……大家都住进去了。

看起来很奇怪：最后，自然数多个房间，住了两倍的自然数多个的人；偶数应该是自然数的一半那么多，但自然数多个人居然都住进了偶数号的房间。

康托尔的工作之一就是解决了这样的困惑，这里我们把自然数看成一个集合，康托尔定义了集合的大小----集合的“势”，并给出了哪些集合的势是相等的，如何证明这样的相等。

有一类数叫代数数，其含义就是所有以有理数为系数的一元方程的实数解。举例说吧 x^=2 的解是正负根号2，那么根号2就是代数数，x+5=7的解是x=2，那么2也是代数数。实数集合中除了代数数就是超越数。

长久以来，人们一直不知道所谓的超越数是否存在，康托尔依照他的理论证明了：代数数是一个很小的集合，实数是一个很大的集合，比起实数集来，代数数集还不如大海里的一滴水，那么超越数是必然存在的。他的证明中，甚至从没有举出任何一个超越数来。

康托尔的证明无疑是颠覆性的，他的证明也把当时很多数学家快要搞疯了，仅仅是快要而已，最终被搞疯的，还是可怜的康托尔。

希尔伯特很欣赏康托尔，他曾这样拥护康托尔和他的理论：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”

查到的资料甚少，只知道他提出了对费马大定理(后文介绍费马的时候会提到)有关的一个猜想，以及在就要结婚之前，他和他的新娘在一个月内相继自杀。

又一个有革命性工作的人，最大的贡献就是哥德尔不完备定理。

用白话说这个定理，就是：如果有人让你去查一件事是对的还是错的，你大可以告诉他，有些事情是证明不了对错的。

用数学一点的语言说，就是，如果一个数学系统里包含了自然数，那么这个系统里就肯定存在着不能证明也不能证否的命题。

希尔伯特曾经有一个梦想，就是抛开任何现实世界里的东西，从纯粹的抽象和逻辑出发，构建整个数学体系，最终证明或者证否所有的数学命题。他说 Wir müssen wissen, wir werden wissen(我们必须知道,我们必将知道)，他说这个话是1930年；1931年，哥德尔就提出了这个定理。

家里非常有钱，殷实的家庭没把他变成一个飙车的富二代，而是使得他有足够的闲暇来专心研究问题。

费马是一个擅长挖坑的人，他在和当时很多科学家的来信中提到了很多猜想，其中很多被后来的人前赴后继的试图证明。

他在光学、微积分、解析几何、概率、数论等领域都有杰出的贡献。比如反射时入射角等于出射角，这就是费马提出的。

他最被人所熟知的成就就是那句“对此，我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来。”

他提到的“此”，是指一个定理：费马大定理，这个也是费马挖的最大的坑。其内容是：x^n + y^n = z^n 这个方程，在n>2的时候，就只有平凡解了，也就是x=0, y=z这种。

费马大定理的证明在1995年被怀尔斯证明，他的证明很长，也用了很多现代数学的工具。显然不会是费马提到的“美妙的证明”，那么这个“美妙的证明”究竟是什么，我辈仍然很期待。

这有一个关于帕斯卡的冷笑话：

一群伟大的科学家死后在天堂里玩藏猫猫，轮到爱因斯坦抓人，他数到100睁开眼睛，看到所有人都藏起来了，只有牛顿还站在那

里。 爱因斯坦走过去说：“牛顿，我抓住你了” 牛顿：“不，你没有抓到牛顿。” 爱因斯坦：“你不是牛顿你是谁？” 牛顿：

“你看我脚下是什么？” 爱因斯坦低头看到牛顿站在一块长宽都是一米的正方形的地板砖上，不解。 牛顿：“我脚下这是一平方米的方块，我站在上面就是牛顿/平方米，所以你抓住的不是牛顿，你抓住的是帕斯卡”

除了压强之外，帕斯卡还在与费马的通信中，创立了概率论的基础。

他还尝试制作了一个手摇计算机，今天的Pascal编程语言就是以帕斯卡的名字命名的。关于Pascal编程语言、以及Delphi、Borland公司，那又是另一个让人为之神往又为之叹息的故事了，相见李维的《Borland 传奇》。

