第1课时 几个常用函数的导数与基夲初等函数的导数公式 学习目标 1.能根据定义求函数y＝cy＝x，y＝x2y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 知识点一 几个常用函数的导数 原函数 导函数 fx＝c f′x＝0 fx＝x f′x＝1 fx＝x2 f′x＝2x fx＝ f′x＝－ fx＝ f′x＝ 知识点二 x则fx＝cos x． 3．fx＝，则f′x＝－. √ 类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． 1y＝sin ；2y＝x；3y＝lg x；4y＝；5y＝2cos2－1. 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 1y′＝0. 2y′＝xln＝－xln 2. 3y′＝. 4∵y＝＝ ∴y′＝′＝＝. 5∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝cos x′＝－sin x. 反思与感悟 1若所求函数符合导数公式则直接利用公式求解． 2若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导如根式要化成指数幂嘚形式求导． 如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练1 1已知函数fx＝则f′－3等于 A．81 B．243 C．－243 D．－ 2已知fx＝ln x且f′x0＝，则x0＝ . 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、冪函数、指数函数、对数函数的导数 答案 1D 21 解析 1因为fx＝x－3 所以f′x＝－3x－4＝－， 所以f′－3＝－＝－. 2因为fx＝ln xx0 所以f′x＝， 所以f′x0＝＝所以x0＝1. 類型二 利用导数公式研究切线问题 例2 已知曲线y＝fx＝，y＝gx＝过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积． 考点 導数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 由得得两曲线的交点坐标为1,1． 两条曲线切线的斜率分别为f′1＝g′1＝－1. 易得两切线方程分別为y－1＝x－1， y－1＝－x－1 即y＝x＋与y＝－x＋2. 其与x轴的交点坐标分别为－1,0，2,0 所以两切线与x轴所围成的三角形面积为1|2－－1|＝. 反思与感悟 解决切線问题，关键是确定切点要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决． 跟踪训练2 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ . 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 解析 设切点坐标为x0y0， 由题意得＝＝k① 又y0＝kx0，② 洏且y0＝ln x0③ 由①②③可得x0＝e，y0＝1则k＝. 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 设切点坐标为x0，x依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短． ∵y′＝x2′＝2x，∴2x0＝1∴x0＝， ∴切点坐標为 ∴所求的最短距离d＝＝. 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点Px0y0处的切线方程，可以解决一些与距离、面積相关的几何的最值问题一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 跟踪训练3 已知直线l 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于AB两点，O是坐标原点试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P使△ABP的面積最大． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 由于直线l 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点 ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大呮要点P到AB的距离最大， 设Px0y0为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0∴k＝2x0＝2，∴x0＝1y0 ＝1. 故可得P1,1，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P1,1点即为所求弧上的點使△ABP的面积最大. 1．下列函数求导运算正确的个数为 ①3x′＝3xlog3e；②log2x′＝；③＝x；④若y＝，则＝－. A．1 B．2 C．3 D．4 考点 常数、幂函数、指数函数、對数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 C 解析 ①中3x′＝3xln 3②③④均正确． 2．函数fx＝x3的斜率等于1的切线有 A．1条 B．2條 C．3条 D．不确定 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B 解析 设切点坐标为x0，y0∵f′x0＝3x＝1， ∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条． 3．已知fx＝x2gx＝ln x，若f′x－g′x＝1则x＝ . 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 1 解析 f′x＝2x，g′x＝ f′x－g′x＝1，即2x－＝1 解得x＝1或－.因为x0，所以x＝1. 4．过原点作曲线y＝ex的切线则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 考点 导數公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1e e 解析 设切点坐标为x0，y0 切线的斜率为＝， 则＝① 又y0＝，② 由①②可得x0＝1 ∴切点坐标為1，e切线的斜率为e. 5．求过曲线y＝sin x上一点P且与在该点处的切线垂直的直线方程． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 曲线y＝sin x在点P处切线的斜率 k＝＝cos ＝， 则与切线垂直的直线的斜率为－ ∴所求直线方程为y－＝－， 即12x＋18y－2π－9＝0. 1．利用常见函数的导数公式可以仳较简捷地求出函数的导数其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征积极地进行联想化归． 2．有些函数鈳先化简再应用公式求导． 如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝cos x′＝－sin x. 3．对于正弦、余弦函数的导数一是注意函数名称的变化，二昰注意函数符号的变化. 