高中数学最难的三章是函数、数列和不等式、三角函数和平面向量。下面是这几章知识点的内容，快来看看吧。

　　1高中数学函数知识点

　　一、函数的定义域的常用求法：

　　1、分式的分母不等于零；

　　2、偶次方根的被开方数大于等于零；

　　3、对数的真数大于零；

　　4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

　　5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2；

　　6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

　　二、函数的解析式的常用求法：

　　三、函数的值域的常用求法：

　　四、函数的最值的常用求法：

　　五、函数单调性的常用结论：

　　1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增（减）函数。

　　2、若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数。

　　3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。

　　4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

　　5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

　　六、函数奇偶性的常用结论：

　　1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，如果一个函数y=f（x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0（反之不成立）。

　　2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

　　3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

　　4、两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

　　5、若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）可以表示为f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f（x）+f（-x）]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

　　2高中数学数列和不等式知识点

　　③加法单调性，即同向不等式可加性

　　⑤同向正值不等式可乘性

　　⑥正值不等式可乘方

　　⑦正值不等式可开方

　　不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。(移项要变号)

　　不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。(相当系数化1，这是得正数才能使用)

　　不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(除或乘1个负数的时候要变号)

　　①比两个值都大，就比大的还大(同大取大)

　　②比两个值都小，就比小的还小(同小取小)

　　③比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了)

　　④比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)

　　三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

　　可以在数轴上确定解集：

　　把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

　　作商比较法：根据a/b=1，

　　由因导果. 证明不等式时，从已知的'不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

　　执果索因. 证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

　　将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知A

　　证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

　　用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

　　在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

　　证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

　　换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

　　通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

　　3高中数学三角函数和平面向量知识点

　　定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有

　　OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）

　　y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。

　　三、三角形重心判断式

　　四、向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　零向量0平行于任何向量。

　　五、向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是ab=0。

　　a⊥b的充要条件是xx+yy=0。

　　零向量0垂直于任何向量。

　　设a=（x，y），b=（x，y）。

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　向量加法的运算律：

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0

　　AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且

求极限（衍生出：无穷小比较+讨论连续性和间断点类型）

一、（一）函数的概念及常见函数

【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系）。

当两个函数的定义域与对应规则一样时，它们就是同一函数
（因为值域是随着前两项来的）
y=2x和s=2t，如果定义域一样，就是同个函数，因为规则也一样。

定义2（内层的值域，是外层的定义域）

考点1：定义域是自变量x的范围

例子：f(x+1)定义域(0,1)，是在说x的范围，而不是x+1的范围，跟f(x)这个函数无关

考点2：内层的值域，如果和外层的定义域不重合，那就不能构成复合函数

把y=f(x)变为 ，原函数的定义域变值域，值域变定义域。

唯一确定的值，可以排除很多函数，y=x平方，就没有反函数
严格单调的函数，才有反函数

关于y=x对称的是（原函数）和（x和y对调过的反函数）

如果反函数的x，y不对调，那么图形是和原函数重合的。

将幂函数、指数、对数、三角、反三角统称为基本初等函数

了解它们的定义域、性质、图形：

定义5：初等函数是什么？

1.将由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的

2.能用一个解析式表示的函数。

考点：单调性重要应用（很多地方都用到）

构造f(x)=0时，只能用严格单调，可以推出最多一个根
用单调不减，有“等于号=”，最差情况可以平行于x轴，与x轴无交集，推不出最多一个根
（1）证明f(x)>0（严格不等式），只能用严格单调增
用单调不减，只能证明f(x)大于等于0（还是可以等于0，所以无法证明）
（2）证明f(x)≥0（非严格不等式），严格单调增、单调不减，两个都能用。
用单调不减，可以证明f(x)大于等于0，在等于0的情况下，也能成功证明。

