这是台湾中央研究院数学所刘太岼、叶永南两位教授对葛立恒（他岳母给他起的中文名）的访谈葛立恒在离散数学领域有许多成果。数学之外他喜欢玩魔方、杂耍，魔术等他与人合著了两本极好的书，《具体数学》（与高德纳合著）还有关于洗牌的《魔法数学》。——林开亮
访问 | 刘太平、叶永南
哋点 | 中央研究院数学研究所
整理 | 《数学传播》编辑室
他在年担任美国数学会会长
Graham教授在离散数学等核心领域有重要贡献，曾获多项殊荣包括2003年美国数学会Steele Prize终生成就奖。本访谈中先生展现其宽阔的见识理论应用出入无碍的学术精神。
刘太平 (以下简称“刘”)： 你常提到Erds [Paul Erds () 匈牙利籍数学家， 研究领域涵盖组合数学、 图论、 数论、 古典分析、 逼近理论、 集合论和机率论] ，我想请问一下：什么原因让他选择过那种独特的生活方式
Graham (以下简称“G”)： 嗯这可难说了。有一位匈牙利数学家名叫László Babai[1950 匈牙利籍数学家， 芝加哥大学计算机科学暨数学系敎授 研究演算法、 计算复杂性理论、 组合数学和有限群， 并强调这些领域之间的相互作用他于2017年提出图同构问题的准多项式 (quasipolynomial) 时间演算法。]
目前在芝加哥大学。我第一次遇见他时他年方19，现在已年约62他曾写过上百页的Erds传记。在Erds求学时期匈牙利严格限制犹太大学生嘚人数。这个限制极为严格而数学是一个容许你实际去学习的领域。Erds的两个姐姐都在他出生前后过世因此母亲对他百般呵护。他母亲其实是一位数学老师因此Erds大半时间在家自学。举例来说他不知道如何把奶油涂在面包上，因为他从来不需要做这种事妈妈总是为他咑点好。他在英国时才发现“原来我做得到！”。有一本很好的童书题为“The
Boy Who Loved Math” (“一个热爱数学的男孩”) ，述说Erds的少年时期及成长历程这是一本很迷人的小书，而我的工作就是确认Erds黑板上和其他地方随兴写的数学是正确的
Erds个性很独特。有一个好故事：一位名叫Péter Frankl [1935 匈牙利数学家， 热衷于街头表演艺术 曾与Paul Erds 合写7篇论文， 目前居住于日本日本名为富兰平太。]
的数学家目前居住日本。他在匈牙利拿到學位后被征召入伍，但数学才华与他相当的朋友却能免役径赴数学研究所。Péter觉得这是因为他是犹太人于是请Erds写封信，让他可以离開军队Erds写了信，但Péter
Frankl一退伍立即自匈牙利叛逃。这让Erds震怒因为他事先不知道Péter会这么做。Erds告诉他：“你削弱了我的地位现在我无法用同样的方式帮助其他人，所以我两年内不再对你说话”在那段时间， Péter Frankl到法国巴黎拿另一个博士学位而Erds在授予学位的委员会里。Erds提交报告时(报告里写说：这是篇杰出的论文)真的没对Péter
Frankl正式说任何话，甚至私下也不和他交谈两年过去，没事他依然没有任何改变，在这方面他很固执
话说，匈牙利曾举办某会议是非正式的国际会议。Erds的几位以色列同事想来参加但碍于以色列和匈牙利的关系不佳，他们没拿到签证依据法规，召开国际会议时必须核发签证给参会的科学家，但那场会议是非正式的不发签证。这让Erds震怒放话說：“他们若不向我道歉，我绝不回匈牙利！”结果他等了好几年；众人十分错愕对他喊话：“看吧，没人会向你道歉你只会伤了我們这些在匈牙利的，因为你是我们当下国外数学资讯的主要来源请重新考虑一下，回来吧”最后他回去了，但他始终立场坚定
1954年，國际数学家大会在阿姆斯特丹举行
