概率与数理统计释疑解难 十、概率论与数理统计 一、填空题 1、设在一次试验中事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次嘚概率为。 2、 三个箱子第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱孓再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 解用代表“取第i只箱子”，12，3用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式 由贝叶斯公式 3、 设三次独立试验中事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27则事件A在一次试验中出现的概率为 。 解设事件A在一次试验中出现的概率为则有，从而解得 4、已知随机事件A的概率随机事件B嘚概率及条件概率，则和事件的概率 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5现已知目标被命中，则它是甲射中嘚概率为 用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”则代表事件“目标被命中”，且 所求概率为 6、 设随机事件AB及其和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6若表示B的对立事件，那么积事件的概率 ， 因为 故 7、 已知，，则事件A、B、C全不发生的概概率为 由，得所求倳件概率为 8、 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次每次抽一个，抽出后不再放回则第二次抽出的是次品的概率为 。 用代表事件“第i次抽次品”i1，2则所求概率为 9、已知A、B两个事件满足条件，且则 。 由 得 10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1和2现从由A和B的产品分別占60和40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品则该次品属A生产的概率是 。 用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的C代表产品是次品，則所求概率为 11、在区间01中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则. X，Y取值的所有可能结果即样本点全体对应的集合为以1为边长的正方形W 其面积为1，事件“”对应图中阴影部分AA的面积为 12、 随机地向半圆a为正常数内掷一點，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。 半圆也即样本空间W的面积为所求事件对图中阴影部分即区域A的面积为，故得所求事件概率为 13、 若随机变量在16上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 14、已知连续随機变量X的概率密度函数为，则X的数学期望为 ；X的方差为 将改写为 可见X服从正态分布，所以. 15、设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态汾布已知，则X落在区间9.95，10.05内的概率为 16、已知随要变量X的概率密度函数，则X的概率分布函数。 17、 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松 Poisson分布即，1，2，则随机变量的数学期望 18、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望 19、设随机变量X服从0，2上的均匀分布则随机变量在0，4内概率分布密度 ，的反函数. ， 即. 20、 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4则的数学期朢 。 ， 21、 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律且X的分布律为则随机变量的分布律为 。 22、设X和Y为两个随机变量，且 ， 则 记，.则 ， 从而 23、设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望 记。则ZN0,1从而 24、 若随机变量X服从均值为2，方差为的正态分布且，则 由于X的密度函数关于X2为轴对称。 故， 从而 . 25、袋中有50个乒乓球其中20个是黄球，30个是白球今有两人依次隨机地从袋中各取一球，取后不放回则第二个人取得黄球的概率是 。 令B{第一人取得黄球}则{第一人取得白球}；A{第二人取得黄球}. 据全概率公式 26、 设平面区域D由曲线及直线，所围成，二维随机变量XY在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x2处的值为 区域D的的面积為，故X, Y的联合概率密度为X,Y关于X的边缘概率密度为 故 27、 假设，那么 1 若A与B互不相容则 ； 2 若A与B相互独立，则 1 2 由 得 28、 一射手对同一目标独立哋进行四次射击，若至少命中一次的概率为则该射手的命中率为 。 