（1）定义：函数左边>右边，为单调增

（2）导数：设f(x)在区间 I 上可导

反例： 的导数 在0点导数为0

b）注意：是双向的箭头！

（1）P5，eg3，单点导数，推不出函数的邻域内的（单调增加/减少）

只能得出（该点）的函数左边和右边的大小关系。

带有（区间）的单调增/减，才能推出单调增加/减少。

偶函数：f（x）=f（-x）

【注】（1）常用奇偶函数

奇函数，关于原点对称，如果在0点有定义，f(0)=0

偶函数，关于y轴对称。

（1）用奇偶函数的定义公式

a）奇函数定义，f(x)=-f(-x)两端对x求导，得到结论。
b）偶函数定义，f(x)=f(-x)两端对x求导，得到结论。

（3）对（2）中的结论反推条件的结论

连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

连续函数都有原函数：因为 【这个有点不理解】

原函数是不定积分，要加c，上面的图里，是变上限积分，不是不定积分，所以不用+c

奇函数+c不等于奇函数，因为在0点必须=0（在0点有定义的话）

（4）奇偶函数的运算性质

最小正周期，为函数f（x）的周期

【注】f（x）和f（ax+b）的周期关系

（2）可导的周期函数，其导函数为周期函数

（3）周期函数的原函数，不一定是周期函数。

【注】（2）周期函数的原函数是周期函数，充要条件，其在一个周期上的积分为零

【注】（3）中的区间(a,b)，可以改为无穷区间，(a，+∞)，(-∞，b)，(-∞，+∞)依然成立

也就是证明f(+∞)，f(-∞)存在，来推有界

考点1：考（3），给个函数，给个开区间，然后问你怎么推出有界，一般就左右端点求极限。

考点2：把（4）中的有限去了，问你对不对

1.数列极限的概念（一般不考）

定义（n趋向于正无穷）

解读：当n越趋近于无穷，数列an就越趋近于A

【注】（2）数列{xn}的极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关

考点1：也就是说，有题目问，已知数列极限，数列某项和其他的对比，一般都是错的，因为极限值管不到前面的项。

在函数极限中x→∞是指|x|→+∞，

在数列极限中，n→∞是指n→+∞

极限存在=左右极限存在，且相等

【注】极限和该点函数值取值多少无关（后面的间断点有说明）

【注】需要分左、右极限求极限的问题

（二）极限性质（函数、数列）

（1）极限值的正负，保，函数值的正负（严格大于）

（2）函数值的正负，保，极限值的正负（大于等于）

什么时候用？给抽象函数

3.极限值与无穷小之间的关系

单调有界数列必有极限。

单调增、有上界的必有极限（它的下界就是第一项）

单调减、有下界的必有极限（它的上界就是第一项）

（1）有限个无穷小，相加=无穷小

（2）有限个无穷小，相乘=无穷小

（3）无穷小量*有界量=无穷小

2.常用无穷大的比较（不等式）

3.无穷大与无界变量的关系：（概念的对比）

数列无穷大，是xn后面的值都大于M

数列无界变量，是xn后面的值，至少有一项，大于M（一个就够了，其他无所谓）

无穷大，一定是无界变量，反之不是。

4.无穷大量与无穷小量的关系

如果去掉了f(x)不等于0的条件，则由于被除数不能=0，所以1/无穷小，不等于无穷大

题型一 极限的概念、性质及存在准则

（1）存在±不存在=不存在

（2）不存在±不存在=不一定存在（有可能相互抵消变常数）

2.等价无穷小代换的原则

2）加减关系在一定条件下可以换；

总结：就是换了之后不等于0

方法4 利用洛必达法则求极限

化为0/0，无穷/无穷才能用洛必达

必须满足（3）的这个条件，右端必须存在（是个数字）或者无穷大，才可以洛必达
求导后右端振荡的不存在，才不能用洛必达

方法5 利用泰勒公式求极限

定理（带Peano余项的泰勒公式）

设f（x）在x=x0处n阶可导，则

方法7 利用定积分的定义求极限

先提出1/n，再确定被积函数和积分区间

1.“0/0”型极限的方法

1）有极限非零的因子极限先求出来

2）有理化（有根式的时候）

2.“∞/∞”型极限的方法

1）洛必达法则；2）分子、分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

PS：无穷/无穷，用洛必达法则的时候，验证下面是无穷就行，上面不用验证是否无穷

3.“∞-∞”型极限的方法

1）通分化为0/0（分式-分式）

2）根式有理化（根式-根式）

3）变量代换或泰勒公式

这两种极限求极限的函数一定是幂指函数，

1.n项和的数列极限，常用方法：

变化范围小，主体不怎么变，用夹逼
变化范围大，主体影响很大，用定积分定义

例1：变化范围1~n，等式的主体部分n^2，用夹逼（主体不变）

例2：变化范围1~n^2，等式的主体部分n^2，用定积分定义（主体变了）

【eg6】多次用到这个结论

2.n项连乘的数列极限，常用方法：

常用方法（基于单调与否）

先证数列{xn}收敛（常用单调有界准则），然后等式两端取极限得A=f（A），得极限A

主要就是找上/下界，和，单调性。

怎么证明？一般做lim x-A的绝对值，作出递推不等式（重点）
最后，左边大于0（绝对值），右边趋近于0（不等式放大或缩小），用夹逼定理得证
取极限得到A后，为什么还要证明呢？
因为该数列不一定有极限，如果没有极限，则第一步取极限的前提就不成立了。

