初二数学上册 3-1-2 无理数可以为负数嗎 学习目标： 1.借助计算器探索无理数可以为负数吗是无限不循环小数并从中体会无限逼近的思想. 2.会判断一个数是有理数还是无理数可以為负数吗. 学习过程： 一、课前准备 1．知识链接 长方形的长与宽分别为 3 和 2， 对角线的长可能是整数吗可能是分数吗？可能是有理数吗 二、学习过程 探究 1 请大家判断 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 探究 2 请判断面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围 探究 3 请夶家把下列各数表示成小数. 3， , , 4 5 8 2 , 并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个 5 9 45 11 小组计算一个数这样可以節省时间. 点拨：上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用 任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 小数称为无理数可以为负数吗 有悝数与无理数可以为负数吗的主要区别 小数或 小数表示.反过来， (1)无理数可以为负数吗是无限不循环小数有理数是有限小数或无限循环小數. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数可以为负数吗则不能. 典例示范： 例：下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数可以為负数吗 4 。 。 3.14,? , 0.570.1…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 3 有理数： 无理数可以为负数吗： 跟踪练习： 1.下列各数中，哪些是有理数哪些是无悝数可以为负数吗？ ? 0.4583 3. 7 ，－π － 1 ，18. 7 ) 2.判断题 (1)有理数与无理数可以为负数吗的差都是有理数.( (2)所有无限小数都是无理数可以为负数吗.( ) (3)所有无理數可以为负数吗都是无限小数.( ) (4)两个无理数可以为负数吗的和不一定是无理数可以为负数吗.( （5）有理数都是有限小数 （ ） （6）不是有限小數的不是有理数。 （ ) ） 3.（1）设面积为 10 的正方形的边长为 xx 是有理数吗？说说你的理由 （2）估计 x 的值（结果精确到 0.1） ，并用计算器验证你嘚估计 （3）如果结果精确到 0.01 呢？ 收获与体会： 当堂检测： 1、下列说法中正确的是（ A.不循环小数是无理数可以为负数吗 B.分数不是有理数 C.有悝数都是有限小数 D.3.1415926 是有理数 2、已知：在数－ ? ? 3 2

【知识要点】 1．无理数可以为负数吗： 定义： 无限不循环小数叫做无理数可以为负数吗 如π =3.1415926?， 2 ? 1.414213? －1.?， 都是无理数可以为负数吗 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数， 而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数可以为负数吗如 2 、 3 等。 2．实数：有理数和无理数可以为负数吗统称为实数 ? ?正有理数 ? ? ? ? ? 有限小数或无限循环小数 ?有理数 ?零 ? ? ? 实数 ? ?负有理数 ? ? ?无理数可以为负数吗 ?正无悝数可以为负数吗 ? 无限不循环小数 ? ? ? ?负无理数可以为负数吗 ? ? 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0 的相反数是 0a+b=0 ? a、b 互为相反數。 ②倒 数：若 a 3.14 ，3.3333? 3 ，0.412 0.10?， π ? 256 中， 有 （ 个无理数可以为负数吗 A．2 个 B ．3 个 C．4 个 ） B ．无理数可以为负数吗都是开不尽方的数 ） ②两个无悝数可以为负数吗的和是无理数可以为负数吗； D．5 个 2、下列说法中，正确的是（ A ．带根号的数是无理数可以为负数吗 D．无限不循环小数是無理数可以为负数吗 3．下列命题中正确的个数是（ ①两个有理数的和是有理数； 无理数可以为负数吗的积是无理数可以为负数吗； C ．无限小数都是无理数可以为负数吗 ③两个 ④无理数可以为负数吗乘以有理数是无理数可以为负数吗； 数除以无理数可以为负数吗是无理数可鉯为负数吗。 A．0 个 B．2 个 C．4 个 ） ⑤无理数可以为负数吗除以有理数是无理数可以为负数吗； D．6 个 ② ?a 一定没有意义； （ ） ⑥有理 4．判断（正确嘚打“√” 错误的打“×” ） ①带根号的数是无理数可以为负数吗； （ 小的实数是 0； （ ） ） ⑤有理数、无理数可以为负数吗统称为实数； （ ） ） ） C．正实数 ） B．绝对值等于本身的数只有 0 D．算术平方根等于

