自然数在很早以前就被人们以数數的方式存在着所以，便有了0、1、2、3......的产生物体有了具体的数量后，由于生活所需就需要对它进行更明确的划分。

以100以内的自然数為例用各个自然数分别除以2，通过计算有的孩子给出了如上答案，看到这结果后立即出现反驳声：这个结论说的有点模糊，这里的整数和小数到底指的是谁另一孩子立即给出答案：他想表达的意思是两数相除后得到的商的两种情况。

师：他想要表达什么意思呢

生1：他想表达的是商按照有没有余数来分类。

师：这两种分类标准有什么联系呢

生2:这两种都是根据商的情况来分类的。

生3：第一种有些商雖然是小数但是它和余数的道理是相同的。我觉得自然数可以分成两类：有余数的和没有余数的

生4：老师，我还发现凡是单数除以2后嘟有余数双数除以2都没有余数。

师：他说的单数和双数是什么意思谁来解释？

生1：单数就是个位数字是1、3、5、7、9的数双数是指个位數字是2、4、6、8的数。

师：对单数和双数是我们在低年级认识自然数时的说法，在这里它还有另外一个新的名字单数也叫质数，双数叫耦数

生2:老师，我明白了能被2整除的数就是偶数，不能被2整除的数就是奇数对吧？

师：说的太好了！确实是这样的这样分类有没有莋到不重不漏呢？

生1：好像把0漏掉了

师：那0到底是奇数，还是偶数呢

生2：凭直觉，我觉得它应该是偶数吧但是说不出原因。

生3：老師我知道，因为0÷2=0这说明0能被2整除，所以它就是偶数

师：我们刚刚举的都是特例，能不能用用一个代数式来表示奇数和偶数的普遍性呢

生1：我觉得应该用n来表示。

生2：我反对n可以代表任何数，如果它是2就表示偶数，但如果它是3就不能表示偶数了。

生3：是不是偠用2n来表示因为偶数是能被2整除的数，2和任何一个数相乘都能得到2三十是四的倍数吗。

生4：因为n×2=2n根据乘除互逆2n÷2=n，所以我觉得用2n表示是正确的

师：对，奇数怎么表示呢

生2：不对，如果n表示1的话n+1=2，这个代数式就表示一个偶数

生3:2n+1，因为2n表示的是一个偶数2n+1一定昰一个奇数。

生4：因为相邻两个自然数相差为1只要比偶数多1就是奇数。

生5：这样的话我觉得还可以用2n-1表示。

生6：我不同意这种说法洳果n表示0，那么2n-1就等于-1它就不是自然数了。

师：这只是一个特例其实这两种方法都可以表示，只不过人们常常习惯了使用2n+1来表示奇数

如果用100以内的自然数依次除以3，该如何划分自然数呢这个同学想要表达什么意思呢？

生1：他想要表达的意思是根据商是否是3三十是四嘚倍数吗为分类依据

生2：可是不能被3整除的有两种情况：余数是1的，和余数是2的

生3：也就是说100以内的自然数被3整除的能分成三种情况：第一种是能被3整除的，第二种是余数是1的第三种是余数是2的。

师：如何用代数式来表示这些分类呢

生1：能整除的用3n表示，因为无论n為任何自然数都是3三十是四的倍数吗

生2：余数是1的可以用3n+1表示，余数是2的用3n+2表示.

师：说的太好了！被4整除的呢他想要表达什么？

生1：怹说被4除后余数有四种情况：余数分别是0、1、2和3并且下一组数也是按照这个规律排列的。

生2：我明白了他的分类依据是按照没有余数、余数是1、余数是2和余数是3这四类来划分的。

师：用代数式如何表示

生3：没有余数的用4n表示，余数是1的用4n+1表示余数是2的用4n+2表示，余数昰3的用4n+3表示

师：大家有没有发现一个规律？

生：我知道了被2整除的数可以把自然数分成两类，被3整除的数可以把自然数分成三类被4整除的数可以把自然数分成四类......也就是说，自然数是几就能把它分成几种情况。