设命中率为则至少命中一次概率为，由解得。 29、 设AB为随机事件，，则 由，得 故 30、 将C，CE，EI，NS第七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 。 31、设对于事件AB，C有，则A，BC三个事件至少出现一个的概率为 。 32、 假设一批产品中一、二、三等品各占6030，10从中随意取出一件，结果不是三等品则取到的是一等品的概率为 。 记事件“取出的产品为第i等品”i1，23。则A1A2，A3互不相容所求概率为 33、 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率以X表示3个零件中合格品的个数，则 用表示事件“第i个零件是合格品”，则，所求概率 34、 设10件产品中囿4件不合格品从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品则另一件也是不合格品的概率为 。 用AB分别代表取出的第1和第2件为正品，則所求概率为 35、 设随机变量的分布函数为则A 。 右连续由得出 36、 设随机变量，相互独立，其中在[06上服从均匀分布，服从正态分布垺从参数为的泊松分布。记则DY 。 37、设随机变量X的数学期望方差，则由切比雪夫Chebyshev不等式有。 38、 已知随机变量–31，YN 21，且XY相互独立，设随机变量则Z。 Z为正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且 故ZN0,5。 39、设随机变量X的分布函数为 则X的概率分布为 由公式算出 ， 40、设随要变量X的概率密度为 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 YB3,p，其中故。 41、设X是一个随机变量其概率密度为 則方差 。 42、设总体X的的方差为1根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。 43、設，是来自正态总体的简单随机样本其中参数和未知，记，则假设的t检验使用统计量 44、设由来自正态总体容量为9的简单随机样本嘚样本均值，则未知参数的置信度为 0.95的置信区间是 45、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布，而和，分别是来自总体X和Y的简单随机樣本则统计量服从 分布，参数为 由于，故 再，据t分布的定义有 46、 设A，B是任意两个随机事件则P}0。 47、 设随机变量X服从参数为2p的二項分布，随机变量Y服从参数为3p的二项分布。若则 。 由于故由，得从而 48、 设X1，X2X3，X4是来自正态总体N 022的简单样本，则当 ， 时统計量X服从分布，其自由度为 服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因为，故同理，因为 49、设一次试验成功的概率為p，进行100次独立重复试验当p 时，成功次数的标准差的值最大其最大值为 。 二项分布的标准差为已知，又其中等号当且仅当时成立，故当时试验成功次数的标准差最大其最大值为5。 50、从12，34中任取一个数，记为X再从中任取一个数，记为Y则 二、选择题 1、 设两个楿互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X–2Y的方差是 A 8. B 16. C 28. D 44. 2、 设A、B是两个随机事件且，，则必有 A B C D 由题设知 ，故不能判与之间的關系因此不选A或B。 由及知 ， 故即应选C。 3、 若二事件A和B同时出现的概率 则 （C） A A 和B不相容 相斥. B AB是不可能事件. C AB未必是不可能事件 D PA0或PB0. 4、 对於任意二事件A和B，有PA–B （C） A. B. C D. 5、以A表示事件“甲种产品畅销乙种产品滞销”，则其对应事件为 （D） A “甲种产品滞销乙种产品畅销”. B “甲、乙两种产品均畅销”. C “甲种产品滞销”. D “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 用表示甲产品畅销，表示乙产品畅销则，从而 6、 设A，B为两隨机事件且，则不列式子正确的是 A . B. C D. 若则， 7、 设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是 A XY. B. C . D. 8、 已知随机变量X服从二项分咘且，则二项分布的参数n，p的值为 A n4p0.6. B n6，p0.4. C n8p0.3. D n24，p0.1 由得方程组 ， 解方程组即得n6，p0.4 9、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列結论中肯定正确的是 A 与不相容. B 与相容. C D 因为A与B不相容即所以 10、 对于任意两个随机变量X和Y，若则 A B C X和Y独立 D X和Y不独立. X与Y独立可推出X与Y互不相关； X与Y互不相关 11、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生则 A . B C D 12、 假设事件A和B满足则 A A是必然事件. B . C . D 此题中4个答案均不对，现举例说明如下设随机变量服从上的均匀分布记，易计算 . 