总结是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，为此我们要做好回顾，写好总结。我们该怎么去写总结呢？以下是小编为大家收集的初二物理知识总结，欢迎阅读与收藏。

　　1、弹性:物体受力发生形变，失去力又恢复到原来的形状的性质叫弹性。

　　2、塑性:在受力时发生形变，失去力时不能恢复原来形状的性质叫塑性。

　　3、弹力:物体由于发生弹性形变而受到的力叫弹力,弹力的大小与弹性形变的大小有关

　　⑴测力计：测量力的大小的工具。

　　⑵分类：弹簧测力计、握力计。

　　A、原理：在弹性限度内，弹簧的伸长与所受的拉力成正比。

　　B、使用方法：看：量程、分度值、指针是否指零;调：调零;读：读数=挂钩受力。

　　C、注意事项：加在弹簧测力计上的力不许超过它的最大量程。

　　自然界中的物质有三种状态：固态、液态、气态

　　1)固态：既有一定的体积，又有一定的形状，很难被压缩

　　2)液态：不容易被压缩且有一定的体积，但由于它具有流动性，没有一定的形状

　　3)气态：很容易被压缩，具有流动性。即既没有一定的体积，也没有一定的形状

　　4)等离子态：由等量的带负电的电子和带正电的离子组成。（了解，重在强调应用）

　　上面对物理中物质的三种状态知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们一定能在考试中取得很好的成绩。

　　中考物理知识点：透镜

　　关于物理中透镜的知识，希望同学们很好的掌握下面的内容知识哦。

　　透镜：透明物质制成（一般是玻璃），至少有一个表面是球面的一部分，对光起折射作用的光学元件。

　　分类：1、凸透镜：边缘薄，中央厚。2、凹透镜：边缘厚，中央薄。

　　主光轴：通过两个球心的直线。

　　光心：主光轴上有个特殊的点，通过它的光线传播方向不变。（透镜中心可认为是光心）

　　焦点：凸透镜能使跟主轴平行的光线会聚在主光轴上的一点，这点叫透镜的焦点，用"F"表示

　　虚焦点：跟主光轴平行的光线经凹透镜后变得发散，发散光线的反向延长线相交在主光轴上一点，这一点不是实际光线的会聚点，所以叫虚焦点。

　　焦距：焦点到光心的距离叫焦距，用" f "表示。

　　每个透镜都有两个焦点、焦距和一个光心。

　　凸透镜：对光起会聚作用。

　　凹透镜：对光起发散作用。

　　通过上面对物理中透镜知识点的内容讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们认真的学习物理知识。

　　1、光源：能够发光的物体叫光源

　　2、光在均匀介质中是沿直线传播的。大气层是不均匀的 初中政治，当光从大气层外射到地面时，光线发了了弯折

　　3、光速：光在不同物质中传播的速度一般不同，真空中最快，光在真空中的传播速度：C = 3×108 m/s，在空气中的速度接近于这个速度，水中的速度为3/4C，玻璃中为2/3C

　　4、光直线传播的应用可解释许多光学现象：激光准直，影子的形成，月食、日食的形成、小孔成像

　　5、光线：表示光传播方向的直线，即沿光的传播路线画一直线，并在直线上画上箭头表示光的传播方向（光线是假想的，实际并不存在）

　　6、光的反射：光从一种介质射向另一种介质的交界面时，一部分光返回原来介质中，使光的传播方向发生了改变，这种现象称为光的反射

　　7、 光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角可归纳为：“三线共面，法线居中，两角相等”

　　（1） 由入射光线决定反射光线

　　（2） 发生反射的条件：两种介质的交界处；发生处：入射点；结果：返回原介质中

　　（3） 反射角随入射角的增大而增大，减小而减小，当入射角为零时，反射角也变为零度

　　（1） 镜面反射：平行光线经界面反射后沿某一方向平行射出，只能在某一方向接收到反射光线

　　（2） 漫反射：平行光经界面反射后向各个不同的方向反射出去，即在各个不同的方向都能接收到反射光线注意：无论是镜面反射，还是漫反射都遵循光的反射定律

　　10、 在光的反射中光路可逆

　　11、 平面镜对光的作用

　　（1）成像 （2）改变光的传播方向

　　12、 平面镜成像的特点

　　（1）成的像是正立的虚像 （2）像和物的大小 （3）像和物的连线与镜面垂直，像和物到镜的距离相等理解：平面镜所成的像与物是以镜面为轴的对称图形

　　13、 实像与虚像的区别

　　实像是实际光线会聚而成的，可以用屏接到，当然也能用眼看到。虚像不是由实际光线会聚成的，而是实际光线反向延长线相交而成的，只能用眼看到，不能用屏接收。

　　14、 平面镜的应用

　　（1）水中的倒影 （2）平面镜成像 （3）潜望镜

　　第一章声现象一、声音的产生1、声音是由物体的振动产生的；

　　（人靠声带振动发声、蜜蜂靠翅膀下的小黑点振动发声，风声是空气振动发声，管制乐器考里面的空气柱振动发声，弦乐器靠弦振动发声，鼓靠鼓面振动发声，钟考钟振动发声，等等）；