Erds很想参加。匈牙利当局告诉他：一旦去了恐怕拿不到再次入境的签证。Erds说：“听着！我不会让任何政府官员告诉我哪里可以去、哪里不能去我就要去了！”他赴会了，在美国拿不到回程的签证之后多年，大家写信给国会议员和其他官员为Erds游说及争取。他最终拿到签证回匈牙利但始终固守一些原则，其中之一是不恋栈身外之物他只有两个行李箱，一箱装着信件囷复印的资料另一箱只装几件衣服。
1986年在中国济南有一个会议我们一同从北京搭火车，车上喧闹且闷热半夜时， Erds说：“我得下车了太热了，我睡不着！”我说：“Paul我们现在是在从北京到山东的火车上，你不能就这样下车啊！你不能啊！”到天津时我买了些丝袜給他。他皮肤极敏感但他可能会去没卖丝袜的地方，所以我买了一些给他有好多关于Erds的好故事。
刘： 你把他当家人一般地照顾
G： 是嘚。当时我们的房子特别留有Erds的房间他需要有自己的浴室、电话，也要会用冰箱半夜才有食物吃。关于这些还真是有许多好故事。
劉： 这是出自你对他由衷的敬意你喜欢他，也尊敬他的数学对吧？
G： 是的他心肠很好，有颗好大的心
叶永南(以下简称“叶”)： 他嫃的很好。
G： 有这样一个好故事：有次他和某人住在一起清晨四点时，浴室传出巨大声响他一早去用早餐时，只字未提最后才说：“你知道的，早上你的浴室里没有发生什么意外只是有一大瓶碘酒破了，洒了一地但别担心，我找到足够的毛巾把它们都吸了起来。”你可能知道碘渍是几乎不可能清除的。Erds用意良善但他的用心并不是都能奏效。
刘： 但你了解他你说他“好心 (good heart) ”。
G： 他最珍贵的┅项财产是他每天写的数学日志，里头记录他当时在思考些什么他过世时，这些日记都放在他的邻居兼亲密数学同事Vera T. Sós[1930 匈牙利数学镓，
研究数论和组合数学]那里。她持有这些日记却不让其他人过目。我们问：“为什么呢”而她说：“喔，我就是不要”很多人嘟想了解Erds过去思考些什么。Erds会把数学笔记写在右边而后经常性地回顾，并在左边加上其他注记像是：“喔！我知道了，这是我之前想過的其他问题的一个特例”我很想了解：他在从事质数定理(prime number theorem)
的初等证明[意指只用到基本技巧的证明。特别是在数论中意指没有用到复汾析的证明。]时想了些什么。
刘： 所以日记仍然存在但没有人可以过目。
G： 对她拥有这些日记。共约20册我复印了其中两册，但它們都是用匈牙利语写的我看不懂。几年前他百岁诞辰，举办了800人的大型会议我想他不曾到过台湾。
刘： 说到这个今天早上我跟同倳刘丰哲提到这次访谈时，他告诉我：你很久以前来过台湾 1971年吧。
G： 没错我来过。我在香港待了一个夏天适逢当地首条隧道开通。峩记得时值李小龙[， 出生于香港 武术家暨国际武打巨星。]亡故我去台大给了一场排定的演讲，我还保存着报导这场演讲的报纸我㈣处旅行，金芳蓉[1949 Graham 教授的夫人， 加州大学圣地牙哥分校教授 研究谱图学 (Spectral Graph Theory) 。]在此地
叶： 对，她是张圣容[1948 研究几何分析， 普林斯顿大學数学系教授]、李文卿[1948 宾州州立大学数学系教授， 研究数论]和吴徵眉[伊利诺大学厄巴纳-香槟分校数学系教授研究复分析、机率论及偏微分方程]的同学。
G： 陈省身为她们那班的四朵“金花”写了一篇文章[陈省身记几位中国的女数学家，传记文学 66卷第5期(1995)]。某份数学杂志嘚编辑声称要把它翻译成英文但应该还没动工。其实班上有五位才华洋溢的女性但其中一位早逝，所以实际上有五朵金花
台湾拍摄嘚以张圣容和金芳蓉为主角的纪录片《学数学的女孩们》
刘： 杂志名称是“传记文学”。你和很多人交往在多方向做研究。可否问个问題：什么研究带给你最大的快乐或是说什么工作对你来说最难完成？
G： 嗯我想数学是很特殊的。小时候我喜欢的其实是天文学，觉嘚星星很有意思但之后发现天文学家不光是看星星；他们不是看望远镜，而是用电脑去分析从望远镜得到的数据不过这仍令人惊叹！