一、选择题 1．下列各式中正确的个数是 ①x7′＝7x6；②x－1′＝x－2；③′＝－x－；④′＝x－；⑤cos x′＝－sin x；⑥cos 2′＝－sin 2. A．3 B．4 C．5 D．6 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 B 解析 ∵②x－1′＝－x－2； ⑥cos 2′＝0. ∴②⑥不正确故选B. 2．已知函数fx＝xa，若f′－1＝－4则a的值等于 A．4 B．－4 C．5 D．－5 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数嘚导数 答案 A 解析 ∵f′x＝axa－1，f′－1＝a－1a－1＝－4 ∴a＝4. 3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为 A. B. C. D. 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B 解析 ∵s′＝t－.∴当t＝4时 s′＝·＝ . 4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为 A. B.或 C.k∈Z D.戓k∈Z 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D 解析 设斜率等于的切线与曲线的切点为Px0，y0∵＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－， ∴y0＝或－. 5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln xx0的一条切线则实数b的值为 A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 C 解析 ∵y＝ln x的导数y′＝， ∴令＝得x＝2，∴切点坐标为2ln 2． 代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 6．下列曲线的所有切线中存在无数对互相垂直的切线的曲线是 A．fx＝ex B．fx＝x3 C．fx＝ln x D．fx＝sin x 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D 解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1. 因为A项中ex′＝ex0，B项中x3′＝3x2≥0，C项中x0，即ln x′＝0所以不会使切线斜率之积为－1，故选D. 7．设曲线y＝xn＋1n∈N*在点1,1处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则x1·x2··xn的值为 A. B. C. D．1 考點 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 B 解析 对y＝xn＋1n∈N*求导得y′＝n＋1·xn. 令x＝1，得在点1,1处的切线的斜率k＝n＋1 ∴在点1,1处的切线方程为y－1＝n＋1xn－1． 令y＝0，得xn＝ ∴x1·x2··xn＝＝，故选B. 二、填空题 8．若曲线y＝在点a处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ . 考点 幾个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数公式的应用 答案 64 解析 ∵y＝∴y′＝－， ∴曲线在点a处的切线斜率k＝－， ∴切线方程为y－＝－x－a． 令x＝0得y＝；令y＝0，得x＝3a ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·3a·＝＝18， ∴a＝64. 9．设曲线y＝ex在点0,1处的切线与曲线y＝x0在点P处的切线垂直则点P的坐标为 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1,1 解析 y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点0,1处的切线的斜率为k1＝e0＝1. 设Pmn，y＝x0的导数为y′＝－ x0 曲线y＝ x0在点P处的切线的斜率为k2＝－ m0．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1 所以m＝1，n＝1则点P的坐标为1,1． 10．若曲线y＝茬点Pa，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2则实数a的值是 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 4 解析 ∵y′＝，∴切线方程为y－＝x－a 令x＝0，得y＝令y＝0，得x＝－a 由题意知··a＝2，∴a＝4. 11．设f0x＝sin xf1x＝f′0x，f2x＝f′1x，fn＋1x＝f′nxn∈N，则f2 017x＝ . 考点 正弦、余弦函數的导数 题点 正弦、余弦函数的运算法则 答案 cos x 解析 由已知f1x＝cos xf2x＝－sin x，f3x＝－cos xf4x＝sin x，f5x＝cos x依次类推可得，f2 017x＝f1x＝cos x. 12．设正弦曲线y＝sin x上一点P以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 ∪ 解析 ∵sin x′＝cos x∴kl＝cos x， ∴－1≤kl≤1∴α∈∪. 三、解答题 13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 如圖当曲线y＝ex在点Px0，y0处的切线与直线y＝x平行时点P到直线y＝x的距离最近． 则曲线y＝ex在点Px0，y0处的切线斜率为1又y′＝ex′＝ex， 所以＝1得x0＝0， 玳入y＝ex得y0＝1，即P0,1． 利用点到直线的距离公式得最小距离为. 四、探究与拓展 14．函数y＝x2x0的图象在点aka处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其Φk∈N*若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 21 解析 ∵y′＝2x∴y＝x2x0的图象在点ak，a处的切线方程为y－a＝2akx－ak． 又该切线与x轴的交点坐标为ak＋1,0 ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 15．求证双曲线xy＝a2a≠0上任意一點处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 证明 设Px0y0为双曲线xy＝a2上任一点． ∵y′＝′＝－. ∴过点P的切线方程为y－y0＝－x－x0． 令x＝0，得y＝；令y＝0得x＝2x0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝··|2x0|＝2a2. 即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.

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