　　2、振动停止，发生停止；

　　但声音并没立即消失（因为原来发出的声音仍在继续传播）；

　　3、发声介质可以是固体、液体和气体；

　　4、声音的振动可记录下来，并且可重新还原（唱片的制作、播放）；

　　二、声音的传播1、声音的传播需要介质；

　　固体、液体和气体都可以传播声音；

　　声音在固体中传播时损耗最少（在固体中传的最远，铁轨传声），一般情况下，声音在固体中传得最快，气体中最慢（软木除外）；

　　2、真空不能传声，月球上（太空中）的宇航员只能通过无线电话交谈；

　　3、声音以波（声波）的形式传播；

　　注：由声音物体一定振动，有振动不一定能听见声音；

　　4、声速：物体在每秒内传播的距离叫声速，单位是m/s；

　　声速的计算公式是v=；

　　声音在空气中的速度为340m/s;三、回声1、定义：声音在传播过程中，遇到障碍物被反射回来，再传入人的耳朵里，人耳听到反射回来的声音叫回声（如：高山的回声，夏天雷声轰鸣不绝，北京的天坛的回音壁）2、听见回声的条件：原声与回声之间的时间间隔在0.1s以上（教师里听不见老师说话的回声，狭小房间声音变大是因为原声与回声重合）；

　　3、回声的利用：测量距离（车到山，海深，冰川到船的距离）；

　　四、怎样听见声音1、人耳的构成：人耳主要由外耳道、鼓膜、听小骨、耳蜗及听觉神经组成；

　　2、声音传到耳道中，引起鼓膜振动，再经听小骨、听觉神经传给大脑，形成听觉；

　　3、在声音传给大脑的过程中任何部位发生障碍，人都会失去听觉（鼓膜、听小骨处出现障碍是传导性耳聋；

　　听觉神经处出障碍是神经性耳聋）；

　　4、骨传导：不借助鼓膜、靠头骨、颌骨传给听觉神经，再传给大脑形成听觉（贝多芬耳聋后听音乐，我们说话时自己听见的自己的声音）；

　　骨传导的性能比空气传声的性能好；

　　5、双耳效应：生源到两只耳朵的距离一般不同，因而声音传到两只耳朵的时刻、强弱及步调亦不同，可由此判断声源方位的现象（听见立体声）；

　　五、声音的特性包括1、乐音三要素：音调、响度、音色（1）、音调：声音的高低叫音调，频率越高，音调越高（频率：物体在每秒内振动的次数，表示物体振动的快慢，单位是赫兹，振动物体越大音调越低；

　　振幅：物体在振动时偏离原来位置的最大距离。）（2）、响度：声音的强弱叫响度；

　　物体振幅越大，响度]越强；

　　听者距发声者越远响度越弱；

　　（3）、音色：不同的物体的音调、响度尽管都可能相同，但音色却一定不同；

　　（辨别是什么物体法的声靠音色）注意：音调、响度、音色三者互不影响，彼此独立；

　　在响度和音调相近的情况下主要通过音色来判断发声体六、超声波和次声波1、人耳感受到声音的频率有一个范围：20Hz～20000Hz，高于20000Hz叫超声波；

　　低于20Hz叫次声波；

　　2、动物的听觉范围和人不同，大象靠次声波交流，地震、火山爆发、台风、海啸都要产生次声波；

　　七、噪声的危害和控制1、四大污染：噪声污染、水污染、大气污染、固体废物污染）2、噪声：（！）从物理角度上讲物体做无规则振动时发出的声音叫噪声；

　　（2）从环保的角度上讲，凡是妨碍人们正常学习、工作、休息的声音以及对人们要听的声音产生干扰的声音都是噪声；

　　3、乐音：从物理角度上讲，物体做有规则振动发出的声音；

　　4、常见噪声来源：飞机的轰鸣声、汽车的鸣笛声、鞭炮声、金属之间的摩擦声；

　　5、噪声的等级：表示声音强弱的单位是分贝。符号dB，超过90dB会损害健康；

　　0dB指人耳刚好能听见的声音；

　　6、控制噪声：（1）在生源处较弱(安消声器)；

　　（2）在传播过程中（植树。隔音墙）（3）在人耳处减弱（戴耳塞）八、声音的利用1、超声波的能量大、频率高用来打结石、清洗钟表等精密仪器；

　　超声波基本沿直线传播用来回声定位（蝙蝠辨向）制作（声纳系统）2、传递信息（医生查病时的“闻”，打B超，敲铁轨听声音等等）3、声音可以传递能量（飞机场帮边的玻璃被震碎，雪山中不能高声说话，一音叉振动，未接触的音叉振动发生）第二章光的传播一、光源定义：能发光的物体叫做光源。光源可分为1、冷光源(水母、节能灯），热光源（火把、太阳）；

　　2、天然光源（水母、太阳），人造光源（灯泡、火把）;3、生物光源（水母、斧头鱼），非生物光源（太阳、灯泡）二、光的传播1、光在同种均匀介质中沿直线传播；

　　2、光的直线传播的应用：

　　（1）小孔成像：像的形状与小孔的形状无关，像是倒立的实像（树阴下的光斑是太阳的像）（2）取直线：激光准直（挖隧道定向）；

　　（3）限制视线：坐井观天（要求会作有水、无水时青蛙视野的光路图）；

　　一叶障目（4）影的形成：影子；

　　日食、月食（要求知道日食时月球在中间；

　　月食时地球在中间）3、光线：常用一条带有箭头的直线表示光的径迹和方向；

　　三、光速1、真空中光速是宇宙中最快的速度；

　　2、在计算中，真空或空气中光速c=3×108m/s; 3、光在水中的速度约为c，光在玻璃中的速度约为c；

　　4、光年：是光在一年中传播的距离，光年是长度单位；

　　声音在固体中传播得最快，液体中次之，气体中最慢，真空中不传播；

　　光在真空中传播的最快，空气中次之，透明液体、固体中最慢（二者刚好相反）。光速远远大于声速，（如先看见闪电再听见雷声，在100m赛跑时声音传播的时间不能忽略不计，但光传播的时间可忽略不计）。

