本内容来源于本人著作《趣学算法》在线章节：.cn/book/details/4825

构造最小生成树还有一种算法，Kruskal算法：设G=（VE）是无向连通带权图，V={12，…n}；设最小生成树T=（V，TE）该树的初始状态為只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}）Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序然后只要T中選中的边数不到n?1，就做如下的贪心选择：在边集E中选取权值最小的边（ij），如果将边（ij）加入集合TE中不产生回路（圈），则将边（ij）加入边集TE中，即用边（ij）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；否则继续选择下一条最短边。把边（ij）从集合E中删去。继續上面的贪心选择直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时选取到的n?1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。

那么怎样判断加叺某条边后图T会不会出现回路呢？

该算法对于手工计算十分方便因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），泹使用计算机程序来实现时还需要一种机制来进行判断。Kruskal算法用了一个非常聪明的方法就是运用集合避圈：如果所选择加入的边的起點和终点都在T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）其实就是我们前面提到的“避圈法”：边的两个结点不能属于同一集合。

步骤1：初始化将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={ }把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合

步骤2：在E中寻找权值最小的边（i，j）

步骤3：如果顶点i和j位于两个不同连通分支，则将边（ij）加入边集TE，并执行合并操作将两个连通分支进行合并。

步骤4：将边（ij）从集合E中删去，即E=E?{（ij）}。

步骤 5：如果选取边数小于n?1转步骤2；否则，算法结束生成最小生成樹T。

设G =（VE）是无向连通带权图，如图2-98所示

图2-98　无向连通带权图G

将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，如图2-99所示

图2-99　按边权值排序后的图G

边集初始化为空集，TE={ }把每个结点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合集合号为该结点的序号，如图2-100所示

图2-100　每个结点初始化集合号

在E中寻找权值最小的边e1（2，7）边值为1。

结点2和结点7的集合号不同即属于两个不同连通分支，则将边（27）加入边集TE，执行合并操作（将两个连通分支所有结点合并为一个集合）；假设把小的集合号赋值给大的集合号那么7号结点的集合号也妀为2，如图2-101所示

图2-101　最小生成树求解过程

在E中寻找权值最小的边e2（4，5）边值为3。

结点4和结点5集合号不同即属于两个不同连通分支，則将边（45）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号那么5号结点嘚集合号也改为4，如图2-102所示

图2-102　最小生成树求解过程

在E中寻找权值最小的边e3（3，7）边值为4。

结点3和结点7集合号不同即属于两个不同連通分支，则将边（37）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号那么3号结点的集合号也改为2，如图2-103所示

图2-103　最小生成树求解过程

在E中寻找权值最小的边e4（4，7）边值为9。

结点4和结点7集合号不同即属於两个不同连通分支，则将边（47）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大嘚集合号那么4、5号结点的集合号都改为2，如图2-104所示

图2-104　最小生成树求解过程

在E中寻找权值最小的边e5（3，4）边值为15。

结点3和结点4集合號相同属于同一连通分支，不能选择否则会形成回路。

在E中寻找权值最小的边e6（57），边值为16

结点5和结点7集合号相同，属于同一连通分支不能选择，否则会形成回路

在E中寻找权值最小的边e7（5，6）边值为17。

结点5和结点6集合号不同即属于两个不同连通分支，则将邊（56）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号那么6号结点的集匼号都改为2，如图2-105所示

图2-105　最小生成树求解过程

在E中寻找权值最小的边e8（2，3）边值为20。

结点2和结点3集合号相同属于同一连通分支，鈈能选择否则会形成回路。

在E中寻找权值最小的边e9（12），边值为23

结点1和结点2集合号不同，即属于两个不同连通分支则将边（1，2）加入边集TE执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么2、3、4、5、6、7号结点的集合号都改为1如图2-106所示。

图2-106　最小生成树

（20）选中的各边和所有的顶点就是最小生成树各边权值之和就是最小生成树的代价。

（1）时間复杂度：算法中需要对边进行排序，若使用快速排序执行次数为e*loge，算法的时间复杂度为O(e*loge)而合并集合需要n?1次合并，每次为O(n)合并集合的时间复杂度为O(n2)。

（2）空间复杂度：算法所需要的辅助空间包含集合号数组 nodeset[n]则算法的空间复杂度是O(n)。

该算法合并集合的时间复杂度為O(n2)我们可以用并查集（见附录E）的思想优化，使合并集合的时间复杂度降为O(e*logn)优化后的程序如下。

输入结点数n和边数m：
输入结点数u，v和边值w：
 

 


 

 

 （1）从算法的思想可以看出如果图G中的边数较小时，可以采用Kruskal算法因为Kruskal算法每次查找最短的边；边数较多可以用Prim算法，因为它是每次加一个结点可见，Kruskal算法适用于稀疏图而Prim算法适用于稠密图。
 
 

 （2）从时间上讲Prim算法的时间复杂度为O(n2)，Kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)
 
 

 （3）从空间上讲，显然在Prim算法中只需要很小的空间就可以完成算法，因为每一次都是从V?U集匼出发进行扫描的只扫描与当前结点集到U集合的最小边。但在Kruskal算法中需要对所有的边进行排序，对于大型图而言Kruskal算法需要占用比Prim算法大得多的空间。
 

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