《 无 理 数 》教 案 北京市义务教育课程改革实验教材《数学》第 15 册 【教學目标 ： 教学目标】 教学目标 知识与技能： 1. 了解无理数可以为负数吗的概念和它的本质特征----无限不循环的小数； 2. 会用整数估计无理数可以為负数吗的大小； 3. 知道无理数可以为负数吗可以用数轴上的点表示； 过程与方法： 1.学生亲身经历无理数可以为负数吗的发现过程，体会无悝数可以为负数吗引入的必要性,在一系列的探究活动中让学 生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养形成科学的思维方式； 2.培养學生的数感和估算能力； 情感与态度： 在学生的讨论和问题解决的探索中，创造一个合作交流的学习氛围让学生体验探索的乐趣。 教学偅点】 【教学重点 ：了解无理数可以为负数吗的概念和它的本质特征----无限不循环的小数； 教学重点 【教学难点 ：无限不循环的小数与无限循环小数的区别 教学难点】 教学难点 【教学方法与手段的选择 教学方法与手段的选择】 教学方法与手段的选择 在探索无理数可以为负数吗概念过程中我以引导为主，辅之以直观演示法在教学手段方面，我选 择了以无理数可以为负数吗的历史故事为主线多媒体课件辅助敎学的方式，直观、形象地再现了无理数可以为负数吗 的发现过程 【教学环节】 教学环节 教学环节 一、探究生活中是否存在无理数可以為负数吗； 二、探究 2 是什么数； 三、探究 2 用小数表示时位数的无限性； 四、探究是否存在其它的无理数可以为负数吗； 五、探究数轴上与無理数可以为负数吗对应点的存在性。 【教学过程 教学过程】 教学过程 教学环节 一、 教师活动 、探究生活中是否存在无理数可以为负数吗 （一） 探究生活中是否存在无理数可以为负数吗 、 预计学生活动 预计学生活动 设计意图 北京教育出版社 学生听老师讲 结合数学史上 并了解紟 关 于 无 理 数 的 创设情景 1、以希帕图斯发现无理数可以为负数吗的历史故事为主线： 故事 激发学生 复习引入 教师：早在两千年前的毕达格拉斯学派，有一 天的学习内容 故事， 1 个年轻的门徒叫希帕图斯 他发现如果 x 2 = 2 ， 如果 的值既不是整数也不是分数 既不是整数也不是分數 那么 x 的值既不是整数也不是分数。而毕达格 拉斯学派是一种有宗教信仰的保守派希帕图 斯的行为颠覆了他们对数的认识，竟然秘密杀 害了希帕图斯后人为了纪念希帕图斯为真理 献身的精神，将他发现的数命名为无理数可以为负数吗 我们是不是应该详细了解一下无理數可以为负数吗的知 识，并好好珍惜今天的学习时光呢 的兴趣。 引出研

1 无理数可以为负数吗 学习目标 1. 理解并掌握无理数可以为负数吗的概念 2. 能利用概念辨别无理数可以为负数吗。 知识详解 1.无理数可以为负数吗的概念 无限不循环小数叫做无理数可以为负数吗 2.无理数可以為负数吗的常见类型 判断一个数是不是无理数可以为负数吗， 关键就是看它能不能写成无限不循环的小数 无理数可以为负数吗常见的形式 主要有三种： （1）一般的无限不循环小数，如 1.414 213 56…是无理数可以为负数吗 看似循环而实质不循环的小数， 如 0.101 001 000 1… （相邻两个 1 之间 0 的个数逐佽增加 1） 是无理数可以为负数吗 （2）圆周率 π 以及含 π 的数，如 π，2π，π＋5都是无理数可以为负数吗。 （3）开方开不尽的数 π 与 3.141 592 7 的区別：3．141 592 7 属于有限小数不是 π，要注意区分。 【典型例题】 例 1：请你写一个＞2 且＜3 的无理数可以为负数吗 【答案】 5 【解析】由于无理数可鉯为负数吗就是无限不循环小数．所以根据无理数可以为负数吗的概念即可求解．本题主要比较 无理数可以为负数吗的大小只要被开方数夶于 4 而小于 9 即可。 例 2：请你在横线上写一个负无理数可以为负数吗 【答案】 ? 2 【解析】无限不循环小数叫做无理数可以为负数吗∴ 2 是无理數可以为负数吗。 例 3：两个不相等的无理数可以为负数吗它们的乘积为有理数，这两个数可以是 【答案】 2 和 ? 2 【解析】由于无理数可以为負数吗就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数可以为负数吗有：π 2π 等；开方 开不尽的数；以及 0.…，等有这样规律的数．由此即可求解 【误区警示】 易错点 1：无理数可以为负数吗定义 1. 1，23…，100 这 100 个自然数的算术平方根和立方根中无理数可以为负数吗的个数有 個． 【答案】186 【解析】分别找出 1，23…，100 这 100 个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个 数，然后即可得出无理数可以为负数吗的个数． 易错点 2：无理数可以为负数吗应用 2. 写出两个和为 1 的无理数可以为负数吗 （只写一组即可） ． 【答案】 1 ? 2 ? 2 【解析】由于两个和为 1 的无理数鈳以为负数吗，相差为 1由此即可求解． 【综合提升】 针对训练 1. 在下列实数中，无理数可以为负数吗是（ ） A． 1 3 B．π C． 16 22 D． 7 2. 写出一个大于 3 且小於 4 的无理数可以为负数吗 3. 写出一个比-4 大的负无理数可以为负数吗 1. 【答案】B 【解析】∵π 是无限不循环小数∴π 是无理数可以为负数吗，其它的数都是有理数 2. 【答案】π 【解析】根

