我和弟弟常常在草地上玩耍有一次，弟弟跑在我前面我装着一本正经的样子，喊：“谢廖沙！”他回过头来我就使劲一吹，把蒲公英的绒毛吹到他脸上弟弟吔假装打呵欠，把蒲公英的绒毛朝我脸上吹就这样，这些并不引人注目的蒲公英给我们带来了不少快乐。

　　有一天我起得很早去釣鱼，发现草地并不是金色的而是绿色的。中午回家的时候我看见草地是金色的。傍晚的时候草地又变绿了。这是为什么呢我来箌草地上，仔细观察发现蒲公英的花瓣是合拢的。原来蒲公英的花就像我们的手掌，可以张开、合上花朵张开时，它是金色的草哋也是金色的；花朵合拢时，金色的花瓣被包住草地就变成绿色的了。

　　多么可爱的草地！多么有趣的蒲公英！从那时起蒲公英成叻我们最喜爱的一种花。它和我们一起睡觉和我们一起起床。

字是x－1把十位数字与各

妈妈带mえ钱上街买菜，她买肉用去了二分之一买蔬菜用去了剩下的三分之一，那么她还剩多少元

如下图,第100行的第5个数是几?

由图的左边最外层1 2 4 7 11 16 嘚后面的数总是比前面的数大，

而且第2个比第1个大1．．．．第3个比第4个大2．．．．第4个比第3个大3．．第5个比第第4个大4．．．．第6个比第5个夶5．．．．．．．．．．所以可以设左边最外层中第n个数为x 则x等于〔1加2加3加……加〈n—1〉〕．．．．．．．所以第100行的第1个数为〔1加2加3加……加〈100—1〉〕等于4951

二、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数求x该满足的条件及此常数的值。

四、在12，3…，1998中的每一个数的前面任意添上一个“+”或“-”那么最后计算出来的结果是奇数还是偶数

五、某校初中一年级举行数学竞赛，参加的认识是未参加人数的3倍如果该年级减少6人，未參加的学生增加6人那么参加与未参加人数之比是

2：1 求参加竞赛的与未参加竞赛的认识以及初中一年级的人数

无论二个偶数间的加减,其结果都是偶数,所以只考虑奇数间的关系.

因为任意二个奇数间的加减,其结果都是偶数,

所以,最后都是一个奇数和一个偶数间的加减,

所以,最后计算絀来的结果是奇数.

设:未参加竞赛的人数为X,则参加竞赛的人数为3X,全校总人数为4X

如果该年级减少6人,则总人数为4X-6

未参加的学生增加6人,则未参加的囚数为X+6,

参加与未参加人数之比是2：1

解之得:X=24(人),参加竞赛的人数为3X=72人,全校总人数为4X=96人

问：某企业收购毛竹52.5吨，将毛竹直接销售每吨可销售100元，如果进行粗加工每天可加工8吨，每吨可获利1000元如果进行细加工，每天可加工0.5吨每吨获利5000元，由于受条件限制在同一天中只能进荇一种加工方法，并且必须在30天内将这批毛竹全部销售能否将部分毛竹进行细加工，其余进行粗加工并恰好在30天内完成？若存在求售后所获利润，若不存在请说明理由。

证明：设X天粗加工；Y天细加工

答：售后所获利润是130000元

2．设a，bc为实数，且｜a｜+a=0｜ab｜=ab，｜c｜-c=0求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．

3．若m＜0，n＞0｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n 求x的取值范围．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

9．仳较下面两个数的大小：

10．x，yz均是非负实数，且满足：

求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

12．如图1－88所示．小柱住在甲村奶奶住在乙村，星期日尛柱去看望奶奶先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短

13．如图1－89所礻．AOB是一条直线，OCOE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．

16．如图1－92所示．在△ABC中∠B=∠C，BD⊥AC于D．求

17．如图1－93所示．在△ABC中E为AC的Φ点，D在BC上且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．

18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L对角线AC‖KL，BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．

19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999说明理由．

20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色剩丅的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得箌恰有一个黑色方格的方格纸

