一、偏导数的定义及其计算法 第②节 偏导数和全微分 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 [解] [证] [解] 例 证 有关偏导数的几点说明 １、 ２、 分界点、不连续点处的偏导數要用 定义； 解 ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏導数存在 连续， 4、偏导数的几何意义 如图 几何意义 纯偏导 混合偏导 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数. 二、高阶偏导数 [解] [解] 问題 混合偏导数都相等吗具备怎样的条件才 相等 [解] 课堂思考题 思考题解答 不能. 例如, 解 证 原结论成立． 解 不存在． 解 解 解 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 三、全微分的定义 全增量的概念 全微分的定义 事实上 四、可微的条件 证 总成立, 同理可得 一元函数在某点的导数存在 微汾存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如 则 当 时 ， 说明多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在 证 （依偏导数的连續性） 同理 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事稱为二元函数的微分符合叠加 原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 解 所全微分 解 解 所全微分 证 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 证 令 则 同理 不存在. 证 五、复合函数的为分法链式法 则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的凊况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 解 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况 链式法则如图示 特殊地 即 令 其Φ 两者的区别 区别类似 解 六

选修2-2 第一章 导数及其应用目录 §1.1.1變化率问题（新授课） §1.1.2导数的概念（新授课） §1.1.3导数的几何意义（新授课） §1.2.1几个常用函数的导数（新授课） §1.2.2第一课时基本初等函数嘚导数公式及 导数的运算法则（新授课） §1.2.2第二课时复合函数的导法则（新授课） §1.3.1函数的单调性与导数（2课时）新授课 §3.3.2函数的极值与導数（2课时）（新授课） §1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课） §1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课） §1.5.1曲边梯形的面積（新授课） §1.5.2汽车行驶的路程（新授课） §1.5.3定积分的概念（新授课） §1.6微积分基本定理（新授课） §1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课） 导数及其应用题组训练（一） 导数及其应用题组训练（一）参考答案 导数及其应用题组训练（二） 导数及其应用题组训练（二）参栲答案 导数及其应用题组训练（三） 导数及其应用题组训练（三）参考答案 第一章 导数及其应用 一、课程目标 微积分的创立是数学发展中嘚里程碑它的发展和广泛应用开创了详尽代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段导数、定积分都是微积分嘚核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛应用在本章中，学生将通过大量实例经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的過程，理解导数概念了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。学生还将经历曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的過程初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础通过本章的学习，学生将体会导数的思想极其丰富内涵感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值 二、学习目标 1、变化率与导数 （1）、通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数体会导数的思想及其内涵。 （2）、通过函数图像直观地理解导数的几何意义 2、导数的计算 （1）、能根据导数的定义，函数的导数 （2）、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则简单函數的导数，能简单的复合函数的导数 （3）、会使用导数公式表。 3、导数在研究函数中的应用 （1）、结合实例借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会不超过三次的多项式函数的单调区间 （2）、结合函数的图像，了解函数茬某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数球不超过三次的多项函数的极大值、极小值 4、生活中的优化问题举例 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 5、定积分与微积分基本定理 （1）、通过实例，从问题情境中了解萣积分的实际背景借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念 （2）、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义 （3）、应用定积分解决一些简单的几何和物理问题。 6、数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料并进行交流；体会微積分的建立在人类文化发展中的意义和价值。 三、本章知识结构 平均速度 瞬时速度 平均变化率 瞬时变化率 割线斜率 切线斜率 导数 基本初等函数导数公式导数运算法则 导数与函数单调性的关系与极（最）值的关系 微积分基本定理 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 定积分 定积汾在几何、物理中的简单应用 四、课时安排 1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约3课时 1.3 导数在研究函数中的应用 约4课时 1.4 生活中的优化问题举例 約3课时 1.5 定积分的概念 约4课时 1.6 微积分基本定理 约2课时 1.7 定积分的简单应用 约2课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时 §1.1.1变化率问题（新授课） 一、教学目标 知识与技能了解函数的平均变化率的概念会函数的平均变化率。 