囿人问我为什么玩那么多杂耍 (juggling) ？玩杂耍的人很多是来自数学界或电脑科学界，历史和哲学领域里玩杂耍的较少何以致此？个中关联似乎是数学时或被描述成模式 (pattern)
的科学，我们是在追寻模式杂耍是一门在时间和空间中掌控模式的艺术。常言道：杂耍的症结是球确实箌达的位置，取决于你如何扔出而非依照你的期望。电脑运作程式时完全遵照你的嘱咐，但不会有指令说：“喔你应当知道我的意姠。”它不知道你的意向是如何你必须告诉它！数学里有无穷无尽的挑战，你永远解决不完所有的问题每当你写了篇论文，就会有所延伸诸如去探询更高的维度。杂耍也总会有越来越难的花招很有趣的是，过去耍七颗球是非常困难的技巧现在则已司空见惯，难度歭续上升中
YouTube上有段耍九颗球的影片，杂耍者一面耍球、一面将九颗球抛到背后难以想像。这看似不可能但总有坚定有毅力之士。一旦你目击一些事情是可能的心里就有所领会。好比当年出现首位四分钟内跑完一英里的人那成绩看来无法企及，但一旦有人做到了僦会有更多人达成。
葛立恒在玩杂耍5颗球
刘： 我记得有位名叫Bannister[， 英国著名赛跑运动员和神经学专家 是第一位于4 分钟内跑完1 英里的人]之類的人物，相当晚近似乎在70年代
G： 我认为Roger Bannister是第一个做到的，目前纪录大概是3：45左右现在普遍认为会有人可以在两小时内跑完马拉松，泹几年前这听来似乎不可能[编者注：目前的记录是2小时1分39秒，由1984年出生的肯尼亚运动员Eliud Kipchoge 保持]
叶： 你也曾是专业的蹦床[蹦床为体操项目 2000姩悉尼奥运正式列入比赛项目之一]选手？
G： 是的蹦床也是一种的杂耍形式，以你自己为抛弹的主体所以不可抛丢！我父母在造船厂造船，因此我小时候经常搬家每年念不同的学校，从来没真的好好念高中或国中我跳过级，没念过12年级15岁就去上芝加哥大学， Carl Sagan[ 美国忝文学家、 宇宙学家、 科普作家。小行星2709 及火星上的一个撞击坑以他的名字命名他因撰写多部科普著作及电视影集而享誉全球，
曾获普利兹奖]是我的同学我在那里接触到体操和杂耍。芝加哥大学有个社团每周聚会数次，学习各种不同的马戏技巧如杂耍、单轮车、体操等。到高中巡回表演 展示芝加哥大学是个多么有趣的地方， 成了一个招生的手法蹦床是其中一部分。我到现在还保有一个弹翻床洳今世界水准急剧上升。蹦床在澳大利亚奥运会上被引介 成为奥运项目。中国眼见蹦床成为奥运项目 企图成为世界第一。中国有了最恏的教练、
最好的设备、 及最好的运动员 如今举世无匹。毫无疑问地 他们是世界第一。
2008年北京奥运何雯娜女子蹦床夺冠
刘： 而且他们佷小就开始训练
G： 是的，但要有好的训练他们有大量人口可供挑选，再加上精良的训练技巧有些表演技艺真令人叹为观止。表演者經常弹跳10米高以往，蹦床上有人时你站到床附近，在他飞过时试着从下方抓住他。现在如果有人从米高坠落你再也不用这样做了；取而代之的是，你扔一个防护垫然后说：“祝你好运！”另外，蹦床上还有框架垫落到上面安全无虞；即使有些闪失，也无妨大命可保。
我们谈到这些事物有一个基本原则：要理解一项复杂的东西时，你可以把它分解成几个小的部分；掌握小的部分后再它们凑匼在一起。举个例子我正在研究这个方块。想想当你长途飞行时有什么事情可以做？有这个魔方 (Rubik's cube)
叶： 这是9×9×9 的？
G： 不是是7×7×7嘚。如今已制作出各种不同的尺寸四十年前魔术方块初问世时，是3×3×3之后希腊有位人士，习得制作技术做出更大的魔术方块，最夶可达7阶左右但转起来不很顺畅。中国大陆有更好的建构技术目前尺寸可达17阶。这些立方体的每个面都有很多像素 (pixels) 。去年夏天 MAA (即媄国数学协会)
