笔算开平方方法不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30a)^2＝30^2＋2×30a＋a^2，所以＝2×30a＋a2，即256=(3×20a)a，这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156＝34^2,上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：(其中竖式未给出，如有人给出，在下感激不尽)1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×34)×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．也可以用这种算法：假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）变形得sqrt(a)=（xa/x）/2所以你只需设置一个约等于（xa/x）/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的（xa/x）/2的值。  如：计算sqrt(5)设初值为21)sqrt(5)=(25/2)/2=2。252)sqrt(5)=(2。255/2。25)/2=2。2361113)sqrt(5)=(2。  。=2。236068这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0。001＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝或者可以用二分法：设f(x)=x^2-a那么sqrt(a)就是f(x)=0的根。  你可以先找两个正值m,n使f(m)>0,f(n)<0根据函数的单调性，sqrt(a)就在区间（m，n）间。然后计算（m＋n）/2，计算f（（m＋n）/2），如果它大于零，那么sqrt(a)就在区间（m，（m＋n）/2）之间。  小于零，就在（（m＋n）/2，n）之间，如果等于零，那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a)。这样重复几次，你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小，在最后足够精确的区间内随便取一个值，它就约等于sqrt(a)。

因为高中开始努力，所以前面的知识肯定有一定的欠缺，这就要求自己要制定一定的计划，更要比别人付出更多的努力，相信付出的汗水不会白白流淌的，收获总是自己的。小编呕心沥血收集整理的数学学业水平知识点，下面小编就带大家分享展示一下!!!

1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多

2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一多对一

1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

考点三、函数的表示方法

1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法

2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

考点四、求定义域的几种情况

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R;

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;

④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;

⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：

(4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。

3.求函数的值与最小值：

如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的值。函数在定义域内的极值不一定，但在定义域内的最值是的。

求函数f(x)在区间[a,b]上的值和最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;

(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可。

当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

若A?B，则p是q的充分条件。

若A?B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。

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复习以例题和习题为主，每一章、节及总复习题里的填空、选择、判断都要认真做一下

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。

3、了解函数极限的局部有界性、局部保某某。

第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：，其中是无穷小。

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态

第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。

2、会求有理分式函数的极限（P47 例3-例7）

时:若分母，则极限为函数值

若分子和分母同时为零，则为型极限，约去公因子

若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

时，用抓大头法，分子、分母同时约去的最高某某。

第六节 极限存在的准则，两个重要极限

1、利用夹逼准则求极限：

例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

3 注意下面几个极限：

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）

2、常见的等价无穷小：；

4、替换无穷小时必须是因式

5、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点

2、会判断间断点及其类型。

3、在点连续在点连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4. 注意三个例题：例6-例8

5、幂指函数求极限，可以利用等式=来某某。

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）

第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容

会零点定理证明方程根的存在性。

请熟悉函数当时的极限。

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题

（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

注意分点处的导数应该用定义来某某。

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题

例4、设为可导的，求的值

（4）利用导数几何意义求切线和法线方程

（5）可导连续，反之不成立！

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数转化成指数来某某导

（1）一般的函数求到2阶即可；

（2）几个初等函数的n阶导数：

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

（4）间接法求高阶导数：

例5、求的n阶导数：提示。

（5）注意下列函数的求导

例6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题

4、隐函数及参数方程求导

（1）一般方法，两边对球到后解出。

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数

（4）注意参数方程二阶导数的公式

（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量和之间的关系；

两边对（或者是其他变量）求导

和之间的关系，已知其中一个求另外一个。

（1）微分与可导的关系：可微可导且

（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分：

显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子

解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

（3）近似计算公式：注意的选取原则。(一般不会考)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要

罗尔定理、拉格朗日定理、柯某某定理应用：

证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含，则取作为辅助函数的自变量；若含有，则取作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯某某）

例1 设函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点使得。

证明：上述问题等价于。

令，则在上满足罗尔定理条件，于是少存在一点使得

（5）请熟悉132页例1.

（1）(其他类型的未定式)最终转化成型和型未定式

（3）结合等价无穷小效果更佳。

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数，的麦克劳林某某

3.4 函数的单调性和凹凸性

（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。

注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点；

二阶导数不存在的点也可能是拐点。

（2）利用单调性证明不等式（重要）

（3）利用单调性判断方程的根（重要）

3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）

（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。

3.6 函数图形的描绘

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）

4.1 不定积分的概念和性质

1、原函数、原函数存在定理、不定积分的概念、基本积分表

（1）下列等式中正确的是

3、辅助公式：恒等变形、三角公式等

5、若的导数为，则的一个原函数是（B）。

1、第一换元法的原理：

把被积函数凑成的形式，

因而这种方法也称为凑微分法。

注：和可以看做④和⑤的特殊情形。

注可以看做⑦的特殊情形

被积函数中含有，利用代换

被积函数中含有，利用代换

被积函数中含有，利用代换（一般要分情况讨论）

被积函数为分式，分母次数比分子次数高，倒代换

2、的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高某某，通常先换元更容易算。

遇到根式，先令去根号。

题型：一、两个函数相乘型

三、多次使用分部积分型

五、先换元再分部积分型

会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分

1、，判断是真分式还是假分式，如果是假分式先利用加项减项的方法化成真分式；

2、对分解因式，总可以分解成若干个不可降解的一次和二次多项式的乘积，根据分解结果用待定系数法确定的分解式，分解的项数之和等于分解因式的阶数之和：

有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分分式的积分：

虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这个原理，而要根据情况，把积分尽量简化.

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

令，则三角函数就转化成为有理函数

三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.

被积函数含有（1）；（2），；

（3）；（4）同时出现

补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果

5.1 定积分的概念和性质

2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）

5.2 微积分基本公式

及其导数： （如p243,5题）

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等：

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数为函数在区间上的一个原函数，则

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.

5.3 定积分的换元法和分布积分法

注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就不需要写出新变量的积分限，如。 但是应用第二换元公式，一般要写出新变量及其积分限，如

说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：

（4）设是周期为的连续函数：则

5、形如例9这样的积分。

1、无穷限的反常积分：设是的原函数，引入记号

反常积分收敛意味着相应的存在；特别的积分收敛必须同时存在。

注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设是的原函数，则

反常积分收敛意味着相应的存在；特别的积分（为瑕点）收敛必须同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性

练习：p260,2题；求积分的收敛性。

5、遇到形如积分时，注意是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）

2、体积（特别是旋转体的体积）

6.3 定积分在物理学上的应用（看例题）

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