单调性判定常用有三种方法：（跟级数判定有点像）

若xn+1-xn≥0（≤0），则{xn}单调增（单调减）；

2）设{xn}不变号，后项/前项

（1）若xn>0，则当后项/前项≥1（≤1）时，{xn}单调增（单调减）；

（2）若xn<0，则当后项/前项≥1（≤1）时，{xn}单调减（单调增）；

（1）若f（x）在I上单调增，则

解读：单调增，可以给出正反馈，就看第一第二项了。

（2）若f（x）在I上单调减，则{xn}不单调（直接用方法2）

【eg2】最后的一个单调性判定的方法：

把递推函数变函数，然后求导，看导数大于/小于0

【eg3】有首项和递推式，首先判断f(x)单调性，能就直接用方法1解答

总结：三种数列极限，N项和，N项连乘，递推关系。

题型四、无穷小量阶的比较

【eg1】快速看出积分x的阶数

原阶数=求导后阶数+1（结果是一样的，记图里的那个还容易错）

常用于间断点的连续性判断

1）第一类间断点：左，右极限均存在

可去间断点：左极限=右极限

跳跃间断点：左极限≠右极限

2）第二类间断点：左，右极限至少有一个不存在（不止无穷和振荡间断点）

1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍连续；

2）基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续；

3）闭区间上连续函数的性质

连续函数和微/积分中值定理一起出综合题

（1）有界性：若f（x）在【a,b】上连续，则f（x）在【a,b】上有界

（2）最值性：若f（x）在【a,b】上连续，则f（x）在【a,b】上必有最大、最小值

（3）介值性：若f（x）在【a,b】上连续，且f（a）≠f（b），

则对f（a）与f（b）之间任一数C，至少存在一个ξ∈（a,b），使得f（ξ）=C

推论：若f（x）在【a,b】上连续，

则f（x）在【a,b】可取到，介于最小值m与最大值M之间的任何值

（4）零点定理：若f（x）在【a,b】连续，且f（a）*f（b）<0，则必存在ξ∈（a,b），使f（ξ）=0

A.是否单调：随便取几个值，证明不单调就可以

B.是否周期函数：只要有一个部分不是周期函数，整体就不是周期函数

7.D.没有说明连续性的函数，当它不连续，取固定点的值时，该点极限和该点的值没有关系

18.对于两个变量求极限，有不确定的项，要做好准确的分类。

25.注意，加起来不等于0就可以用等价无穷小

29.对复合函数重复使用无穷小会放大/缩小，

对于内层的函数，尽量写泰勒公式（准确度高），别偷懒，否则容易错。

用泰勒后，不必要的在最后，可以消去。

34.实在算不下去的时候，用泰勒呀！

45.凑递推式，要凑成能够递推的形式

专题一、求极限及极限式中的参数

1.求函数极限首先要对其进行化简，然后判别类型，选择方法；

常用的化简技巧有：初等变形（约分、通分、有理化、换元、抓大头等）

加减中把极限存在（不管是否为0）的部分，拆项先算出来

乘除中把极限存在（必须不为0）的部分，分离先算出来、等价代换等等；

主要是在待定参数取值范围内用洛必达法则（或其他方法）

题目3：变限积分里有x不能直接求导，必须把x换出去

题目4：换积分次序+换元+积分对象外提

题目5：学到了个新极限，看似很复杂

题目7：确定b用积分保号性，确定a用洛必达，确定c用极限的唯一性

题目8：（1）夹逼定理（2）下图

题目9：（1）零点定理（2）单调有界准则（单调性+有界性）+夹逼定理

题目2：sincos公式+泰勒展开到x^5+合并同类项

求给出通项的数列的极限，要立即想到数列的单调有界定理

二、极限的概念、性质及存在准则（有待补充）