　　四、光的反射1、当光射到物体表面时，有一部份光会被物体反射回来，这种现象叫做光的反射。

　　2、我们看见不发光的物体是因为物体反射的光进入了我们的眼睛。

　　3、反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线、法线都在同一个平面内；

　　反射光线、入射光线分居法线两侧；

　　反射角等于入射角。

　　（1）、法线：过光的入射点所作的与反射面垂直的直线；

　　（2）入射角：入射光线与法线的夹角；

　　反射角：法射光线与法线间的夹角。（入射光线与镜面成θ角，入射角为90°－θ，反射角为90°－θ）（3）入射角与反射角之间存在因果关系，反射角总是随入射角的变化而变化而变化，因而只能说反射角等于入射角，不能说成入射角等于反射角。（镜面旋转θ，反射光旋转2θ）（4）垂直入射时，入射角、反射角等于多少？答：垂直入射时，入射角为0度，反射角亦等于0度。

　　4、反射现象中，光路是可逆的（互看双眼）5、利用光的反射定律画一般的光路图（要求会作）：

　　（1）、确定入（反）射点：入射光线和反射面或反射光线和反射面或入射光线和反射光线的交点即为入射（反射）点（2）、根据法线和反射面垂直，作出法线。

　　（3）、根据反射角等于入射角，画出入射光线或反射光线◆作光路图注意事项：

　　(1).要借助工具作图；

　　(2)是实际光线画实线，不是实际光线画虚线；

　　(3)光线要带箭头，光线与光线之间要连接好，不要断开；

　　(4)作光的反射或折射光路图时，应先在入射点作出法线(虚线)，然后根据反射角与入射角或折射角与入射角的关系作出光线；

　　(5)光发生折射时，处于空气中的那个角较大；

　　(6)平行主光轴的光线经凹透镜发散后的光线的反向延长线一定相交在虚焦点上；

　　(7)平面镜成像时，反射光线的反向延长线一定经过镜后的像；

　　(8)画透镜时，一定要在透镜内画上斜线作阴影表示实心。

　　6、两种反射：镜面反射和漫反射。

　　（1）镜面反射：平行光射到光滑的反射面上时，反射光仍然被平行的反射出去；

　　（2）漫反射：平行光射到粗糙的反射面上，反射光将沿各个方向反射出去；

　　（3）镜面反射和漫反射的相同点：都是反射现象，都遵守反射定律；

　　反射面不同（一光滑，一粗糙），一个方向的入射光，镜面反射的反射光只射向一个方向（刺眼）；

　　而漫反射射向四面八方；

　　（下雨天向光走走暗处，背光走要走亮处，因为积水发生镜面反射，地面发生漫反射，电影屏幕粗糙、黑板要粗糙是利用漫反射把光射向四处，黑板上“反光”是发生了镜面反射）五、平面镜成像1、平面镜成像的特点：

　　像是虚像，像和物关于镜面对称（像和物的大小相等，像和物对应点的连线和镜面垂直，到镜面的距离相等；

　　像和物上下相同，左右相反（镜中人的左手是人的右手，看镜子中的钟的时间要看纸张的反面，物体远离、靠近镜面像的大小不变，但亦要随着远离、靠近镜面相同的距离，对人是2倍距离）。

　　2、水中倒影的形成的原因：

　　平静的水面就好像一个平面镜，它可以成像（水中月、镜中花）；

　　对实物的每一点来说，它在水中所成的像点都与物点“等距”，树木和房屋上各点与水面的距离不同，越接近水面的点，所成像亦距水面越近，无数个点组成的像在水面上看就是倒影了。（物离水面多高，像离水面就是多远，与水的深度无关）。

　　3、平面镜成虚像的原因：

　　物体射到平面镜上的光经平面镜反射后的反射光线没有会聚二是发散的，这些光线的反向延长线（画时用虚线）相交成的像，不能呈现在光屏上，只能通过人眼观察到，故称为虚像（不是由实际光线会聚而成）注意：

　　进入眼睛的光并非来自像点，是反射光。要求能用平面镜成像的规律（像、物关于镜面对称）和平面镜成像的原理（同一物点发出的光线经反射后，反射光的反向延长线交于像点）作光路图（作出物、像、反射光线和入射光线）。

　　六、凸面镜和凹面镜1、以球的外表面为反射面叫凸面镜，以球的内表面为反射面的叫凹面镜；

　　2、凸面镜对光有发散作用，可增大视野（汽车上的观后镜）；

　　凹面镜对光有会聚作用（太阳灶，利用光路可逆制作电筒）七、光的折射1、光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生偏折。

