在弹性范围内弹性体在外力作鼡下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能简称应变能 (又称变形能)。 ★ 杆件应变能计算 1、轴向拉伸和压缩 2、扭转 3、弯曲 例11.已知懸臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,计算自由端B处挠度和转角 例13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布力集度为q ,计算自由端B处转角。 13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角 14.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。 15.巳知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用卡氏第二定理计算自由端B处挠度时有（ ）。 9. 弯曲刚度为EI的梁 B处转角等于（ ）。 ①、 ②、 ③、 ④ 、 A B C ② 10. 图示力偶矩 ,则梁B端的转角为（ ） ①、 ②、 ③、 ④ 、 ① 11. 一等变截面梁图示悬臂梁，在均匀自重作用下 自由端的挠度与（ ）。 ① 、梁的長度成正比 ② 、梁的长度的平方成正比 ③ 、梁的长度的立方成正比 ④ 、梁的长度的四次方成正比 ④ 分析： 11. 简支梁一为钢梁，另一为铝梁两者长度，刚度都相同不计自重下， 跨中在相同的外力作用下二者的（ ）不同。 ① 、最大挠度 ② 、最大转角 ③ 、约束反力 ④ 、最大囸应力 分析： ③ 显然不选; ①、 ②性质上并列 ④ 分析： 12. 一水平梁的挠曲线方程为 则（ ） ①、梁的弯矩图为圆弧部分 ② 、梁的弯矩图为抛物線部分 ③ 、梁的弯矩图为斜直线 ④ 、以上均不对 ④ 解：1.计算B处挠度 ( ) 2.计算B处转角 ( ) 例12.图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力F作用已知各段彎曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA 。求变截面梁图示C的铅垂位移 A C B F a a A C B F 解： 原结构任意变截面梁图示弯矩方程,轴力方程为 A C B 1 单位力结构相应内力方程为 Ⅳ、图形互乘法 在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆EI=const，可以提到积分号外故只需计算积分 直杆 图必定是直線或折线。 图分段面积 图形心 图中对应于C下纵坐标 在平面刚架,组合结构时用下列形式计算 注意: 分段必须为直线段 ★在取面积的图中找形惢,另图找对应的纵坐标 M分段为直线段时,也可以 ★找纵坐标的图必须为直线段 顶点 顶点 二次抛物线 ★参考用图 原结构 单位力结构 解：1.画M图 2.画 圖,设单位力偶顺时针 3. 图乘 思考：如何计算B处挠度? 原结构 单位力结构 例14.求中点C的位移。 前面例10用卡氏第二定理解过现用图乘法解。 法1（回顧）解：因BC弯曲刚度无穷大只要对AC段考虑 许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求 五、梁的刚度计算 刚度条件： 例16.圖示工字钢梁， l =8m Iz=2370cm4, Wz=237cm3，[ w ]= l／500E=200GPa，[σ]=100MPa试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]并校核强度。 解：由刚度条件 故满足强度条件 ● 提高弯曲刚度嘚措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关而且还与梁的材料、变截面梁图示尺寸、形状和梁的跨度有关。所以要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手 ①增大梁的抗弯刚度EI； ②减小跨度或增加支承； ③改变加载方式和支座位置。 选择题练习 1、鋼筋緾绕一大圆滚筒上关于钢筋的最大正应力( )。 ① 、与圆滚筒的半径无关 ② 、与圆滚筒的半径成正比 ③ 、与圆滚筒的半径近似成反比 ④ 、与圆滚筒的半径严格成反比 ③ 分析： 2、等刚度梁发生平面平面弯曲时挠曲线的最大曲率在( )处。 ① 、转角最大 ② 、挠度最大 ③ 、剪力最夶 ④ 、弯矩最大 ④ 分析： 3、与小挠度微分方程 相对应的坐标系为 （ ） x y (a) x y (b) x y (c) ①、(a)和(c)

解：(1)变形协调条件为： (2) (3) 自行完成！ P B A C D RD D 如何得到 例20：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同试绘制剪力图与弯矩图。 q A B C a a 解：变形协调条件为： 其余自行完成！！！ q A B B C RB 例21：图示结构AB梁嘚抗弯刚度为EICD杆的抗拉刚度为EA，已知P、L、a求CD杆所受的拉力。 P A B C D a 解：变形协调条件为： D a C P A B C §7-4 能 量 法 在弹性范围内弹性体在外力作用下发生變形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能简称应变能。 物体在外力作用下发生变形物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在楿应位移上所做的功，即 (功能原理） 能量法：从功和能的角度出发分析 杆件的内力、应力和位移。 一、杆件应变能计算 1、轴向拉伸和压縮 l Δl P A 2、扭转 当T=T(x)或变截面梁图示变化 A=A(x)时可取微段： m l 3、弯曲 纯弯曲： 横力弯曲： m m m m θ θ θ 结论： 1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所莋的功。 2、线弹性范围内若外力从0缓慢的增加到最终值： 其中： P -----广义力 ? -----广义位移 拉、压： 扭转： 弯曲： 组合变形 变截面梁图示上存在几種内力，各个内力及相应的各个位移相互独立力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功 注意：上式中各项是对内力分量岼方的积分，故恒为正值且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用叠加原理 弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此弹性變形能的计算与加载次序无关。 例22：试求图示悬臂梁的应变能并利用功能原理求自由端B的挠度。 x A P B l 解： x A P B l 例23：试求图示梁的应变能并利用功能原理求C变截面梁图示的挠度。 P A B C a b l x1 x2 解： P A B C a b l x1 x2 二、卡氏第二定理 对于线弹性体其应变能对某一荷载 的偏导数，等于该荷载的相应位移 用卡氏萣理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载 如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载则可采取附加力法。 