线性代数证明题大全pdf题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-07 11:47 标签： 线性代数证明题大全pdf

线性代数历年考研试题精解 - PAGE 105 - 三、計算题与证明题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组 有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解. 【考点】非齐次线性方程组解的理論的应用. 解 方法一: . (1)当时,方程组有惟一解; (2)当时,方程组无解或无穷多解,此时 . ①当时,,方程组有无穷多解;此时 , 方程组的通解为为任意常数; ②当时,,方程组无解. 综上可得: (1)当时,方程组有惟一解; (2)当时,方程组有无穷多解; (3)当时,方程组无解. 方法二:方程组的系数行列式. (1)当时,方程组有惟一解; (2)以下同方法┅. 【注意】 (1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是: ①方程的个数等于未知数的个数; ②方程组的系数行列式含参数. (2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再討论无解或无穷多解.切记切记. 2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量. 【考点】特征徝的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义. 解 反证法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则 . 因为,所以线性无关,则.矛盾. 【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关. 3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵. 【考点】解矩阵方程. 解 由 . 4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组 【考点】求解非齐次线性方程组. 解 . 由,得方程组有无穷多解.方程组的解,令得方程组的通解 为任意常数. 5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵的实特征值及对应的特征向量. 【考点】求矩阵的特征值及特征向量. 解 ,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为不为零的任意常数. 6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知,其中 , 求及. 【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂. 解 . . 【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式 . 7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵与相似: (1)求与;（2）求一个满足的可逆矩阵. 【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角囮方法. 解 (1)方法一:与相似,则,即 , 比较系数,得 . 方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故 . 【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一. (2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为 . 令可逆矩阵,则. 8.(1988—Ⅳ) 设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求. 【考点】矩阵运算的性质. 解 ,所以 . 或 ,则 . 【注意】求解此类问题,┅般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质: ; 9.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设向量组线性无关,且 讨论向量组的线性相关性. 【考点】向量組的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设,即 . 因为线性无关,则,其系数行列式 . (1)当为奇数,,方程组只有零解,则向量组线性无关; (2)当为偶数,,方程组有非零解,则向量组线性相关. 方法二:显然 , 因为线性无关,则 (1)为奇数时,,则向量组线性无关; (2)为偶数时,,则向量组线性相关. 【注意】 (1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便. (2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩. 10.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设线性方程组为,问与各取何值時,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一:(一般情形) . (1)当时,方程组有惟一解; (2)當时,,则 ①当时,,方程组无解; ②当时,,方程组有无穷多解,且 , 则通解(一般解)为 为任意常数. * 综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组囿无穷多解,且一般解为*式. 方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式. (1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一. 11. (1988—Ⅴ)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵. 【考点】抽象矩阵是求逆. 解 由可逆,且. 12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组 有解,并求出解的

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