　　2、光在同种介质中传播，当介质不均匀时，光的传播方向亦会发生变化。

　　3、折射角：折射光线和法线间的夹角。

　　八、光的折射定律1、在光的折射中，三线共面，法线居中。

　　2、光从空气斜射入水或其他介质时，折射光线向法线方向偏折；

　　光从水或其它介质斜射入空气中时，折射光线远离法线（要求会画折射光线、入射光线的光路图）3、斜射时，总是空气中的角大；

　　垂直入射时，折射角和入射角都等于0°,光的传播方向不改变4、折射角随入射角的增大而增大5、当光射到两介质的分界面时，反射、折射同时发生6、光的折射中光路可逆。

　　九、光的折射现象及其应用1、生活中与光的折射有关的例子：

　　水中的鱼的位置看起来比实际位置高一些（鱼实际在看到位置的后下方）；

　　由于光的折射，池水看起来比实际的浅一些；

　　水中的人看岸上的景物的位置比实际位置高些；

　　夏天看到天上的星斗的位置比星斗实际位置高些；

　　透过厚玻璃看钢笔，笔杆好像错位了；

　　斜放在水中的筷子好像向上弯折了；

　　（要求会作光路图）2、人们利用光的折射看见水中物体的像是虚像（折射光线反向延长线的交点）十、光的色散1、太阳光通过三棱镜后，依次被分解成红、橙、黄绿、蓝、靛、紫七种颜色，这种现象叫色散；

　　2、白光是由各种色光混合而成的复色光；

　　3、天边的彩虹是光的色散现象；

　　4、色光的三原色是：红、绿、蓝；

　　其它色光可由这三种色光混合而成，白光是红、绿、蓝三种色光混合而成的；

　　颜料的三原色是品红、青、黄，三原色混合是黑色；

　　5、透明体的颜色由它透过的色光决定（什么颜色透过什么颜色的光）；

　　不透明体的颜色由它反射的色光决定（什么颜色反射什么颜色的光，吸收其它颜色的光，白色物体发射所有颜色的光，黑色吸收所有颜色的光）例：一张白纸上画了一匹红色的马、绿色的草、红色的花、黑色的石头，现在暗室里用绿光看画，会看见黑色的马，黑色的石头，还有黑色的花在绿色的纸上，看不见草（草、纸都为绿色）十一、看不见的光1、太阳光谱：红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫这七种色光按顺序排列起来就是太阳光谱；

　　（从左往右其波长逐渐减小；

　　人眼辨别率依次降低）应用傍晚太阳是红的，晴天天是蓝的，汽车的雾灯是黄光。

　　2、红外线：红外线位于红光之外，人眼看不见；

　　（1）一切物体都能发射红外线，温度越高辐射的红外线越多；

　　（打仗用的夜视镜）（2）红外线穿透云雾的本领强（遥控探测）（3）红外线的主要性能是热作用强；

　　（加热）3、紫外线：在光谱上位于紫光之外，人眼看不见；

　　（1）紫外线的主要特性是化学作用强；

　　（消毒、杀菌）（2）紫外线的生理作用，促进人体合成维生素D（小孩多晒太阳），但过量的紫外线对人体有害（臭氧可吸收紫外线，我们要保护臭氧层）（3）荧光作用；

　　（验钞）（4）地球上天然的紫外线来自太阳，臭氧层阻挡紫外线进入地球；

　　第三章透镜及其应用一、透镜、至少有一个面是球面的一部分的透明玻璃元件（要求会辨认）1、凸透镜、中间厚、边缘薄的透镜，如：远视镜片，照相机的镜头、投影仪的镜头、放大镜等等；

　　2、凹透镜、中间薄、边缘厚的透镜，如：近视镜片；

　　1、主光轴：过透镜两个球面球心的直线，用CC/表示；

　　2、光心：同常位于透镜的几何中心；

　　3、焦点：平行于凸透镜主光轴的光线经凸透镜后会聚于主光轴上一点，这点叫焦点；

　　4、焦距：焦点到光心的距离（通常由于透镜较厚，焦点到透镜的距离约等于焦距）焦距用“f”表示。如下图：

　　注意：凸透镜和凹透镜都各有两个焦点，凸透镜的焦点是实焦点，凹透镜的焦点是虚焦点；

　　三、三条特殊光线（要求会画）：

　　1、过光心的光线经透镜后传播方向不改变，如下图：

　　2、平行于主光轴的光线，经凸透镜后经过焦点；

　　经凹透镜后向外发散，但其反向延长线必过焦点（所以凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光有发散作用）如下图：

　　3、经过凸透镜焦点的光线经凸透镜后平行于主光轴；

　　射向异侧焦点的光线经凹透镜后平行于主光轴；

　　四、粗略测量凸透镜焦距的方法：

　　使凸透镜正对太阳光（太阳光是平行光，使太阳光平行于凸透镜的主光轴），下面放一张白纸，调节凸透镜到白纸的距离，直到白纸上光斑最小、最亮为止，然后用刻度尺量出凸透镜到白纸上光斑中心的距离就是凸透镜的焦距。