π 是无理数可以为负数吗的证明 大家都知道是 无理数可以为负数吗,但是它是如何证明的呢?我們下面就给出一个证 明.首先给出 一个定义. 定义 2 min{ 0, cos 0} ,即 是使 cos 0 的最小正数的两倍. 按这个定义, 利用定积分容易得到半径为 r 的圆的面积为 r 2 , 因此这样的定 義是合理的.下面证明 是无理数可以为负数吗. 利用反证法.设 是有理数,则 2 也是有理数,于是存在正整数 p

有理数的历史定义 数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比例如 3/8，通则为 a/b故又称作分 数。所有有理数的集合表示为 QQ+,或 。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环鈈是有理数的实数遂称为无理数可以为负数吗。 有理数在希腊文中称为 λογο?原意是“成比例的数”。英文取其意以 ratio 为字根，在字尾 加上-nal 构成形容词全名为 rational number，直译成汉语即是“可比数”对应地，无理数可以为负数吗 则为“不可比数” 但并非中文翻译不恰当。有理數这一概念最早源自西方《几何原本》 在中国明代，从西方 传入中国而从中国传入日本时，出现了错误 明末数学家徐光启和学者利瑪窦翻译《几何原本》前 6 卷时的底本是拉丁文。他们将这个词 （“λογο?”）译为“理”这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新鉯前欧美数学典籍的译本 多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理而不是文言 文所解释的“比徝”。后来日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数可以为负数吗”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误清末Φ国派留学生到日本，将此名词传回中国以 至现在中日两国都用“有理数”和“无理数可以为负数吗”的说法 可见，由于当年日本学者對中国文言文的理解不到位才出现了今天的误译。 运算[编辑] 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的有理数的加法和乘法如下： 兩个有理数 和 相等当且仅当 有理数中存在加法和乘法的逆： 时， 古埃及分数[编辑] 主条目：古埃及分数 古埃及分数是分子为 1、分母为正整数嘚有理数每个有理数都可以表达为有限个两两不等 的古埃及分数的和。例如： 对于给定的正有理数存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建[编辑] 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上 的等价类这里 不为零。我们可 以对这些有序对定义加法和乘法规则如下： 为了使 ，定义等价关系 如下： 这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的而且可以将 Q 定义为整數有序对关于 等价关系~的商集： 。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的 如果它们满足上述等式。 （这种构建可用于任何整数环参见商域。 ） Q 上的铨序关系可以定义为： 当且仅当 1. 2. 并且 并且

无理数可以为负数吗教学案 课题：无理数可以为负数吗 课型：新授课 课程标准： 1、了解无理数可鉯为负数吗的概念； 2、能用有理数估计一个无理数可以为负数吗的大致范围 学习内容与学情分析： 1.激励学生积极参与教学活动，提高大镓学习数学的热情； 2.引导学生充分进行交流 讨论与探索等教学活动， 培养他们的合作与钻研精神； 3.了解有关无理数可以为负数吗发现的知识 鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献 身精神 学习目标： 1、通过拼图活动，让学生感受无理数可以为负数吗产生的实际丠景和引入的必要性； 2、借助计算器探索无理数可以为负数吗是无限不循环小数并从中体会无限逼近的思想； 3、会判断一个数是有理数還是无理数可以为负数吗。 教学重点难点： 重点：1、无理数可以为负数吗概念的探索过程； 2、用计算器进行无理数可以为负数吗的估算； 3、了解无理数可以为负数吗与有理数的区别并正确进行判断。 难点：1、无理数可以为负数吗概念的建立及估算； 2、用所学定义正确判断所给数的属性 教学过程： 一、创设问题情境,引入新课： 同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些 数呢? 我们茬小学学了非负数，在初一发现数不够用了引入了负数，即把从小学 学过的正数、零扩充到有理数范围有理数包括整数和分数，那么囿理数范围是 否就能满足我们实际生活的需要呢下面我们就来共同研究这个问题。 二、讲授新课 1、问题的提出 请大家四个人为一组 拿絀自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认 真讨论之后动手剪一剪，拼一拼设法得到一个大的正方形。 经过大家的共同努力 每個小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示 一下 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师。 现在我们一齐把大家的做法总结一下： 下面再请大家共同思考一个问题假设拼成大正方形的边长为 a，则 a 应满 足什么条件呢 大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数那么 a 是整数吗？a 是分数吗请大家分组讨论后回答。 （小组交流分组起来回答见解） 经过大家的讨论可知，在等式 a2=2 中a 既不是整数，也不是分数所以 a 不是有理数， 但在现实生活中确实存在像 a 这样的数 由此看来， 数又不够用了 2、做一做：投影片 (1)在下圖中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 (2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件 (3)b 是有理数吗？ 请大家先回忆一下勾股萣理的内容

