2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素

3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素

注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换

3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

1）含有未知矩阵的等式

2）矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解B的每列可由A的列向量线性表示

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

n阶方阵A可逆存在n阶方阵B，有AB=BA=I

A的列（行）向量组线性无关

任意b，使得Ax=b总有唯一解

注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

3）初等变换法：对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)

5、解矩阵方程AX=B

1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

1、 n维向量的概念与运算

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

2）线性相关与线性无关的充要条件

存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出

特别的：n个n维向量线性相关│α1α2…αn│＝0

n+1个n维向量一定线性相关

每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若α1,α2,…,αs线性无关，则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩

1）极大线性无关组的概念

4）向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r(A)＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表
的未知数是主元（共有r(A)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r(A)个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r(A)＜n，亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0

3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数

7、非齐次线性方程组有解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r(A)＝r(A增)

2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax＝b有解，设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解

2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解

3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）

1、有关n维向量概念与性质的命题

2、向量的加法与数乘运算

3、线性相关与线性无关的证明

设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）

①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2）用秩（等于向量个数）

3）齐次方程组只有零解

4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

1、理解：线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念，正交向量组及标准正交基的概念，正交矩阵

2、掌握：Rn及其中向量的运算规则。

内积、长度、夹角、距离的计算。

3、运用：两个向量的正交。

正交矩阵的性质及应用。

1、线性空间与基的概念和性质

2）长度：‖α‖＝（α·α）的平方根＝（a12+a22+…+an2）的平方根

4）夹角：cosθ＝（α·β）/（‖α‖‖β‖）

5）正交：α与β的夹角为90°，记为α⊥β

6）正交向量组：任意两个向量都互相垂直

①任一组非零正交向量组必线性无关

②Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n

2）施密特正交化（先正交化，再单位化）

3）n阶方阵A是正交阵A的n个行向量构成Rn的一组标准正交基

A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基

1、判定给定集合是否为线性空间

一般由线性空间的定义与性质来判断

2、求线性空间的基与维数

3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基

步骤：1）证向量两两正交，即内积为零

2）证各向量都是单位向量，即长度为1

4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离

5、把给定向量组标准正交化

步骤：1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化

2）正交化（施密特正交化方法）

6、证明有关正交矩阵的命题

该方法多用于抽象矩阵的证明。

2）n阶方阵A是正交阵A的n个行向量（或列向量）构成Rn的一组标准正交基

A的行（列）向量都是单位向量且两两正交

该方法多用于给出具体数值的矩阵。

第五章 特征值与特征向量

1、理解：特征值与特征向量的概念及其基本性质。

相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。

2、掌握：计算特征值与特征向量的方法。

1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质

注意：①若λ是A的特征值，则│λI-A│＝0，因此λI-A是不可逆矩阵

②若λ不是A的特征值，则│λI-A│≠0，因此λI-A是可逆矩阵

③特别地，0是A的特征值│A│＝0A不可逆

④Ax＝0的基础解系就是λ＝0的线性无关的特征向量

①若x1，x2都是特征值λi所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1+k2x2（非零）仍是属于λi的特征向量。λi的特征向量不
是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。

②不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。

③特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。

2、相似矩阵的概念及性质

==>│λI-A│＝│λI-B│，从而A、B有相同的特征值

==>│A│＝│B│，从而A、B同时可逆或不可逆

3、矩阵可相似对角化的充要条件

A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量

A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数

3）A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值

1）实对称阵必可对角化

①特征值全是实数，特征向量都是实向量

②不同特征值的特征向量互相正交

③k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有r(λI-A)＝n-k

1、特征值与特征向量的求法

由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。

①从特征方程│λI-A│＝0求出特征值λi（应有n个，含重根）

②解齐次方程组(λI-A)x＝0，其基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量。

2、判断A是否可对角化

1）方法一：n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量

方法二：对n阶方阵A的任一特征值λi（设为ki重根），有n-r(λiI-A)= ki

2）化A为对角阵的步骤

①先求出A的特征值λ1,λ2,…,λn

②再求所对应的线性无关的特征向量x1,x2,…,xn

3、利用特征值与相似矩阵求行列式

1）│A│＝λ1λ2…λn 其中：λ1,λ2,…,λn为A的n个特征值

2）若A～B，则│A│＝│B│

4、利用相似对角化求An

若A～∧，即存在可逆阵P，使得P－1AP＝∧，则

其中：∧是A的相似标准型

5、有关特征值与特征向量的证明

1、理解：二次型的概念，二次型同对称阵的关系，矩阵合同的概念，标准型与规范标准型的概念，正定二次型与正定矩阵的概念。

2、掌握：从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。

合同与讹传西变量变换之间的关系。

正定二次型、正定阵的判断。

3、应用：正交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型，从标准型求规范标准型。

1、二次型的概念及其标准型

二次型的矩阵是唯一的，由二次型应能立即写出其二次型矩阵，反之，给出实对称矩阵要能构造出二次型。

③正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。

二次型的正、负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。

2、合同矩阵与正定矩阵

实对称阵A≌B二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。

2）正定二次型与正定矩阵

A与I合同，即有可逆阵D使A＝DTD

A的顺序主子式全大于零

正定的必要条件：aii>0，（i=1,2,…,n）；│A│>0可帮助排除非正定的二次型。

3）注意：若A为正定矩阵，则kA（k>0），AT，A－1，A*也是正定矩阵。

若A为正定矩阵，则有│A│>0，从而A可逆。

若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素aii>0，（i=1,2,…,n）。

1、有关二次型基本概念的命题

①必须先正确写出二次型矩阵，二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数，aij=aji为xixj系数的一半；

②求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量；

③将重特征根的特征向量正交化，再将所得特征向量单位化，以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q；

④作变换X＝QY，即可将二次型化为标准型。

注意：①用正交变换化标准型时，平方项系数是特征值，且是唯一的。

②由配方法所得的标准型是不唯一的。

③不论用那种方法，正、负惯性指数是一致的。

3）顺序主子式全大于零

2）正定是对实对称阵而言，证明A是正定矩阵时，要验证AT＝A。

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