　　五、辨别凸透镜和凹透镜的方法：

　　1、用手摸透镜，中间厚、边缘薄的是凸透镜；

　　中间薄、边缘厚的是凹透镜；

　　2、让透镜正对太阳光，移动透镜，在纸上能的到较小、较亮光斑的为凸透镜，否则为凹透镜；

　　3、用透镜看字，能让字放大的是凸透镜，字缩小的是凹透镜；

　　六、探究凸透镜的成像规律：

　　1、器材：凸透镜、光屏、蜡烛、光具座（带刻度尺）2、注意事项：“三心共线”：蜡烛的焰心、透镜的光心、光屏的中心在同一直线上；

　　又叫“三心等高” 3、凸透镜成像的规律（要求熟记、并理解）：

　　成像条件物距（u）成像的性质像距（v）应用U

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  发刊词：数学到底怎么学？

  • 数学是一种抽象的知识体系，而我们人要靠经验感知才能认识世界，这中间需要一个桥梁。

  • 构建通往数学的桥梁，把熟悉的知识点各安其位，放进知识体系里。

  • 在介绍这些关键数学知识点的同时，会讲清楚它们在数学上的位置，以及和各种知识体系的相关性。

  • 通过学习数学，实现思维方式的跃进。

  • 一个学好数学最重要的方法是，不断训练自己的思维方式。

  01.导论：数学通识课的体系和学习攻略

  • 数学的各个分支，从体系到研究方法，再到应用方法是共通的。

  • 第一模块讲的是数学究竟是怎么从一个猜想，得到推论，然后又产生实际应用的。

  • 数学发展和体系构建常常经历的步骤，从特例到引理再到定理、推论，最后到应用的全过程。

  • 第二个模块通过讲述人类对数字这个概念的认识历程，学会一个思维工具——“从具体到抽象”。

  • 第三第四模块的内容集中在熟悉的几何和代数。

  • 为了研究不确定世界的规律性，概率和统计发展起来了。

  • 从个案到整体规律，从个别定理到完整的知识体系，从具体到抽象，从完全的确定性，到把握不确定性。

  02.勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理？

  • 数学和自然科学的三个本质区别。

  • 在数学上，观察的经验可以给我们启发，但是不能成为得到数学结论的依据，数学结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来。

  • 用事实证明和用逻辑证明的区别

  • 数学世界和测量世界第二个区别就是，数学理论必须要证明，保证没有例外。

  • 科学结论相对性和数学结论绝对性的区别。

  • 有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。

  • 数学定理确立的过程大致是这样的，一开始可能只是大家注意到几个特例，然后发现很多例证提出猜想，猜想经过证明就成为了定理，定理会有推论，在此基础上，会有新的定理和应用。

