能不能详细解释一下等式的对称性？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-14 10:15 标签： 等式的对称性

　　在经典力学中，我们知道对称性可以导致一系列的守恒律，无论是全局对称性还是局部对称性。　　同样的，在量子场论中，对称性也能得到很多有价值的东西，比如Ward-Takahashi恒等式。这里我们就要来看看在路径积分表述下，场论中的对称性可以导致些什么有价值的东西。

　　首先，我们要明确什么是对称性。
　　所谓对称性，就是系统经过一系列操作后保持不变的特性。能保持这种特性的上述操作是这个系统的对称操作，可以构成一个对称群从而这些操作就是这个对称群的群元。
　　比如，球体在三维旋转下转动任何角度都保持不变，从而一个三维球体拥有三维空间转动对称性。
　　再比如，一张无限大平面，在垂直于平面的二维转动下是不变的，同时沿任意平行于该平面的直线平移，该平面不变。此外，沿该平面的镜像反演下该平面不变，绕着平面内任意一根直线的180度旋转也不改变这个平面。从而这个平面的对称群就是二维空间转动群直乘二维空间平移群直乘反演群再直乘一个180度转动群。
　　而如果是一个有限大的正方形平面，那就只有绕中心旋转45度、在4根特殊轴（两根对角线，两根中位线）的180度旋转，以及沿该平面的空间反演这三种对称性，从而是这三个群的直积。
　　一个空无一物的无限大平直空间，是三维中对称性最高的几何对象，因而它是所有三维中的对称性群的直积群。

　　一个系统如果具有某种对称性，那么在在这种对称操作下系统是不变的。在经典力学中，这个要求体现为系统的Hamilton量在对称操作下不变。对于对动量二次依赖的系统，这就是要求（等效）Lagrange量不变。

　　在量子场论中也是如此，我们可以采用路径积分表示。只不过，现在我们要求系统的所有可观测量在对称操作下是不变的。这等于要求n点关联函数在对称操作下不变。由此，我们便可以得到许多有用的结论，和经典力学中一样。其中，电磁学中的电荷流守恒，就对应到了QED中的Ward-Takahashi恒等式。同时，由此我们可以看出，QED中的Ward-Takahashi恒等式与对称性及守恒律的关系。
　　详细过程请看这里：

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