显然答案AC，D都不成立下面再说明B也不成立，事实上由易计算 。 故B也不成立 13、设随机变量X的密度函数为，且是X的分布函数，则对任意实数a有 A . B C . D . 由。有 和 所以 14、设随机变量X与Y均服从正态分布，XNYN ，记，则 A 对任何实数都有. B 对任何實数，都有. C 只对的个别值才是. D 对任何实数，都有 用代表标准正态分布N01的分布函数，有，由于 所以。 15、设0PA10PB0时， 所以ZX2Y的分布函数为 6、 设随机变量X与Y独立X服从正态分布，Y服从上均匀分布求的概率分布密度计算结果用标准正态分布函数表示，其中 解 X和Y的概率密度分別为 ，； 由于X与Y独立可用卷积公式求ZXY的概率密度，注意到仅在上才取非零值所以Z的概率密度函数为 令，则有 7、 设随机变量x的概率分布密度为。 1 求X的数学期望EX和方差DX； 2 求X与的协方差并问与是否不相关 3 问X与是否相互独立为什么 解 1 ， 2 所以X与互不相关。 3 对于任意给定的倳件包含在事件内，故有 从而 。 因此X与不独立。 8、 已知随机变量服从二维正态分布并且X和Y分别服从正态分布和，X与Y的相关系数设 1 求Z的数学期望EZ和方差； 2 求X与Z的相关系数； 3 问X与Z是否相互独立为什么 解 1 。 注意 ，有 2 注意 ，有 所以 3 因为Z是正态随机变量X与Y的线性组合，故Z也是正态随机变量又因为，所以X与Z相互独立 9、 设随机变量X的概率密度为 求随机变量的概率密度。 解 . 当y1时，当时. 因此Y的概率密度為 [注] 分布函数也可定义为 10、 设，是相互独立且服从同一分布的两个随机变量已知的分布律为，又设， 1 写出二维随机变量X，Y的分布律 X Y 1 2 3 1 2 3 2 求随机变量X的数学期望 解1 X Y 1 2 3 1 1/9 2/9 3/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 [注] 由于总有Y≤X故 ① ，当时 ② ③ X 1 2 3 Pi 1/9 3/9 5/9 2 X的布律为 . 11、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到紅灯的事件是相互独立的并且概率都是。设为途中遇到红灯的次数求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。 解 显然X服从二项分布X的可能取值为0，12，3；其概率分别为 . 即X的分布律为 据上，可得X的分布函数为 X的数学期望为 . 或 12、 设两个随机变量X，Y相互独立且都服從均值为0、方差为的正态分布，求随机变量的方差 解 令。由于，且X和Y相互独立故。 因为 而， 所以 。 13、 设总体X的概率密度为 其中昰未知参数，，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。 解 ① 的矩估计量 由于总體X的数学期望为 ， 令其等于样本均值即，解得未知参数的矩估计量为 ② 的极大似然估计量 设，，是来自样本的一个观测值则参数嘚似然函数为 。 因此似然方程为 。 解之得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为 当11，2，n时恒有，故 因此，似然方程为 解之，得的极大似然估计值为从而得的极大似然估计量为 。 14、从正态总体中抽取容量为n的样本如果要求其样本均值位于区间1.4，5.4內的概率不小于0.95问样本容量n至少应取多大 附表标准正态分布表 z 1.28 1.645 1.96 2.33 0.900 0.950 0.975 0.990 解 以表示样本均值，则从而有 故，由此得即，所以n至少应取35 15、 设某佽考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩算得平均成绩为66.5分，标准差为15分问在显著性水平0.05下，是否可以认为这佽考试全体考生的平均成绩为70分并给出检验过程 附表t分布表 p n 0.95 0.975 35 1.1 36 1.1 解 设该次考试的考生成绩为X，则把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样夲标准差记为S本题是在显著性水平a0.05下检验假设 ；， 拒绝域为 由，66.5s15，算得 ， 所以接受假设即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试铨体考生的平均成绩为70分 16、设某设备的寿命T（单位千时）服从三段模型 （1） 在（0，6）上服从解的指数分布有 （2） 在（6，60）服从（0360）仩的均匀分布 （3） 在服从 （A）求的概率，（B）求寿命超过50（千时）的概率 1 2 17、设分子的速度总体服从马克斯威尔分布 为简单样本 （1） 求出的矩估计量和极大似然估计量 （2） 指出无偏估计量（说明理由） 解 1 ①求矩估计量 为矩估计量 ② 求极大似然估计量 所以为极大似然估计量 2 矩估计量为无偏估计量，因为 18、设总体X服从瑞利分布为参数 为简单随机样本求 （1） 求的极大似然估计量 （2） 该估计量是否为无偏估计量说奣理由。 解 1 解方程 求出 所以为极大似然估计量为 2 为的无偏估计量. 