  03.数学的预见性：如何用推理走出认知盲区？

  • 反证法就是先假定条件都满足，再找出矛盾之处，就能推翻原来的假设。

  • 人类在科技历史上，很多重大的发明发现恰恰来自于上述的矛盾。

  04.数学思维：数学家如何从逻辑出发想问题？

  • 从逻辑出发想问题，就可以发现很多日常中被忽略的问题，从而找到真正答案。

  • 数学思维不是指算小账算得清楚，而是说善于基于数学知识，使用逻辑发现问题，或者预见到不得不做的事情。

  05.数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理

  • 我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分。

  06.黄金分割：毕达哥拉斯如何连接数学和美学？

  • 黄金分割的美感来自几何图形的相似性。

  07.数学应用：华罗庚化繁为简的神来之笔

  • 很多高水平的数学家，不仅能够研究复杂的理论问题，还能够为复杂的实际问题找到简单的，可重复使用的解决方法。

  • 所谓线性规划，就是用很多线性方程在多维空间里划定一个区域，在区域里找最佳值。

  • 在很多需要做决定的事情上，自觉或不自觉地把做决定的时间放在黄金分割点或者反方向的黄金分割点上。

  08.数列和级数（一）：当下很重要，但趋势更重要

  • 知道整个数列每一个位置元素的数值，就是提升自己从孤立事件里发现规律的能力。

  • 数列是一种工具，看似是一串数字，但这里重要的是彼此的关联，以及数字的规律，而不是数字本身。

  • 学习数学的技巧，不在于题做的有多难，而是能用一两条关键的线索把各个知识点串联起来。

  • 仅仅通过少数几个数字得到的所谓的规律，其实和采用大量数据后得到的规律完全是两回事。

  • 不仅关心当前这个数有多大，或者我们有多少钱，多少资源，还关心明天他能变多大，变多快，这就是数列的意义。

  09.数列和级数（二）：传销骗局的数学原理

  • 技术无穷大的关键是相邻两个元素的比例r，如果r≥1，即后一个比前一个大，级数就是无穷大，就是发散。反之，则是收敛的，多少项加到一起也是一个有限的数字。

  10.数列和级数（三）：藏在利息和月供里的秘密

  • 要算好各种利率计算的影响。

  11.鸡兔同笼：方程这个数学工具为什么很强大？

  • 数学应用题的核心关键就是要把自然语言描述的现实世界的问题变成用数学语言描述的问题。

  • 学会把具体问题抽象成模型，才能解决更多更难的新问题。

  12.三次方程：数学史上著名的发明权之争

  • 通常先有引理，可以把引理看成是一个简单、辅助性的定理，他们存在的目的是为了后面证明定理。

  • 数学的发展是层层叠加的，学习数学也应该如此，理解这一点是学习好理科课程的关键。

  • 数学是个工具，学习数学是练习自己使用工具的能力。最要注重学习的是概念，以及概念之间的联系，然后能够把现实的问题转化成数学问题。

  13.虚数：虚构这个工具有什么用？

  • 很多数学工具都是如此，他们并非我们这个世界存在的东西，而是完全由逻辑虚构出来的。但是我们现实世界的事情，却要用这些虚构的工具来解决。

  • 虚数作为数学工具最大的用途，可能是便于将直角坐标变成极坐标。

  • 复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。

  14.无穷：我们为什么难以理解无限的世界？

  • 无穷大反映一种趋势，一种无限增加的趋势。

  • 在无穷大的世界里，部分可以完全和整体等价。

  • 不能以有限的认知，去理解无限的事物，也不能把那些从很少的经验中得到的结论，放大后用于更大的场景。

  • 在工作中，要优先考虑量级的提高，而不是捡芝麻的事情。

  15.无穷小（上）：如何说服“杠精”芝诺？

  • 无穷小不是一个具体的数，而是一个概念、一个趋势，就和无穷大一样。

  16.无穷小（二）：牛顿和贝克莱在争什么？

  • 微积分的意义让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把我瞬间动态变化和加速变化。

  17.无穷小（三）：用动态和极限的眼光看世界

  • 极限最大的特征是“无限逼近”最后趋同。

  • 完善数学上的漏洞，就要引入新的概念，把原来数学的体系扩大为新的体系。

  • 一个便捷的认知升级过程：

    • 1.不要怕提出傻问题，符合逻辑的傻问题常常是认知升级的开始。

    • 2.如果之前的知识解决不了那些看似傻问题的悖论，我们可能要跳出圈子，因为在圈子里转永远解决不了问题。

    • 3.当我们扩大我们知识体系的时候，之前的傻问题可能有了答案。

    • 4.但是不要指望一次就能完美的解决所有问题。我们的解决方案可能有漏洞，不要怕被别人指出来。当我们进一步弥补漏洞后，我们的认知就再次升级。

  18.有什么比无穷大更大，比无穷小更小？

  • 当一个无穷小量比另一个以更快的速度趋近于零，就说第一个比第二个更小。

  • 很多个低阶无穷大，加在一起增长的速率都比不上一个高阶的。

  • 计算机算法所关心的事情，是当问题很大时，不同的算法的计算量以什么速度增长。

  • 一个好的计算机从业者，在考虑算法时，是在无穷大这一段，考虑算法量增长的趋势，一个平庸的从业者，则是对一个具体的问题，一个固定的N，考虑计算量。

  19.复盘：数学给了我什么启示？

  • 知道自己的只是有穷尽，而未知世界无穷尽，反而会更接近真理，更容易提高自己的认知。

  • 真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。

  • 过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到长期的利益，这样反而不聪明了。

  • 人是特别善于创造虚拟概念的物种，我们今天的生活其实离不开各种虚拟物作为实体的媒介。

  • 往无穷小变化的趋势和往无穷大变化的趋势如果相乘，最后是清零，是常数，还是不断放大，就看谁的阶高了。

  • 逻辑可以帮助我们分析清除我们看不到的事情，甚至不存在的事情。

  • 做事专业，就需要掌握专业的术语。

  • 取得小成就要靠朋友帮忙，但是要取得惊人的成就，就需要一个理性的对手。

  • 对科学家最大的褒奖是荣誉，因此今天科学家们争的是谁第一个发现某个规律，而不是保守秘密。

  • 对于一个人来讲，他需要搞清楚的，就是自己想要什么。

  20.几何学：为什么是数学中最古老的分支？

  • 几何学发展的三个阶段。

  • （1）.从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识。

  • （2）.美索不达米亚人发明了角度量化的度量。

  • （3）.用书记录他们所发现的规律。

  21.公理体系：几何的系统理论从何而来？

  • 整个几何学的基础是十条非常简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。

  • 如何学几何，不在于多做多少题，做练习的目的是理解这个体系中每个定理的来龙去脉，这样脑子里就有了几何学的导图，遇到新的问题就可以用类似的方法解决。

  • 除了那些客观的、被验证了的，或者不证自明的道理，我们做决定时，不要加上过多的主观假设。

  22.非欧几何：相对论的数学基础是什么？

  • 罗巴切夫斯基假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。空间就由平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也成为双曲面。这是罗氏几何。

  • 黎曼假定过直线外一点，一条平行线也做不出来，这就是黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。

