指数函数的这个连分数展开式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-28 07:11 标签： 指数函数运算法则

数学名词意义对于在其词源，某个数学名词是怎样产生、发展的，有何含义，这些问题具有探究价值，对教学也有意义。

研究数学名称的是产生、发展

负数、整数、分数、倒数

自然对数（英语：Natural logarithm）为以数学常数为的，标记作或，其为。

自然对数积分定义为对任何正，由 到 所围成， 。如果小于1，则计算面积为负数。

则定义为唯一的实数 使得 。

自然对数一般表示为 ，数学中亦有以 表示自然对数。

当直角双曲线下的两段面积相等时，的值呈，，的值也呈等比数列，。

在1614年以及在6年后，分别发表了独立编制的，当时通过对接近1的底数的大量乘运算，来找到指定范围和精度的和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点，约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数，而的底数0.9999999相当接近。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部分完成了表的编制。

形如的曲线都有一个代数，除了特殊情况对应于双曲线的，即；其他情况都由1635年发表的给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的完成（），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年将对数联系于双曲线的弓形面积，他发现x轴上两点对应的双曲线线段与原点围成的同对应的扇形，在时面积相同，这指出了双曲线从到的积分满足：

1649年，将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，推广了，他将展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的。

大约1730年，定义互为逆函数的和自然对数为：

1742年发表了现在的概念。

这个函数为对数是因满足的基本性质:

这可以通过将定义了的积分拆分为两部分，并在第二部分中进行来证实:

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：

自然对数的图像和它在处的切线。

证明一 （微积分第一基本定理）:

用自然对数定义的更一般的对数函数，，根据其即一般的性质，它的导数为：

根据，以为参数的自然对数的导数为

右手端的商叫做的，通过的导数的方法计算叫做。

自然对数的导数性质导致了在0处的，也叫做：

把代入中，可得到自身的级数。通过在麦卡托级数上使用，可以得到对绝对值大于1的任何有效的如下级数:

还要注意到是自身的逆函数，所以要生成特定数的自然对数，简单把代入中。

叫做。它与自然对数有密切联系：当趋于无穷的时候，差

于。这个关系有助于分析算法比如的性能。

自然对数可以简化形如的函数的积分：的一个给出为。这是基于和如下事实:

射线出原点交于点，这里的是射线、双曲线和轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。

在18世纪，介入，并计算中的面积。对数函数是在下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数，即要形成指定，在渐近线即x或y轴上需要有的或的值。显见这里的底边是，垂线是。

通过旋转和缩小，得到下的情况，有：

中双曲线扇形的面积是对应下双曲角的。

尽管自然对数没有简单的，但有一些如:

这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。

例如，因为，可以计算为:

进而，因为，10的自然对数可以计算为:

可以扩展为对任何复数得出复数值为的函数，只需要简单使用为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在使得；并且有着。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，，对于所有复数和整数。

所以对数不能定义在整个上，并且它是，就是说任何复数对数都可以增加的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在上是单值函数。例如，或或等等；尽管，不能定义为或或，以此类推。

  • 自然对数函数在复平面（主分支）上的绘图

对于每个非0复数，主值是虚部位于区间内的对数。表达式不做定义，因为没有复数满足。

要对给出一个公式，可以先将表达为形式，。给定，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向增加的整数倍，所以为了保证唯一性而要求位于区间内；这个叫做幅角的主值，有时写为或。则对数的主值可以定义为 ：

自然指数有应用于表达放射衰变（）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目随时间变化率，常数为原子衰变概率，积分得。

  1. 选取接近e的底数b，对数表涉及的bx为单调增函数，定义域为0到1而值域为1到b；选取接近1/e的底数b，对数表涉及的bx为单调减函数，定义域为0到∞而值域为1到0。
  2. 以这个接近1的数为基础。
  3. 独立发现者还有：、和。
  4. 卡瓦列里弓形面积公式，对于负数值的n(x的负数幂)，由于在x = 0处有个，因此定积分的下限为1，而不是0，即为：

  5. 在最初的概念下，底数是接近1的数，而对数是整数；经过简单变换后，底数变大了，成为接近数学常量e的数，而对数变小了，成为 x/n。

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