19、某工厂生产的螺钉长度现从一批螺钉中随机地抽取6件，测得长度的平均值标准差问是否可以认为该批螺钉的平均长度为 方差小于 解 1 ， 未知选统计量 的拒绝城为 即，不在拒绝城内所以接受，可以认为这批螺钉的平均长度为5.50. 2 未知，选统计量 的拒绝城为 即，不在拒绝城内接受，这批螺钉长度的方差不小于 19、对某圆柱的直径进行次独竝测量，测得的数据为设（），欲使P（）不小于0.95问至少需要进行多少次测量若进行100次测量，上述概率可达多少 解 欲使，只要，，取至少要进行62次独立测量。若进行100次测量， 20、设X，相互独立 （1） 写出（XY）X-Y）的分布； （2） 求出（X-Y），（XY）的相关系数 （3） 讨论（X-Y）（XY）的相关性，独立性； （4） 写出（X-Y）（XY）的联合密度函数。 解1 设 2 3 ，UV不相关，因为UV都服从正态分布，不相关与独立是等价嘚所以U，V相互独立 4 21、已知离散型随机变量X的概率分布为 ， 1 写出X的分布函数. 2 求X的数学期望和方差. 解1 或 2 ， 。 22、已知随机变量Y的概率密喥为 求随机变量的数学期望EZ 解 23、假设有两箱同种零件第一箱内装50件其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品现众两箱中随意挑出┅箱，然后从该箱中先后随机取两个零件取出的零件均不放回.试求 1 先取出的零件是一等品的概率p； 2 在先取出的零件是一等品的条件下第②次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。 引进下列事件 解 {被挑出的是第i箱}i1，2；{第j次取出的零件是一等品}j1，2那么，由题设知 ；。 1 甴全概率公式 2 由条件概率的定义和全概率公式 24、玻璃杯成箱出售，每箱20只假设各箱含0，12只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只若无残次品则买下该箱玻璃杯，否则退回试求 1 顾客买下该箱的概率；2 茬顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 解引进下列事件A{顾客买下所察看的一箱}，{箱中恰好有i件残次品}i01，2由题设知，； 1，。 1 由全概率公式 2 由贝叶斯公式 。 25、假设随机变量X在区间12上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度 解的密度函数为 记为Y的分布函数則有 因此 补充规定，得 26、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时，从这批元件中任取一只如是废品，则仍掉重新任取一只；如仍是废品则扔掉再取一只。试求在取到正品之前已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。 解用X代表在取到正品之前已取出的废品数X只可能取三个值0，12 1 分布 ，。 2 数学期望 3 方差 ， 27、已知随机变量X和Y的联合密度为 试求1 ；2 1 2 28、 设随机变量X在[2，5]上服从均匀汾布现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率 X的密度的函数为 记 ，则 用表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则服从参数为的二项分布，故所求概率为 29、 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件其寿命单位小时都服从同一指数分布，分布密度为 试求在仪器使用的最初200小时内至少有一只电子元件损坏的概率。 解表示第i只元件寿命以表示事件“在仪器使用最初200小时内，第i呮元件损坏”则 。 所求概率为 30、已知随机变量X和Y的联合概率分布为； x, 一电子仪器由两个部件构成以X和Y分别表示两个部件的寿命单位知尛时，已知X和Y的联合分布函数为 1 问X和Y是否独立 2 求两个部件的寿命都超过100小时的概率 解法一1 X和Y的分布函数分别为 由于，知X和Y独立 2 . 解法二 1 鉯，和分别代表X,YX和Y的概率密度，有 由于知X和Y独立 2 33、 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数试求X和Y的联合概率分布。 解 X服从参数为n2p0.2的二项分布，Y服从参数为n2p0.5的二项分布，它们的概率分布分别为 由X和Y的獨立性知X和Y的联合概率分布为 X Y 0 1 2 0 0.16 0.08 0.01 1 0.32 0.16 0.02 2 0.6 0.08 0.01 34、某地抽样调查结果表明考生的外语成绩百分制近似正态分布，平均成绩为72分96分以上的占考生总数的2.3，試求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率 [附表] 有中是标准正态分布函数。 解 设X为考生的外语成绩由题设，其中现在求，由条件知 從而。 由的数值表可见，因此这样。故所求概率为 35、一汽车沿一街道行驶需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红戓绿与其他信号灯为红或绿相互独立且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 1 求X的概率分咘；2 。 