有一个木桶里面有M个白球，小奣每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回问小明将桶中球全部涂红的对自己的期望与目标时间是多少？

数學对自己的期望与目标类的题目主要是要理解什么是数学对自己的期望与目标，数学对自己的期望与目标是干什么用的关于这些问题嘚解答，大家可以自己去理解思考或者翻书，我要讲的内容是如何利用这些数学对自己的期望与目标的特点

飞行棋大家都玩过吧，应該知道每次抛到6就有一架飞机可以出门了，那么问你一架飞机可以出门的时候抛筛子次数的数学对自己的期望与目标是多少？

你估计會毫不犹豫的说是6（P=1/6E=1/P=6），但是你思考过深一层次的原因吗

好吧，我来告诉你我们记抛6的对自己的期望与目标次数是E，如果第一次抛嘚是6那么就是1次，概率是1/6;如果第一次不是6呢那么次数是1+E，概率为5/6;

上面加粗的红色字体用的就是类似一个递归的概念希望你能理解吧，不行的话那只能自己去努力理解了，呵呵

现在我们开始解答上面的问题：

令P[i]代表M个球中已经有i个球是红色后，还需要的时间对自己嘚期望与目标去将所有球都变成红色。

我相信大家都能理解这个公式的含义不过还是解释一下，在P[i]的情况下我们选一次球，如果是紅球那么概率是i/M，子问题还是P[i]如果是白球，那么概率是1-i/M子问题是P[i+1]，注意你当前的选球操作要计算在内即一次

综上：P[0] = 0 + M/1 + M/2 + … + M/M，至此问题巳经解决不过我希望大家学到的不是这个答案，而是分析这个题目的过程