  • 三种几何体系，90%的公理都是相同的，最后差出了一条看似最无关紧要的公理，但是，由此之后，发展出来的知识体系就完全不同了。

  • 在不同的应用场景中，有的工具好用，有的费劲，学数学的关键是要学会在什么情况下，指导使用什么工具。

  23.解析几何：用代数的方法解决更难的几何题

  • 解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。

  • 学好数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。

  24.为什么几何能为法律提供理论基础？

  • 通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平。

  • 要练习从基本的假设，也就是所说的已知条件出发，采用逻辑客观地推导出结论。要把数学从单纯的脑力练习，变成掌握工具的练习。

  25.函数（上）：从静态到动态，从个别到趋势

  • （1）.这些函数里面都有变量；

  • （2）.他们都有一种对应关系；

  • （3）.对应关系都必须是确定的；

  • （4）.函数所对应的关系可以通过数学的方法，或者其他方法算出来。

  • 有了函数，人类在认识上有了三方面的进步。

  • （1）.很容易看出两个变量之间是怎么互相影响；

  • （2）.从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的的差异；

  • （3）.通过学习几个例题，掌握解决一系列问题的方法。

  26.函数（下）：如何通过公式理解因果关系？

  • 了解了相关性和必然性的差别，能让我们少犯错误。

  • 今天的学术研究通常只能在几个维度研究相关性，因此对于研究的结论，我们要全面看待。

  27.向量代数（上）：“方向比努力更重要”是鸡汤吗？

  • 在这个世界上，对于大部分物理量和在生活中遇到的数量，不仅需要关心数值的大小，还需要关心方向。

  • 每次看到数字时就必须想一想，“是否考虑了方向？”否则就还是停留在小学生对数字的理解程度。

  • 往三个方向使力，每一次努力其实都是有成本的，但是很多时候努力相互抵消掉了。

  28.向量代数（下）：如何通过向量夹角理解不同“维度”？

  • 除非有非常强的推荐，否则简历写得不好经常连第一关都过不了。

  • 这些画蛇添足的内容其实稀释了求职者的竞争力。

  29.线性代数：“矩阵”到底怎么用？

  • 矩阵产生的原因是向量的扩展。

  • 将单个计算变成大批量处理，是今天在信息时代要有的思维方式。

  30.微分（上）：如何从宏观变化了解微观趋势？

  • 导数的本质是对变化快慢的准确量化度量。

  • 在任何时刻算出梯度，然后沿着最陡，但是收益最大的路径前进。

  • 微积分的第一个思维提升就是练习从宏观趋势中把握微观变化的趋势，认清每一步的方向。

  31.微分（下）：搞懂“奇点”，理解“连续性”

  • 常说的奇点临近，就是指出现了不连续的情况。

  • 导数在数学上更本质的意义，在于它是对于连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。

  • 在股市上，如果一家公司的业绩表现总是不平滑变化的，它的股价常常好不了，因为投资人无法预期它的表现。

  • 如果一个函数的导数存在，这个函数一定是连续的，但是反过来却未必正确。

  32.积分：如何从微观趋势了解宏观变化？

  • 积分的第一个意义是能把握每一个细节对最后整体的影响。

  • 积分的第二个意义是从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上累积的效果。

  33.用变化的眼光看最大值和最小值

  • 牛顿求解最大值，将最优化问题看成是研究函数动态变化趋势的问题。

  34.微积分到底是谁发明的？

  • 今后如果要参与到一件前无古人的事情中，就清楚该如何确立自己的位置和角色。

  • 对于一项发明，简单追溯最早的发明人是没有意义的，而要看谁做出了具体的贡献。

  • 很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从0到N的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚。

  35.概率简史：一门来自赌徒的学问

  • 每一种不可再分，都是单位事件。单位事件的概率成为原子概率。

  • 所有可能发生的情况放在一起，构成了一个随机事件总的集合（也成为概率空间）。

  36.伯努利实验：到底如何理解随机性？

  • 随机试验得到的结果，和用古典概率算出来的结论可能是两回事。

  • 在一般情况下，出现A的概率是p，B的概率是1-p，这类实验后来被称为伯努利实验。

  • 实验的次时太少，统计的规律性被实验的随机性掩盖了。

  • 有关不确定性的规律，只有在大量随机实验时才显现出来，当实验的次数不足，他则显现出偶然性和随意性。

  • 方差其实是对误差的一种度量。

  • 对方差开根号一次，得到的结果被称为标准差。

  • 越是小概率事件，如果想确保他发生，需要实验的次数比理想的次数越要多得多。

  • 提高单次成功率要远比多做实验更重要。

  • 由于误差的作用，要确保小概率事件发生，成本要比确保大概率事件的发生高得多。

  • 凡事做好充足准备，争取一次性成功，要远比不断尝试小概率事件靠谱的多。

  37.泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？

  • 如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立的实验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：

  • λ是试验次数n乘以每次实验出现情况的可能性p的乘积。

  • 很多人投资总是失败，判断一件事发生的可能性总是有很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉和有严重漏洞的逻辑，而不是靠严密的数学逻辑和推导。

