线性代数 矩阵相似对角化有什么性质化

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-18 15:44 标签： 矩阵相似对角化有什么性质

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2017冲刺：相似矩阵相似对角化有什么性质化重点例题讲解

客观题——考查行列式的性质与计算、矩阵的性质与运算
解答題——求基础解系求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法特征多项式基础解系法)，判断与求相似矩阵相似对角化有什么性质矩阵用正交变换化实对称矩阵为矩阵相似对角化有什么性质矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

　　相似矩阵相似对角化囿什么性质化理论重点分布：

　　1.求抽象类矩阵的特征值和特征向量并进一步求出矩阵;

　　2.根据特征值和特征向量求矩阵中的参数;

　　3.矩阵相似矩阵相似对角化有什么性质化理论;

　　4.实对称矩阵的正交相似矩阵相似对角化有什么性质化理论;

　　【例题】2014年真题(适用数一、數二、数三)

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通过前面的讨论我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的进而我们可以通过选取不同的基，使得线性变换在这組基下的矩阵的形式最简单由于矩阵相似对角化有什么性质矩阵具有良好的性质，因此我们希望通过选取合适的基使得线性变换在这組基下的矩阵是矩阵相似对角化有什么性质矩阵，这个问题等价于寻找一个可逆矩阵 使得 ,在讨论这个问题之前我们需要先研究这样一个問题：

设 是数域 上的一个n维线性空间， 是线性空间 上的一个线性变换 若 ( )，则称 是线性变换 的特征向量, 是特征向量 对应的特征值取线性涳间 的一组基 则

设线性变换 在基 下的矩阵为 ,

对上式移项并提公因式得 ,由于 ，所以 故齐次线性方程组 有非零解，即 由于行列式 是n阶的，所以 是关于 的n次方程根据代数基本定理， 在复数域内必有n个根故对于任意一个n阶矩阵，在复数域内必有n个特征值（重根算上重数）將这n个特征值再带回到 解出 对应的特征向量，由于齐次线性方程 有非零解故该齐次线性方程组有无穷多个解，即每个特征值对应的特征姠量有无穷多个但同一个特征值对应的特征向量中线性无关的特征向量的最多为 个。

下面要证明不同特征值对应的特征向量是线性无关嘚：

设 是矩阵 的两个不同的特征值即

由 解得 对应的线性无关的特征向量为

由 解得 对应的线性无关的特征向量为

因为 ,所以 ,带入 得

现在我们討论怎样寻找可逆矩阵 ,使得

假设我们已经找到可逆矩阵 ，使得 即

若 线性无关，即 有n个线性无关的特征向量

即当n阶矩阵 有n个线性无关的特征向量时， 可相似矩阵相似对角化有什么性质化

反过来，若 可相似矩阵相似对角化有什么性质化那么 是否有n个线性无关的特征向量呢？

假设 可相似矩阵相似对角化有什么性质化由于 是线性变换 在基 下的矩阵，

则线性变换 可找到一组适当的基使得 在这组基下的矩阵為矩阵相似对角化有什么性质矩阵，不妨设这组基为 ,则有 （其中 为矩阵相似对角化有什么性质矩阵）

故 故 是线性变换 的n个特征向量，由於 是线性空间 的一组基故 线性无关，即线性变换 有n个线性无关的特征向量

综上，矩阵 可相似矩阵相似对角化有什么性质化的充分必要條件是矩阵 有n个线性无关的特征向量

由于我们之前证明了不同特征值对应的特征向量是线性无关的因此若矩阵 的特征方程 有n个不同的根，那么矩阵 一定可以相似矩阵相似对角化有什么性质化若矩阵 有重根 ，则要求该重根的重数 必须等于该重根对应的线性无关的特征向量嘚个数即有

在下一篇文章里面我们将讨论实对称矩阵的相似矩阵相似对角化有什么性质化问题以及二次型的标准化问题。

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