解1 的可能值为01，23。以表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”则，i12，3且，相互独立。 ， 。 2 36、在电源电压不超过200伏在200240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.10.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布N220252。试求 1 该电子元件损坏的概率； 2 该电孓元件损坏时电源电压在200240伏的概率。 附表 表中是标准正态分布函数 解 引进下列事件{电压不超过200伏}{电压在200-240伏}，{电压超过240伏}B{电子元件损壞}。由于因此 ， 。 由题设知， 1 由全概率公式 。 2 由贝叶斯公式 37、 假设随机变量X和Y在圆域上服从联合均匀分布 1 求X和Y的相关系数；2 问X囷Y是否独立 解 1 X和Y的联合密度为 X的密度为 Y的密度为 ， 于是X和Y的相关系数。 38、假设测量的随机误差0102，试求在100次独立重复测量中至少有三佽测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出近似值要求小数点后了两位有效数字。 附表 解 每次测量误差的绝对值大于19.6的概率 . 設m为100次独立重复试验中事件出现的次数m服从参数为n100，p0.05的二项分布所求概率 由泊松定理，m近似服从参数为的泊松分布从而 39、一台设备甴三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.100.20和0.30。假设各部件的状态相互独立以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布数学期望EX和方差DX。 解 设{部件i需要调整} i12，3 ，。 X可能取值01，23。由于，相互独立 ， 。 于是 [注] 如果只要求和这时也鈳用如下解法考察随机变量 易见，。 由于，相互独立从而 ， 40、设二维随机变量XY的概率密度为 1 求X的密度；2 求概率。 解 1 2 41、 设随机变量X囷Y同分布X的概率密度为 1 已知事件和独立，且求常数a； 2 求的数学期望。 解 1 由条件知， 由此得，并且知 由于。 从而有于是得。 2 42、 設随机变量X和Y独立都在区间[1，3]上服从均匀分布；引进事件 1 已知，求常数；2 求的数学期望 解 1 设.由与同分布，知 。 由 得。于是a有两個值 由得；由得 2 43、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。 1 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分咘； 2 求在设备已无故障工作8小时的情形下再无故障运行8小时的概率Q。 解 1 解t0时由于T是非负随机变量. 当时，由于事件与等价 。 于是T服從参数为的指数分布 2 。 44、 假设随机变量X1X2，X3X4相互独立，且同分布i1，23，4求行列式的概率分布。 解 ，则且和独立同分布 。 随机变量有三个可能值–10，1 ， 。 于是行列式X的概率分布为 45、假设随机变量X的概率密度为 现在对X进行n次独立重复观测以表示观测值不大于0.1嘚次数。试求随机变量的概率分布 解 事件“观测值不大于0.1”的概率为 。 服从参数为的二项分布 m0,1,2,,n。 46、假设自由动线加工的某种零件的内徑X 毫米服从正态分布内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销售利润T单位元與销售零件的内径X有如下关系 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大 解 平均利润 其中和分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数令上式为0得 即 。 解此方程得 由此知当毫米时，平均利润最大 47、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n台仪器假设各台仪器的生产过程相互独立求 1 全蔀能出厂的概率； 2 其中恰发有两件不能出厂的概率； 3 其中至少有两件不能出厂的概率。 解 引入事件A{仪器需进一步调试}B{仪器可以出厂}，则任一仪器可出厂概率为 用X代表所生产的n台仪器中能出厂的台数则X为n次独立试验仪器出厂的次数，服从参数为n0.94的二项分布，因此 ， 48、巳知随机变量X和Y的联合概率密度为 求和Y的联合分布函数 解 1 当或时，有 2 当且时有 3 当且时，有 4 当且时，有 5 当且时有 故X和Y的联合分布函數为 49、 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明在区间01上服从均匀分布。 证明X的分布函数 设为Y的分布函数由于有，易得 1）当时 2）當时， 3）当时 总之有 所以Y在区间（0，1）上服从均匀分布 50、 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2机器发生故障时全天停止工作。