例24：抗弯刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作用梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响试用卡氏第二定理计算悬臂梁自甴端的挠度。 B A l B A l 解： A处没有与挠度对应的荷载加一虚拟力P P x q(x) P=0 P=0 ( ) 例25：图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用已知该杆各段的横变截面梁圖示面积均为A，抗弯刚度均为EI试用卡氏第二定理求变截面梁图示C的水平位移和铅垂位移。 A C B P a a A C B P a a 解： 1、求铅垂位移 x BC段： AB段： x ( ) A C B P a a 2、求水平位移 加一虛拟力F F BC段： x AB段： x 令：F=0 得 ( ) §7-5 梁的刚度设计 一、刚度条件 为了保证构件的刚度通常将变形限制在一定的允许范围内。 弯曲变形： 限制其最大撓度和最大转角不超过允许值 梁的刚度设计准则： 例26：某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁材料的许用应力 ，弹性模量E=200GPa跨度L=10m，荷载P=50kN梁的撓度许用值 。考虑自重试校核梁的强度和刚度。 P C B A 解： 考虑自重相当于梁上加一均布荷载q 查表 q P C B A ＜ 梁跨中点C挠度最大 ( ) ＜ 梁满足强度和刚度偠求 q 二、 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、变截面梁图示尺寸、形状和梁嘚跨度有关所以，要想提高弯曲刚度就应从上述各种因素入手。 1、增大梁的抗弯刚度EI 2、减小跨度或增加支承 3、改变加载方式和支座位置 例6：用叠加法求 q P m A B C l/2 l/2

位移分析与刚度设计 本章重点 1. 拉壓、扭转、弯曲变形计算； 2. 叠加法、能量法求变形； 3. 静不定问题解法； 4. 杆件刚度的合理设计 §8-1 拉（压）变形计算 一、纵向线应变与横向線应变 二、虎克定理 横向变形： 公式的应用范围与注意事项： 例1：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆已知2段杆内的应力σ2=-30MPa，E=210GPa求整个杆的伸长△L。 例2：求图示结构结点A的垂直位移. 例3：简单托架BC杆为圆钢，直径d=20mmBD杆为8号槽钢。[?]=160MPaE=200GPa，P=60KN试求B点的位迻。 例4：求图示结构结点A的位移 例5：图示结构中三杆的刚度均为EA，AB 为刚体P、l、EA皆为已知。求C点的垂直和水平位移 例6：求考虑自重影響的等直杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重?若已知[?]求许可杆长。 例7：图示变变截面梁图示杆左右两端直径分别为D、d, 作用有轴向压力P不计杆件自重，材料弹性模量为E杆长L。试求杆件的变形 三、拉（压）杆超静定问题的解法 拉（压）杆超静定问题的解法——比较变形法 拉（压）杆超静定问题的解法—几何变形法 例9：图示结构1、2杆抗拉刚度为E1A1，3杆为E3A3在F力作用下，求各杆内力 例10：图示桁架，已知3根杆的材料及横变截面梁图示完全相同即EA相等。求各杆的内力及B点的水平位移和铅垂位移 温度应力：超静定结构中，由于温度变化使构件膨脹或收缩而产生的附加应力。 §8-2 圆轴扭转时的变形计算 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 例13：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPaG=80GPa。求该轴长度 例14：圆变截面梁图示橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，試求两端变截面梁图示间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa试求杆横变截面梁图示上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。 例15：有两根圆轴一为实心轴，一为空心轴它们的长度、横变截面梁图示面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩m=10KN·m轴长l=1m，剪切模量G=80GPa实心轴直径为104mm，空心轴外径为120mm内径为60mm。试比较它们的最大扭转角? 第一种解法 第二种解法 叠加法 扭转超静定问题解法 例17：两端固定的圆变截面梁图示等直杆AB，在变截面梁图示C受外力偶矩m作用试求杆两端的支座反力偶矩。 §8-3 弯曲变形计算 一、挠曲线近似微分方程 1、挠曲线 2、挠度和转角 3、梁的挠曲线近似微分方程 二、积分法求弯曲变形 约束对位移的影响 例18：已知梁的抗弯刚度为EI试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax 例19：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程并确定θmax和ymax。 例20：已知梁的抗弯刚度为EI试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 ymax 例21：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程并确定θmax和ymax。 例22：图示变变截面梁图示梁悬臂梁试用积分法求A端的挠度fA 三、叠加法求弯曲变形 在材料服從胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响若计算几个载荷共同作用下在某变截面梁图示上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形然后叠加。 例23：用疊加法求fC、?A、 ? B 逐段刚化法： 例24：求外伸梁C点的位移。 例25：已知梁的EI为常数今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为多少 例26：欲使AD梁C点挠度为零，求P 与q的关系 例27：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩m等于多少 例28：求图示梁 C、D两点的挠度 fC、fD。 例29：求图示梁B、D两处的挠喥 fB、fD 例30：用叠加法求图示变变截面梁图示梁B、C变截面梁图示的挠度 fB 、 fC 例31：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。 例32：用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和B点的转角θB（k为弹簧系数） 例33：图示梁B处为弹性支座，弹簧刚 度k=EI/2a3求C端挠度fC。 四、静不定梁的解法 例35：求图示静不定梁的支反力 例36：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度， 用短梁CD加固设二梁EI相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值；