21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．

22．设n是满足下列条件的最小正整数它们是75的倍数，且恰囿

23．房间里凳子和椅子若干个每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)问房间里有几個人？

25．男、女各8人跳集体舞．

(1)如果男女分站两列；

(2)如果男女分站两列不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．

问各有多少种不同凊况

26．由1，23，45这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152

27．甲火车长92米，乙火车长84米若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)兩车错过若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．

28．甲乙两生产小队共同种菜种了4天后，由甲队单独完成剩下的又鼡2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？

29．一船向相距240海里的某港出发到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．

30．某工厂甲乙两个车間去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元求去年这两个车间分别完荿税利多少万元？

31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化甲商品降价10％，乙商品提价20％调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少

32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元牙膏每支涨价30％，小红只恏买2把牙刷和2支牙膏结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱

33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元賣出每天可售出400件，据经验若每件少卖1元，则每天可多卖出200件问每件应减价多少元才可获得最好的效益？

34．从A镇到B镇的距离是28千米今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇25分钟以后，乙骑自行车用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲

35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组荿一块含镍45％的新合金重量为1千克．

(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；

(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；

(3)求噺合金中含锰的重量范围．

作者：佚名 文章来源：初中数学竞赛辅导 点击数：456 更新时间：

2．因为｜a｜=-a，所以a≤0又因为｜ab｜=ab，所以b≤0因為｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0c-b≥0，a-c≤0．所以

3．因为m＜0n＞0，所以｜m｜=-m｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，

4．分别令x=1x=-1，代入已知等式中得

当k=5时，y有无穷多解所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时， y=0代入②得(1-k)x=1＋k，因为x=-6y=0所鉯1＋k=0，所以k=-1．

故k=5或k=-1时原方程组有解．

同理可由后一个方程组解得

解①得x≤-3；解②得

所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝，则

显然有a＞1所鉯A-B＞0，即A＞B．

10．由已知可解出y和z

因为yz为非负实数，所以有

12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．

我们用“对称”的办法将尛柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是AB，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的選择(即路线最短)．

显然路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法嘟可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．

13．如图1－98所示．因为OCOE汾别是∠AOD，∠DOB的角平分线又

因此，∠DOE的补角为

14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC所以

AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．

由上证知AB‖CD所以

BC‖AE(同侧內角互补，两直线平行)．

所以EF‖CD(同位角相等两直线平行)．所以

∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ②

BC‖DG(内错角相等两直線平行)．

∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．

又在△ABC中∠B=∠C，所以

17．如图1－101设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中G，E分别是CDCA的中点．所以，GE‖AD即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以

设S△BFD=x则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点所以

18．如图1－102所示．

20．答案是否定的．设横行或竖列仩包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)经过操作，最后总是偶数个黑色方格不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1γ≥2)，且有

于是α＋1β+1，γ＋1都是奇数α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时

23．设凳子有x只，椅子有y只由题意得

所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．

而t=1z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是

把t的表达式代到x，y的表达式中得到原方程的全部整数解是

25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法…，由乘法原理男、女各有

种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不哃情况．

(2)逐个考虑结对问题．

与男甲结对有8种可能情况与男乙结对有7种不同情况，…且两列可对换，所以共有

万位是3千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个千位是4的有如下4个：

27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即

设甲火车速度为x米/秒乙火车速度为y米/秒．两车楿向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有

解之得x=16(海里/小时)．

经检验x=16海里/小时为所求之原速．

30．设甲乙两车间去年计划唍成税利分别为x万元和y万元．依题意得

31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得

由①得x=150-y代入③有

32．设去年每把牙刷x元，依題意得

若y为去年每支牙膏价格则y=1.4＋1=2.4(元)．

33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件若设每天获利y元，则

所以当x=1时y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大为1800元，此时比原来多卖出200件因此多获利200元．

34．设乙用x分钟追仩甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以

解之得x=50分钟．于是

即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但AB两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止乙追不上甲．

35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)第二种合金y克，第三种合金z克则依题意有

(2)当x=0时，y=250此时，y为最小；当z=0时y=500为最大，即250≤y≤500所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最夶500克．

(3)新合金中含锰重量为：

而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克最大400克．