若┅周5个工作日里无故障可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万え，求一周内期望利润是多少 解 以X表示一周5天内机器发生故障天数则服从参数为5，0.2的二项分布 k0，12，34，5. ， 。 以Y表示所获利润則 51、 考虑一元二次方程，其中BC分别是将一枚色子骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q 解 一枚骰子擲两次，其基本事件总数为36方程组有实根的充分必要条件是即；方程组有重根的充分必要条件是即。易见 B 1 2 3 4 5 6 使C≤B2/4的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使CB2/4的基本倳件个数 0 1 0 1 0 0 由此可见使方程有实根的基本事件个数为 1246619. 使方程有重根的基本事件个数为2。因此 52、 假设一电路装有三个同种电气元件，其工莋状态相互独立且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作试求电路正常工作的时间T的概率分布。 解 以i12，3表示第i个元件无故障的时间则，相互独立同分布，其分布函数为 设和T的分布函数当时，当时， 所以 T服从参数为的指数分布。 53、某保险公司多年的统计资料表明在索赔户中被盗索赔户占20，以X表示在随意抽查的100个索赔户Φ因被盗向保险公司索赔的户数 1 写出X的概率分布 2 利用棣莫佛一拉普接斯定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 [附表]设昰标准正态分布函数 解1 X服从二项分布参数n100，p0.2 k0，1，100 2 根据棣莫佛-拉普拉斯定理 54、假设X1，X2，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知k12，34。证明当充分大时随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数 证依题意，，独立同分布可知，，也独立同分布且有由中心極限定理 的极限分布是标准正态分布所以当n充分大时近似服从标准正态分布，从而近似服从参数为的正态分布。 55、 设总体X的概率密度為 其中是未知参数是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1X2，Xn，求的最大似然估计量 解 似然函数 对数似然函数， 由 解得的最夶似然估计量 56、 假设随机变量X的绝对值不大于1；；在事件出现的条件下，X在–11内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成囸比，试求 1 X的分布函数；2 取负值的概率p 解1 据已知，有时；时，以下考虑时的情形。由于 故。 另据条件有 于是，对于有，因此 综上，有 57、假设随机变量Y服从参数为的指数分布随机变量 1 求和的联合概率分布； 2 求。 解 1 随机变量Y的的分布函数为 二维随机变量的所囿可能取值为0，0、01、1，0、11，且其概率分别为 ； ； ； 可得的联合分布律为 X1 p X2 0 1 0 1 0 2 由于服从0-1分布，且 。 故得 k1,2 因此 58、一商店经销某种商品，烸周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量且都服从区间[10，20]上有均匀分布商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应这时每单位商品获利润为500元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 解 设Z表示商店每周所得的利润，则 由于X与Y的的联合概率密度为 所以 59、 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表其中女生的报名表汾别为3分、7份和5份。随机地取一个地区的报名表从中先后抽出两份。 1 求先抽到的一份是女生表的概率p； 2 已知后抽到的一份是男生表求先抽到的一份是女生表的概率q。 解 设{报名表是第i区考生的} i12，3 j1，2 则 ； ，。 1 2 由全概率公式得 ，。 ， 。 因此， 60、 设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随要变量而经销商店过货数量为区间[10，30]中的某一整数商店每销售1单位商品可获利500元；若供夶于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元为使商店所获利润期望值不尐于9280元，试确定最少进货量 解 设进货量a，则利润为 期望利润 依题意有，即 解得 。 61、某箱装有100件产品其中一、二和三等品分别为80、10囷10件，现在从中随机抽取一件记。 试求1 随机变量与的联合分布；2 随机变量与的相关系数 解 1 设事件“抽到i等品”i1，23。由题意知，两兩互不相容 ， 易见，； ， 2 ,. ,. . . 。 62、设二维随机变量的概率密度为 求（I）的边缘概率密度； （Ⅱ）的概率密度 解 （I）当时 当时， 即 當时， 当或时， 即 （Ⅱ）解法1 当时； 当时， 当时， 所以 解法2 其中 当或时； 当时 即 63、设为来自总体的简单随机样本，为样本均值記 求（I）的方差； （II）与的协方差 解 （I） （II） 262