师：既然有这么多种分法那么我们到底按照哪种分类標准最合适呢？

生1：觉得哪一种都可以但是又觉得太多，太麻烦

生2：我觉得应该是按照整除2的为标准吧，因为这样的话只用分成两种也就是奇数和偶数两种就行，多了麻烦还需要多个命名，不好记

师：看来今天的讨论太有价值了。

就这样通过一番烧脑，把100以内嘚自然数清晰分类

二.2、3、5倍数特点

  在百数表中，把100以内自然数中的奇数和偶数分别表示如上图（蓝色为奇数红色是偶数）。怎样才能赽速判断出来呢因为有了上一节课对奇、偶数的命名，孩子们很快就找到答案：个位数字是0、2、4、6、8的数是偶数个位数字是1、3、5、7、9嘚数字是奇数。

  师：如果任意给你一个数能能否一眼看出它是否是偶数？

生1：如果一个个的除太麻烦了，我只要看个位数字就可以了

生2：个位数字是0、2、4、6、8的数肯定是偶数。

师：最小的偶数和最大的偶数分别是多少呢

生1：最小的偶数是2，最大的偶数好像没有

生2：我不同意他的说法，他把0给丢了0才是最小的偶数。

师：最小的奇数和最大的奇数分别是多少呢

生：最小的奇数是1，最大的奇数不存茬因为自然数的个数是无限的。

师：假设a代表十位数字b代表个位数字，你如何用位值制的方法表示出来一个两位数呢

生2：如果a代表2，b代表3那么a+b=5，这个5是一个一位数不符合条件。

生3：对我感觉十位数字应该是这个数字的10倍，所以这个数应该表示为10a+b

师：他要表达什麼意思呢

生：10a表示a的10倍，也就是a个十b表示b个一。

师：在这里如何限制a和b才能让这个代数式符合偶数的条件呢？

生：十位上的a无论为哬数10a都是偶数，个位上的b只要是0、2、4、6、8就能符合偶数的条件

师：能被5整除的数有什么特点呢？

生1：我发现凡是几十和几十五的数字嘟能被5整除

生2：老师，他说的太模糊了我发现只要个位数字是0，或5的数都能被5整除

师：对，数学除了不引起别人的误会外还要追求简洁美，更要有数学家的语言那么谁能用位值制的方法来表示符合条件的代数式呢？

生：10a+b其中个位数字b为0或5,就能被5整除。

生1：个位數字是3的数字都能被3整除

生2:不对，13、23和43就不能被3整除

生3：个位数字是6和9的能被3整除。

生4:不对吧26、46和56都不能被3整除。

师：你们除了一個一个数去除外真的没有发现其他规律吗？

生6：老师我发现3这一斜列中，每相邻两个数相差96这一斜列中，每相邻两个数相差9,9这一斜列中每相邻两个数也相差9......

师：在百数表中，我们找到了这个规律但是你怎么样才能快速找出来呢？

生1：我发现每个两位数的两个数字加起来的和都能除以3

生2：任意一个数只要是把它所有的数字相加是3三十是四的倍数吗就行了。

师：对一个数各位上的数的和是3三十是㈣的倍数吗，这个数就是3三十是四的倍数吗一定要有数学家的语言哦！大家课下也可以研究一下下面这种分析方法。

三、奇、偶数的四則运算

前边已经探索过奇数和偶数凡是数都可以参加四则运算，那么奇偶数加减乘除后会得到什么结果呢？（数字例子只能是一种特唎而代数式则具有普遍性，所以下面代数式中m和n均为自然数）

奇数加奇数：（2n+1）+（2m+1）=2m+2n+2=2(m+n+1)m+n+1无论是何数，它的2倍都是一个偶数所以奇数+奇數=偶数。

奇数减奇数：（2m+1）-（2n+1）=2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数它的2倍都是一个偶数，所以奇数-奇数=偶数

奇数除以奇数：（2m+1）÷（2n+1）显然代数式是无法分解的，可以利用假设法假设它的商是偶数，从上例中已知奇数×奇数=奇数显然这个假设不成立；假设它的商是奇数，奇数×奇数=奇数符合条件，所以奇数÷奇数=奇数

偶数加偶数：2n+2m=2（m+n），显然这个数是偶数所以偶数+偶数=偶数。

偶数减偶数：2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数它的2倍都是┅个偶数，所以偶数-偶数=偶数

偶数乘偶数：2m×2n=4mn，它也是偶数所以偶数×偶数=偶数。

偶数除以偶数：2m÷2n=m÷n=m/n这个结果可以是奇数，也可鉯是偶数所以偶数÷偶数既可以是奇数，也可以是偶数。

奇数乘偶数：（2m+1）×2n=4mn+2n=2n（m+1），显然2n（m+1）是偶数，所以奇数×偶数=偶数

奇数除鉯偶数：（2m+1）÷2n，奇数÷偶数不可能是整数，所以它的结果可能是分数，或小数。

四、如何快速判断是质数还是合数

按照是否是2三十是四嘚倍数吗可以把自然数分为奇数和偶数，除了这一种分类标准外还有没有其它的分类标准呢？比如把1~30之内的所有自然数分解成尽可能多的整数相乘的形式，如下图所示：

生：都是可以利用乘法口诀或通过口算分成两个数相乘的形式。

师：暂不说他分的所有算式都是囸确的没有漏掉的，单说分出来的算式你有发现吗？

生：有的算式能分成多个数相乘而有的只能分成两个数相乘

师：那这能不能算昰对自然数另一种分类了呢？

师：它的分类标准是什么呢

（对于这种分类他们只能意会，不能言谈后来宋老师由算式2×3=6为例，引导学苼认识到在乘法算式中6是2和3三十是四的倍数吗，2和3是6的因数也就是说积是乘数三十是四的倍数吗，乘数是积的因数此时学生才以因數的多少为分类依据。）

师：以这个分类为依据到底可以分为哪两类呢？

生1：有两个因数的为一类三个因数的为一类，四个因数的为┅类......不行这样分类还是比较模糊。

生2：我认为应该把只有1和它本身两个因数的分一类把因数比较多的分一类。

师：说的非常好我们通常把只有1和它本身再没有其它因数的数称为质数，除了1和它本身还有其它因数的数称为合数那么我们有没有做到不重不漏呢？

师：0到底是质数还是合数呢

生：0可以变成任何数和0相乘，但是又感觉它有点奇怪

师：对，为了方便在研究因数和倍数的时候，我们所说的數是自然数一般不包括0，所以我们暂时不研究它还有吗？

生：还有1,1和任何数相乘仍得它本身这个数也比较特殊，但是我不知道它到底是质数还是合数

师：1确实很特殊，它既不是质数也不是合数那么一个数肯定是1三十是四的倍数吗，1是所有数的因数这句话对吗？

師：所有的奇数只有1和它本身两个因数吗

生1：是的，比如3=1×3它的因数只有1和3

生2：不对，9也是奇数但是9的因数除了1和9外，还有3

师：那我们现在又把自然数怎么分类了？

生：分成了1、质数和合数

五.学习235倍数特点与判断质数合数有什么关系

师：怎样才能快速识别100以内的質数呢？

生1：老师我觉得应该先把偶数找出来，因为能被2整除的数字有很多剩下的数就容易找了。

生2：还可以通过找个位数字是0和5的方法把5三十是四的倍数吗找出来

生3：对再找3三十是四的倍数吗。

师：这样就可以全部找完了吗

生1：不对，77和91应该还有其它的因数

生2：77嘚因数除了1和77外还有7和11

师：大家有没有发现这两个数都与哪一个数有关系呢？

师：是的那么剩下的数全部都是质数吗？

师：为什么我們只研究2、3、5和7三十是四的倍数吗问题而不去研究其它的数，难道其它数没有规律吗

生1：老师，我还发现11也有规律它和任何数相乘嘚积，百位和个位上的数字相加的和都等于十位上的数字比如，11×2=22百位上的0和个位上的2之和等于十位上的数字2；11×23=253，百位上的2和个位仩的3之和等于十位上的数字5......我举了很多这样的例子都符合这个规律。

师：你的发现很重要这个规律也很神奇。希望大家能在课下继续探索一些其它数的规律

  自然数的分类到此暂告一段落，其实这里面还蕴藏着很多奥秘，需要不断挖掘这段时间他们的探索正浓，希朢能挖掘出更多更有价值的东西