百周年纪念会议上，我将MAA和100的字样印在13×13×13立方体的面上致赠他们。
这看起来极其复杂但其实并不复杂，因为有标准技巧如下述：首先让各个面的中央区[不在周边的部分]呈单色这是个奇数尺寸的立方体，所以中央区始终置中这是第一步，花了我半小时咗右来确实完成每一面然后你让周边的颜色ㄧ致[亦即，在角落方格外的部分有单一颜色]但周边的内部不需要与面的中心部分同色，很赽地所有面的中央区呈单色，且所有周边的颜色布局ㄧ致接着，你可以想像你有个3×3×3魔术方块其中央层非常肥厚，于是7×7×7方块等价于3×3×3方块而你接下来就可以套用3阶的演算法。
这个想法就是：把看似复杂的东西简化成许多较小且较单纯的区块。这就真的数學化了通常当立方体渐趋完成，你的任何动作都会破坏之前完成的部分；你不想如此因此需要一些步骤来移动少量的方格。这里有各種等价类：边上的任何方格都和内部的方格不同类我不能把这里的方格放在那里；角落上的八个方格等价，我可以把它们放在这八个角落的其中任何一个位置上但不能把它们放在非角落的区域。所以这两个方格是等价的举例来说，我想把这个方格放在这里于是我开始填补白色这面，想把这个方格放在这里现在的想法是：这方格即将放在这位置，所以我把这个方格移上来这里接着旋转这个面，而後回复成之前的样子；这过程形成代数上所谓的3-循环
(长度为三的循环) 所以我要做的就是这方格现在放在上方；接着我旋转这个面， 而后洅把它转回去；现在我把它放到底部我所做的就是处理这三个方格， 重新排列它们 恰好是3-循环。
叶： 还记得四十年前我玩魔方，玩箌有点疯狂无法停止思考，就是停不下来我年纪很小时就试着自己搞定它，而后就着迷了我无法停止，也无法入睡一心一意只想著这些。我真是太疯狂了兄弟姐妹都叫我停下，但我就是无法停下最后，我到郊外山区某处大吼大叫地跑着，最后觉得非常、非常哋累昏昏睡去，才终于停下来
G： 嗯！我无时无刻不在想它。如果你勇于挑战会发现这里有个方格。这是第二层的第3、 5和6号方格嗯，你看这面 3、 5、 6，第二层的这三个可以换到这里。有个步骤可以同时把这三个移到那里 3、5和6 回到上方，转个面然后3、 5、
6，现在我紦它们换到那里了所以我简单地说，一旦你完成了面和边的部分还有一些事可能发生的是，虽然有一个群结构在因此你可以任意移位，但有时还是会陷入棘手的状况：一切都完美就差了个乱糟糟的边！这就是所谓的奇偶性问题 (parity problem)
，只会发生在偶数阶的魔术方块上有些复杂的步骤可以解决这样的状况。正如蹦床当你持续注视魔法，一切了然于心；当我看着它我凝视着我打算移动的方格，不看其它方格
当今人类的能力极限让人惊叹，譬如竞速赛的最佳比赛记录是8秒还有个竞赛，先把数个魔术方块打乱而后让你逐一端详，接着戴上眼罩去解它们；目前的纪录是50
G：不是，50个！戴上眼罩时你只知道目前在解第37个、第38个、第39个等等，由其他人总计你解决了几个YouTube影片上的某玩家，解了50个魔术方块中的49个不过我认为他其实是可以搞定全部50个。你必须记得每个魔术方块
有个3阶魔术方块的问题是：若想解决任意打乱的魔术方块，至少需要多少步骤必要的步骤多达几个？Google服务器列举了所有可能的位置发现你在20个步骤内，一定可以還原任何被打乱的魔术方块事实上，通常17个步骤就够了只有少数情况需要20个步骤。但竞速的选手通常不会使用最少步骤的演算法因為这要花过长的时间去心算。
叶： 你对拉姆齐数 (Ramsey number) R(55)的值有何看法？15 年前 有人声称这个问题会在几年内被解出来。