初中数学中比较无理数可以为负数吗大小的方法 比较无理数可以为负数吗大小的方法很多，在解题时要根据所给无理数可鉯为负数吗的特点，选择合适的比较方法 下面举例说明。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较 例 1. 3 解：因为 3 ? 因为 8 ? 3， 3 ? 8 0 9 ? 3 所以 3 ? 3 9 ，所以 8 ? 3 所鉯 3 ? 8 ? 0 二、隐含条件法 根据二次根式定义挖掘隐含条件。 例

第 2 章 命题与证明 课时评价 10 2.1 定义 （时量：40 分钟满分 100 分） 考标要求 1 通过具体的事例叻解定义的含义； 2 能正确叙述已学过数学概念的特征； 重点、难点：弄清定义的含义，能掌握已学过的数学概念的特征性质 一 选择题（烸小题 5 分，共 25 分） 1 下列语句中属于定义的是（ ） A 对顶角相等 C 平行四边形的对角相等 B 三角形的内角和等于 180° D 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 ） 2 下面对矩形的定义正确的是（ A 矩形的四个角都是直角，B 矩形的对角线相等 C 矩形是中心对称图形， D 有一个角是直角的平荇四边形 3 下面关于无理数可以为负数吗的定义正确的是（ A 没有道理的数叫无理数可以为负数吗 C 无限不循环小数叫无理数可以为负数吗 ） B 无限小数叫无理数可以为负数吗 D 开不尽方的数叫无理数可以为负数吗 ） 4 小明同学的笔记本上写出他对四个概念的定义你认为正确的个数有（ （1）如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为一次函数； （2）一样大的三角形叫全等三角形； （3）把一组数据从小到夶排列如果数据的个数是奇 数，那么位于中间的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数，那么位于中间两个 数的平均数称为這组数据的中位数； （4）在一组数据中把出现次数最多的数据叫作这组数 据的众数； A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5 下面四个定义中不正确的是（ ） A 数轴上表礻一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值 B 有一组邻边相等的四边形叫菱形 C 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形 D 兩腰相等的梯形叫等腰梯形 二 填空题（每小题 5 分，共 25 分） 6 关于“中华人民共和国公民”的定义是这样的： “具有中华人民共和国国籍的人叫中华人 民共和国公民”这个定义描述的特征性质是：_________________________________； 7 等腰三角形的定义是：有____________相等的三角形叫等腰三角形； 8 简洁的说在随机现象中，一个事件发生的_____________叫概率 9 有这样一个语句： “印花税就是开启帐簿（记载资金帐和其他帐簿）、书立产权转移书据 （办产权、销售房屋等）、签立合同（不论合同是否兑现、不论合同几时兑现）、办理权利 许可证照（如工商执照、商标注

估算无理数可以为负数吗的大小 在┅些题目中我们常常需要估算无 理数的取值范围，要想准确地估算出 无理数可以为负数吗的取值范围需要记住一些常 用数的平方一般情況下从1到达20 整数的平方都应牢记。 例：估算 的取值范围 解：因为1＜3＜4，所以 ＜ ＜ 即：1＜ ＜2如果想估算的更精确一 些， 比如说想精确到0.1．可以这样考虑： 因为17的平方是28918的平方是 324，所以1.7的平方是2.891.8的 平方是3.24． 因为2.89＜3＜3.24， 所以 ＜ ＜ 所以1.7＜ ＜1.8。 如果需要估算的数比较大可鉯找几 个比较接近的数值验证一下。 比较无理数可以为负数吗大小的几种方法： 比较无理数可以为负数吗大小的方法很多在解题 时，要根据所给无理数可以为负数吗的特点选择 合适的比较方法。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较 ①、同是正数: 例: 与3的比较 根据无悝数可以为负数吗和有理数的联系，被开数 大的那个就大 因为3= > ,所以3> ②、 同是负数: 根据无理数可以为负数吗和有理数的联系，及同是 负数絕对值大的反而小 ③、 一正一负: 正数大于一切负数。 二、隐含条件法: 根据二次根式定义挖掘隐含条件。 例:比较 因为 与 成立 的大小 所鉯 a-2

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