  • 应对随机性，需要的冗余要比想象的要大。

  • 由于随机性的作用，在准备资源时，达到的平均值还是不够的，需要准备一些冗余量。

  • 池子越大，越能抵消随机性带来的误差。

  38.高斯分布：大概率事件意味着什么？

  • 假定事件A经过n次试验后发生了k次，把k的概率分布图画一下，就得到了中间鼓起，像倒扣的钟一样的对称图形。

  • 高斯对正态分布的主要贡献在于，他利用概率分布的平均值和标准差来定义了正态分布。

  • 两个正态分布重叠区域，表示无法做出判断的情况，这个区域的面积，就是无法做出判断的概率。

  • 1-无法做出判断的概率，就是置信度。

  • 标准差越大，分布图越扁平，标准差越小，分布越瘦高。

  • 实验样本较少时，标准差越大。（个人理解是，样本增大后，各钟样本的增加幅度不同，越靠近均值的，样本增加的个数越多）。

  • 图中曲线和X轴之间的面积，就是曲线的积分，面积的大小就代表了高斯分布在某个范围内的概率。

  • 股市的风险远远高于大部分人的想象。

  • 由于任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进去，不能只考虑回报不考虑风险。

  • 由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差异，那可能说明不了什么问题。

  39.条件概率和贝叶斯公式：机器翻译是怎么工作的？

  • 在某个特定条件下发生的概率，就是条件概率。

  • 很多人学习别人的经验，用到自己身上就不灵了，原因就是没有搞清楚条件。另一方面，有些原因大家认为不可能做成的事情，一旦条件具备，就成为了大概率事件。

  • 一个随机事件发生的条件概率，取决于两个因素。一个是这个条件本身出现的次数，另一个是这个条件和这个随机事件一同出现的次数。

  • 数学上的因果关系不像在物理上是单方向的，他可以是条件和结果互为因果。在概率上也有这样一个特点，就是条件和结果可以互换。

  • 常常从容易得到的条件概率，推导出难得到的概率，这就是著名的贝叶斯公式。

  • 有没有条件存在，一个随机事件的概率可以相差很大。凡事讲究条件，这是一个重要的知识点。

  • 通过互换，可以把一个复杂的问题变成三个简单的问题，这就是贝叶斯公式的本质。

  40.概率公理化：一个必须补上的理论漏洞

  • 互补事件的概率之和等于1。

  • 不可能事件的概率为零。

  • 只有建立在公理化基础上的概率论，才站得住脚。

  41.统计学和大数据：为什么大多数企业用不好数据？

  • 统计学严格来讲是一门独立的科学，他是关于收集、分析、解释、陈述数据的科学。

  • 虽然今天数据量不再是问题，但如何选定可能有关联的变量，则体现了人类的智慧。

  • 今天看似大数据的数量是足够的，但是如果把它分为了很多的维度，其实还是很稀疏的。

  • 想用好数据的五个步骤：1.设立研究目标。2.设计实验，选取数据。3.根据实验方案进行统计和实验，分析方差。4.通过分析进一步了解数据，提出新假说。5.使用研究结果。

  42.古德-图灵折扣估计：黑天鹅事件能防范吗？

  • 将小概率事件的概率强制设定为零，结果就是早晚会遇到黑天鹅事件。

  • 齐普夫定律：对各种语言中词频的统计发现，一个词的排位，和它词频的乘积，近乎是一个常数。

  • 齐普夫定律被认为是一个自然界的普遍规律。每一个人都需要牢记齐普夫定律，就不会相信所有人都能够通过创业成为富翁这样的鸡汤观点，因为他违背齐普夫定律。

  • 古德-图灵折扣估计：把高频词的词频打了个折，多出来的词频分配给了低频词。

  • 插值法：相信那些见到次数比较多的统计结果，如果遇到统计数量不足时，就设法找一个可靠的统计结果来近似。

  • 很多时候，我们需要项古德那样预防不测，当然凡事都有成本，预防不测的成本在于要降低一些高收益项目的利润。同时，我们也要像贾里尼克那样，永远更多的依赖可靠的统计结果。

  44.非零和博弈（纳什均衡）：真的存在共赢吗？

  • 非零和博弈就是双方的得失加起来不为零，也不是个常数的博弈。

  • 在这种非零和博弈难题中，找到纳什均衡点就是最安全的解决办法。

  • 实现双赢的前提是彼此有信任，这种情况下的博弈，也被称为合作型博弈，而之前那是解决的是非合作博弈。

  • 对方只要做一次不诚信的事情，我会永久性的将这个人删除，因为只有在一个合作的环境中才有双赢的可能性。

  • 永远不要玩难以达成双赢的游戏，因为出来混总是要还的，人不可能永远在零和博弈中占别人的便宜。

  • 如果小企业投入大量资金得到新技术，而大企业也享用技术并利用体量优势竞争，小企业就要垮台。

  45.数学和哲学：一头一尾的两门学科

  • 一个数学的分支，其基础一旦建立起来，就几乎不会改变了。

  • 靠经验的积累有两大问题，一个是来得太慢，更糟糕的是直接经验常常是不可靠的。

  • 一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。

  • 具有一颗自由而炙热的心，去追求很高的、比较纯洁的精神生活，并且能够站在哲学的高度去研究数学。

  46.数学与自然科学：数学如何改造科学？

  • 从简单的观察上升到理性的分析。

  • 从给出原则性结论到量化的结论。

  • 将自然科学公式化，护着说用数学的语言来描述自然科学。

  • 养成理性和量化地处理我们日常工作的习惯，建立和他人的沟通基础。

  47.数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？

  • 同一律：一个事物只能是其本身。

  • 自己不懂逻辑，头脑不清，讲出的话违反了同一律后，就会造成别人的误解，甚至自己也会被绕进去，很多人缺乏好的沟通能力，可以溯源到讲话经常违反同一律上。

  • 矛盾律：不可能既是A又不是A。

  • 排中律：“是非”明确，不存在中间状态。

  • 充分条件律：有果必有因。

  48.数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具？

  • 耗费时间的瓶颈在关键路径上，而不在看似很花时间的工序上。

  • 要想缩短整个的生产时间，就需要缩短关键路径上的时间，这就是运筹学的思想。

  • 运筹学其实就是利用图论、线性代数等数学工具，从整体上改进现有系统的效率。

  • 一个企业最重要的是他的愿景和使命，价值观和文化。

  • 愿景和使命是一家企业需要存在的理由。

  • 价值观体现了企业中的任何外界各种人的关系。

  • 需要用数学的思路，也就是归纳和演绎的方法，构建出一个能够自恰的知识体系。

  • 在历史学研究中，不强调所谓的正确性或者正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上能自洽的结论都是有意义的。

  49.伽罗瓦和古典数学难题：难题给我们的启发

  • 伽罗瓦被确认为群论的开创者，这个理论的基础部分也被称为伽罗瓦理论。

  • 绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。

  • 在一个时代，某些问题之所以闲得很难，是因为他们看似属于当时的知识体系中的问题，但其实这只是表象。

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• (二)概率思想在高等数学积分中的应用 据有效数据实验表示，概率论的思想在高等数学积分中也能够有着较高的应用机制，不仅可以将原本复杂的积分问题简化，还能够使得结果变得相对准确。概率论的思想在高等数学积分中...

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