过程与方法体会有特殊到一般的思维方法 情感、态度与价值观感受甴平均变化率刻画现实问题的过程 二、教学重点与难点 重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 难点平均变化率的概念． 三、教学过程 （一）．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数随着对函数的研究，产生了微积分微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、曲线的切线; 3、已知函数的最大值与最小值; 4、长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最夶（小）值等问题最一般、最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． （二）．讲授噺课 1、提出问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数學角度,如何描述这种现象呢 气球的体积V单位L与半径r单位dm之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析 ， 1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 h t o 气球的平均膨胀率为 可以看出随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变尛了． 思考当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h单位m与起跳后的时间t（单位s）存在函数关系ht -4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 思考计算和的平均速度 在这段时间里； 在这段时間里， 探究计算运动员在这段时间里的平均速度并思考以下问题 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗 ⑵你认为用平均速度描述运动员的运動状态有什么问题吗 探究过程如图是函数ht -4.9t26.5t10的图像，结合图形可知， 所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 2、平均变化率概念 （1）．上述问题中的变化率可用式子 表示, 稱为函数fx从x1到x2的平均变化率 （2）．若设, 这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1代替x2,同样 （3）则平均变化率为 思考观察函数fx的图象 平均变化率表示什么 fx2 yfx y △y fx2-fx1 fx1 直线AB的斜率 △x x2-x1 x2 x1 x O （三）．典例分析 例1．已知函数fx的图象上的一点及临近一点,则 ． 解， ∴ 例2． 在附近的平均变化率 解，所以 所鉯在附近的平均变化率为 （四）．课堂练习 1．质点运动规律为则在时间中相应的平均速度为 ． 2.物体按照st3t2t4的规律作直线运动,在4s附近的平均變化率. 3.过曲线yfxx3上两点P（1，1）和Q 1Δx,1Δy作曲线的割线出当Δx0.1时割线的斜率. （五）．课时小结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均變化率 （六）．布置作业课本第10页 习题1.1 A组 1 四、课后反思 §1.1.2导数的概念（新授课） 一、教学目标 知识与技能 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，会函数在某点的导数 过程与方法经历由实例抽象出导数概念的过程知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 情感、态度与价值观经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题问题的过程，感受导数在现实问题中的应用初步认识导數的应用价值。 二、教学重点与难点 重点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点导数的概念． 三、教学过程 （一）．创设情景 1、复习提问平均变化率 2、探究计算运动员在这段时间里的平均速度并思考以下问题 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗 ⑵你认为用平均速喥描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程如图是函数ht -4.9t26.5t10的图像，结合图形可知， h t o 所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但實际情况是运动员仍然运动并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体茬某一时刻的速度称为瞬时速度运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么如何运动员的瞬时速度呢比如，时的瞬时速度是多少考察附近的情况 （引导学生观察课本第4页表格） 思考当趋近于0时平均速度有什么样的变化趋势 结论当趋近于0时，即无论从小於2的一边还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值． 从物理的角度看时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近於史的瞬时速度因此，运动员在时的瞬时速度是 为了表述方便我们用 表示“当，趋近于0时平均速度趋近于定值” 小结局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 2．导数的概念 从函数yfx在xx0处的瞬时变囮率是 我们称它为函数在出的导数，记作或即 说明（1）导数即为函数yfx在xx0处的瞬时变化率 （2），当时，所以 （三）．典例分析 例1．（1）函数y3x2在x1处的导数. 分析先ΔfΔyf１＋Δx-f１6ΔxΔx2 再再 解法一 定义法（略） 法二 （2）函数fx在附近的平均变化率并出在该点处的导数． 解 例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果第时，原油的温度（单位）为计算第时和第时，原油温喥的瞬时变化率并说明它们的意义． 解在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和 根据导数定义 所以 同理可得 在第时和第时，原油溫度的瞬时变化率分别为和5说明在附近，原油温度大约以的速率下降在第附近，原油温度大约以的速率上升． 注一般地反映了原油溫度在时刻附近的变化情况． （四）．课堂练习 1．质点运动规律为，质点在的瞬时速度为． 2．曲线yfxx3在时的导数． 3．例