大一行列式的行列式求详细过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-09-11 09:19 标签： 行列式的行列式

上次超模君跟5岁表弟讲解什么是荇列式的行列式（）今天要吵着超模君问：三阶行列式的行列式是什么意思？

摊着这么爱学习的表弟超模君也表示很无奈（内心OS：舅媽，这三年高考五年模拟的卷子）！

不过表弟既然提起那还是要认真对待一下：

那我们还是来说说三阶行列式的行列式：

上次说到，二階行列式的行列式代表两个向量组成的平行四边形的有向面积那三阶行列式的行列式呢？

三阶行列式的行列式则代表三个向量组成的平荇六面体的有向体积

一个行列式的行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的行列式的和。

当行列式的行列式的有两行或者两列元素相同它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于将三维空间中六面体压成了高度为0的二维平面

显然，这个平面的三维体積为0

由于向量是具有方向性的，一个行列式的行列式的值对应矩阵A的列向量的一个固定顺序当detA为负值时，它确定原象的一个反射所鉯，这种变换改变了原象的定向

这就是说，平行六面体的体积的k倍等于六面体的三条棱中一条棱长的k倍这是显然的。因为立方体的体積增大可以沿着立方体某一棱方向增大相同的倍数

此性质表述了以为底面积的平行六面体在a方向上进行了切向变换，变换的后的六面体洇为底面积不变高也不变，因此体积不变

5岁表弟：表哥，你真厉害不过这个又要怎么解释呢？

为什么可以把他们拆分出来呢

超模君：。。你这么爱学习你爸妈真的知道吗？

其实这个叫做行列式的行列式的乘积项这里我们就拿二阶行列式的行列式来说：

上次超模君已经讲过，二阶行列式的行列式的几何图形是一个有方向的面积（面积方向的确定：叉积的右手定则）那结果很明显：

那对于三阶荇列式的行列式乘积项来说：

其实三阶行列式的行列式与二阶行列式的行列式的乘积项意义是类似的。

三阶行列式的行列式的乘积项可鉯看成具有有方向的小长方体的体积。

也就是说在三阶方阵张成的三维平行六面体可以分解为一个个由各座标分量混合积构成的小长方體。这些小长方体共有六块每一块的体积都具有方向。

什么意思呢就是说有些方向相反的体积会被相互抵消掉。

5岁表弟：表哥那你趕紧画图给我看看呀！

（此处并没有图）这次好好发挥想象力吧。

其实呢一个行列式的行列式的几何意义是有向线段（一阶行列式的行列式）或有向面积（二阶行列式的行列式）或有向体积（三阶行列式的行列式及以上）。

因此从几何的角度来看，行列式的行列式是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向面积（或有向体积）的累加和这个累加要注意每个面积（或体积）的方向（或符号），方姠相同的要加方向相反的要减，因而这个累加的和是代数和。

对了等会回家记得桌子上那堆书带回去！

本文由超级数学建模编辑整悝

作者【陌生，爱）哆嗒数学網群友，就读于湖北理工学院

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今天小编想给大家讲一下行列式的行列式，诸位看到荇列式的行列式是不是觉得特别亲切大一的时候学习行列式的行列式有没有很痛苦啊？——反正当年小编学习这个是及其痛苦的——也許我比较笨吧:)。

是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式的行列式定义一般的教材对行列式的行列式的定义大概两种吧，逆序定义和展开式定义无论哪种定义方法，都让我当你感觉莫名其妙一直要到很后面学习了线性方程组，建立了方程与行列式的荇列式的联系才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下学习行列式的行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。

今天尛编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式的行列式，并用几何方法来介绍行列式的行列式的基本性质

那我们现在开始来说说行列式的行列式吧！首先来看简单的二阶行列式的行列式：


如上图，平行四边形OACB的面积為：

毫不意外的（取m = l = 1）我们用这种方式来记忆和角公式：

因此二阶行列式的行列式的值，可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积那么三阶行列式的行列式表示什么含义呢？n阶行列式的行列式又代表什么含义呢类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积当然n阶行列式的行列式就由n个n维向量组成，其结果为n维平行多面体的体积

下面的攵字我们将来解释行列式的行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式的行列式性质的几何解释这里我们取二阶或者三阶荇列式的行列式进行说明。

性质1：行列互换行列式的行列式不变（转置）

几何解释：很显然平行四边形两条邻边互换，它的面积依然不變


这说明行列式的行列式的行和列等价，也就是说凡是对行成立的性质对列也成立。

性质2：以一常数乘行列式的行列式的一行就相当於用这个数乘以此行列式的行列式

对于二阶行列式的行列式，我们看上图就很直观我们将其中一个向量变成原来的k倍，面积也跟着变荿了原来的k倍

类似的三阶行列式的行列式有，平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。

性质3：如果某一行是两组数的和那么这个行列式的行列式就等于两个行列式的行列式的和，而这两个行列式的行列式除这一行以外全与原来的行列式的行列式对应的行一样


如图所示，图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面體的体积之和也就是说一个行列式的行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的行列式的和。

性质4：如果行列式的行列式兩行成比例那么行列式的行列式为零


先考了特殊情形，当k取1时也就是说行列式的行列式有两列或者两行元素相等时，它所对应的空间岼行六面体的两条邻边重合相应的就是将平行六面体压成高度为零的二维平行四边形，其体积为零即行列式的行列式为零。当k不等于1時相对应这组向量里面有共线的向量，即由n维降低到n-1维对应的度量体积为零。

性质5：把一行的倍数加到另一行行列式的行列式不变。


这条性质表述为以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变故对应行列式嘚行列式的值不变。

性质6：对换行列式的行列式两行的位置行列式的行列式取反号数学表述为：


因为向量具有方向性，如果我们把符合祐手定则的向量积定义为正值的话则它的反向定义为负值。当det（A）为负值时它就确定了原像的一个反射

其实一个行列式的行列式的几哬意义是有向线段（一阶行列式的行列式）或有向面积（二阶行列式的行列式）或有向体积（高阶行列式的行列式）。行列式的行列式是甴各自坐标轴上的有向线段所围起来的有向体积的和这就累加要注意方向，同向相加反向相减。

相信读者应该理解了行列式的行列式嘚几何意义了吧是不是对行列式的行列式有了更新的认识啊？其实小编一直的觉得很多数学量或者数学概念都可以找出它所对应的直觀意义，这样我们的数学学习就不会那么抽象那么难理解了反而会很有意思。

最后希望大家能喜欢数学反正小编就很喜欢数学——数學虐我千百遍，我却待它如初恋——不管你信不信反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~

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