，资料甚少，西班牙人。

传奇一样的人，就像那本最著名的希尔伯特传记的副标题一样：数学界的亚历山大。他对数学的每一个分支都有了解。在他的领导下，哥廷根也成为了世界数学的中心，哥廷根骄傲的宣称：哥廷根之外，没有生活。无奈，一战和二战使得哥廷根的地位一落千丈，才客观上成就了今天的哈佛。

关于希尔伯特，不管说多少都不为多，不如推荐一下他的传记《希尔伯特--数学世界的亚历山大》，作者是一位非专业数学工作者的传记作家，她写此书的初衷只是为那些喜欢数学但不怎么懂数学的人以一种有趣的方式介绍数学家，但作品出版之后，无论是数学爱好者，还是专业的数学家，都非常喜欢这本书。

，天才，他的想法也超越了他的时代。他死后11年，才有人了解到他的工作的正确与深远，死后14年，作品才被发表。

尺规作图三大难题，他证明了其中两个是不能做的。他用的工具就是近世代数，一门他开创的很重要的数学分支。

同时他是个精力充沛的愤青，积极参加政治运动。20岁因被视为“危险分子”而被关进监狱。

21岁出来之后，爱上了一个美女，为争夺爱人，跟法国一个枪法很好的人进行决斗。那时候的决斗是两个人没人一把枪一发子弹，两个人向对方走进，只许向前不能后退，看谁的子弹能把对方打死。加罗华明知自己会失败，还是坚持参加，在决斗的前夜，他急急忙忙的写着自己的研究成果。

有一部讲数学家的电影叫美丽心灵，没错，这些醉心于数学的人就是应该有一个平静的空间，专心搞他爱的数学。

遗憾的是，这个船只让他们想起了牧羊人带着白菜、羊、狼过河的题目，而非毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯认为，世界上所有的数都可以用整数的比来表示，也即所有的数都是有理数。他的一个学生，发现了边长为1的正方形，它的对角线不能表示成整数的比，该学生拿着证明去找毕达哥拉斯，毕达哥拉斯恼羞成怒，把他淹死了。

这个的证明很简单，搜一下“根号二是无理数”，就能搜到证明。

有人提到过一个房子的四面墙都有液压机推着，房子本身为什么没坏，这个其实很简单，看电影的海报就知道了，另外电影中也有俯视房间的镜头，也展示了房子的原理。

简单说就是把一堆乒乓球放进一个大箱子里，怎样的方式能够使得塞进去的乒乓球尽可能的多。目前为止这个问题貌似还没有解决。

剩下是几个电影中出现的题目，大部分tooooold了，复制粘贴自 暖暖书音 的影评 《在费马的房间，每个人都有秘密》：

　　1、一个糖果小贩，收到三个不透明的盒子。一个盒子里面装的是薄荷糖，一个里面是茴香糖，还有一个里面装的是混合的茴香糖和薄荷糖。盒子上的标签分别写着“薄荷”“茴香”“混合”。但糖果小贩被告之所有的标签都是错误的，他至少要取出多少糖果，才能确定每个盒子里面装的是什么？
　　2、……一连串的排列，找出排列下暗藏的密码。如果用时超过，房间将会缩小。

　　3、在一间密封的房间，有一个灯泡，房间外面有三个开关，只有一个能让灯亮起来。当门关闭的时候，无论按多少次开关都可以，但当你打开门的时候，必须说出三个开关中的哪一个是控制灯泡的。
　　4、一个四分钟的沙漏，一个七分钟的沙漏，如何用这两个沙漏测试出九分钟的时间？
　　5、学生问老师三个女儿的年纪，老师回答，如果你把她们三个的年龄相乘等于36，相加就得到你的门牌号，其中最大的女儿会弹钢琴。那么这三个女儿几岁？
　　6、一个陌生人被困在一个有两扇门的房间内，其中只有一扇门通往自由。两扇门分别有一个来自谎言国的门卫和真实国的门卫把守，你只能问对其中一个门卫提一个问题，你要如何问？
　　7、母亲比儿子大21岁，六年后，儿子就会比母亲年轻5倍，那他父亲现在在做什么？

居然翻页了，我终于可以修电梯了: