本章先讨论常数项级数介绍证奣arctanx的无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题。——高等数学同济版

??本節主要介绍了常数项级数的概念和性质

3.判定下列级数的收敛性：

n→∞lim?un?=n→∞lim?(31?)n1?=1，不满足级数收敛的必要条件故该级数发散。（這道题主要利用了收敛级数的必要条件求解）

4.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性：

$\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}0{}^{}$

${}_{}{}_{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$$$n>N时，对任何正整数$$

${}_{}{}_{}\frac{}{}\frac{}{}$这道题主要利用了奇偶两种情况讨论求解）

$\begin{array}{cc}{}_{}{}_{}& \frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\\ & \frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\underset{}{\underset{}{\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}}}\frac{}{}\end{array}$

${}_{}{}_{}{0}_{}$这道题利用叻收敛级数的定义求解）

??本节主要介绍了常数项级数的审敛法的求解

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性：

??本节主要介绍了幂級数的相关计算。

2.利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数：

解??不难求出此级数的收敛半径为$$

${\underset{}{\overset{}{}}\frac{{}^{}}{}}^{}\underset{}{\overset{}{}}{\frac{{}^{}}{}}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{{}^{}}{{}^{}}$

$\begin{array}{cc}\underset{}{\overset{}{}}\frac{{}^{}}{}& 0_{}^{}\frac{{}^{}}{{}^{}}\\ & 0_{}^{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\\ & \frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\end{array}$x=±1处发散，故它的和函数

$\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$这道題主要利用了逐项求导求解）

??本节主要介绍了函数在某区间的幂级数展开（部分函数展开式见附录一，）

2.将下列函数展开成的幂级數并求展开式成立的区间：

0

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}{}^{}$

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}{\frac{}{}}^{}$这道题主要利用了常用幂级数展开求解）

0

$\begin{array}{cc}{0}_{}^{}\frac{\sqrt{{}^{}}}{}& \sqrt{{}^{}}\\ & \frac{}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}{}^{}\frac{}{}{}^{}\end{array}$(?1,1)内将上式两端对$$

$\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{{}^{}}}{}& \frac{}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}{}^{}\frac{}{}{}^{}\\ & \underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{}{}^{}\\ & \underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{{}^{}}{\frac{}{}}^{}\end{array}$x=±1处上式右端的级数均收斂且函数$\frac{\sqrt{{}^{}}}{}$

$\frac{\sqrt{{}^{}}}{}\underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{{}^{}}{\frac{}{}}^{}$这道题主要利用了代换的方法求解）

$\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{{}^{}}}{}& \underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{}{}^{}\\ & \underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{{}^{}}{\frac{}{}}^{}\end{array}$这道题主要利用了代换的方法求解）

x?1的幂级数，并求展开式成立的区间：

0

$\sqrt{{}^{}}{\frac{}{}}^{}$$\frac{}{}$

$\begin{array}{cc}\sqrt{{}^{}}& \frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}{}^{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}{}^{}\\ & \frac{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{{}^{}}{}^{}\\ & \frac{}{}\underset{}{\overset{}{}}{}^{}\frac{}{{}^{}}\frac{{}^{}}{}{\frac{}{}}^{}0\end{array}$这道题主要利用了幂级数的直接展开求解）

??本节主要介绍了函数的幂级数展开式的应用（本节考研考纲未明确提絀考察）

??本节主要介绍了级数的一致收敛性。（本节考研考纲未明确提出考察）

从本节开始我们讨论由三角函数组成的函数项级数，即所谓三角级数着重研究如何把函数展开成三角级数。——高等数学同济版

??本节主要傅里叶级数的概念和基本级计算

0 0 0 0

$\begin{array}{cc}{0}_{}& \frac{}{}{}_0^{}{0}_{}^{}\\ & \frac{}{}{}_0^{}{0}_{}^{}\end{array}$$$

$0_{}\frac{}{}{}_0^{}{}_0^{}$

$\begin{array}{cc}{}_{}& \frac{}{}{}_0^{}{0}_{}^{}\\ & \frac{}{}{}_0^{}{0}_{}^{}\\ & \frac{}{}{}_0^{}{}_0^{}\end{array}$

${}_{}\frac{}{}{}_0^{}{}_0^{}$

${}_{}\frac{}{}{}_0^{}{}_0^{}$

${}_{}{}^{}$这道题主要利用了傅里叶级数证明）

??本节主要介绍了一般周期函数的傅里叶级数的计算方法。

n=1∑∞?un?收敛且$\underset{}{}\frac{{}_{}}{{}_{}}$n=1∑∞?vn?是否也收敛？试说明理由

n=1∑∞?vn?不一定收敛。

6.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：

${}_{}{}^{}\frac{}{}\underset{}{}\frac{{}_{}}{\frac{}{}}\underset{}{}\frac{}{}\underset{}{}{\frac{}{}}^{}$n=1∑∞?n1?发散由极限形式的比较審敛法知${}_{}^{}{}_{}$n=1∑∞?∣un?∣发散。 n=1∑∞?un?是交错级数且满足莱布尼兹定理的条件因而收敛，故该级数条件收敛