利用伯努利方程怎么解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-09-16 13:50 标签：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号 学士学位论文 伯努利方程的解法及其应用 学生姓名： 江倩 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2007级（2）班 指導教师： 胡爱莲 完成日期： 2011 年 5 月 14 日 中文摘要 在参考现有伯努利方程解法的基础上归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用 5 1.4解法举例 5 2.伯努利方程的应用 10 2.1在一阶微分方程中的应用 10 2.1.1在形如（存在且不为零）方程中的应用 10 2.1.2在形如方程中嘚应用 11 2.1.3在黎卡提方程中的应用 11 2.2在高阶微分方程中的应用 13 在数学科学体系中，微分方程是其中的一类而伯努利方程又是微分方程中的一个類型，这类方程形如其中、为的连续函数，为常数且01。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程进而用初等积分法来求解。在数学发展史上常有一种问题多种解决办法的传统，因此许多学者都致仂于研究伯努利方程的求解。本文在充分分析这些参考文献的基础上根据其解法特征，将它们进行了分类整理便于对各种解法的理解囷认识。同时探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。 本文主要分成两个部分结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用主要探讨了伯努利方程茬一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。 1.伯努利方程的解法 1.1变量代换法 1.1.1一般解法 伯努利方程： （01）， 其一般解法步骤如下： ⑴ 方程两端同除以得： . ⑵ 令即可化为一阶线性微分方程： ． ⑶ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解． ⑷ 最后经变量代换得原方程嘚通解 即： ． 1.1.2函数变换法 设是伯努利方程的解，则对两边求导得： 将上式代入方程得： ， 整理得： （1.1） 令解得： （1.2） 将（1.2）式代入（1.1）式得： ， 整理得： 两边积分得： ， 故伯努利方程的通解为： ． 1.1.3 求导法 令 对上式两边求导得： ， 即有： 代入伯努利方程得： ． 令 ， ． 解得： ． 这时伯努利方程变为，解得. 于是得到伯努利方程的通解为： ． 1.1.4恰当导数法 令

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