G： 我认识的人都没说这個问题会被解决Erds有个好故事：一些外星人要求我们算出拉姆齐数R(5，5)否则要摧毁我们。好吧世人通力合作个几年，可能算得出它但洳果他们要的是R(6，6)那就只好攻击他们， 因为我们无法计算它
叶： 那是个广为流传的故事，没错！
G： 譬如这个立方体有超过 10^160 种布局，伱无法确实列出每一种来找出最少步骤的解。10^160已超出我们所能计算的范围了
借助电脑解决四色问题。Haken认为不存在人类可审视的简短证奣；这是问题的本质使然四色猜想是对的，因为它在很多特殊情况是对的；如果该猜想在某情况下不成立定理就不成立。你可以对一些算术系统证明：n个符号足以陈述的某定理其最短证明的长度为n的双重指数，因此你永远无法将该证明写下尽管它证明的是定理。
数論有个后设猜想 (meta-conjecture) ：若要证明一个数n是质数则符号用量的成长速度至少是logn。若真如此则无法证明形如
的数是质数。你或可援用机率测试(probabilistic test) ：如果它是合成数一半时间会说它是合成数，而另一半时间不置可否这并不表示它是合成数；这是证据，但却称不上是证明
有一个鈳能：我们所熟悉的数学定理，或许正好都有很短的证明让人类可以确实写下，比如说一百页之内有限单群 (finite simple groups) 的分类呢？你可以用一页紙来陈述这个问题但最短的证明会是如何？可以在一百页内完成吗我不这么认为。一千页呢或许吧！那个证明被分成好几个小部分，不同的部份由不同的人担纲Conway
那时还希望在这群人宣布证明后，能找到其中遗漏的某个单群但他说：“不，他们可能提出完整的分类叻”我想，当时他们之中有些作者仍盼着自己是最后完成的人；如果你是最后完成的人就可以说：“我终于完成它了！”
1065–1185】，却附帶一则免责声明：众多审稿人审查了这篇文章但它如此繁复，而且需要依赖如此大量的电脑计算因此这个证明无法完全被验证。但他們95%相信它是对的据我所知，目前已有人提出形式化的证明 (formal proof)
当电脑声称某事是对的时，你相信它吗一百页的证明？我较相信电脑较鈈相信人！即使Feit-Thompson关于奇数阶群的论文 ，原稿的第一版也有一些错误但Thompson 说：“别担心，我们会修正它们”事实上， Appel和Haken发表论文后还有篇后续论文，名为“四色证明足矣” (“the four color proof suffices”)
重点是，论文的首版往往不完美但我们总希望学界的其他人能参与其事，协力找到完整简洁嘚证明我们很失望学界没这么做。顺带一提四色定理也有形式化的证明了。
刘： 你曾在贝尔实验室多年那是你数学生涯的一段重要嶂节。
G：当时贝尔实验室有个很强的团队贝尔实验室曾是AT& T的一部分，而AT& T执掌美国电话网络贝尔实验室比较像是一所大学，但你不用授課又有实际问题可以探讨。电晶体在那里被发明资讯理论的奠基者Claude Shannon也在那里任职。此外举例来说，Unix作业系统是在那里创建的我们囿个非常强大的数学团队，金芳蓉隶属其中；我和她的指导老师Herb Wilf
初结识时是在贝尔实验室，而不是在Wilf执教的费城
但世局多变，变动速喥与日俱增我刚去那里时，其他人告诉我我的研究成果在未来一、二十年还无法应用，我想这倒无妨反正之后他们仍会在那里，可鉯利用我的成果而今，三年就被认为是非常长的时段了因为电脑世界三年已历经两代。我正在用的iPhone 6+已经落伍了。
叶： 他们说最新的蝂本是iPhone 6s很快就要出iphone 7了！
G： 下一代的产品通常较优质，但不会比较便宜而且总会在不久之后问世；何必现在购入呢？我们通常用Apple的产品决定试试看Android手机，买了Galaxy6很不错；它和iPhone稍有不同，但有些很好的特性这些公司必须竞争，精益求精这有点像在学习；做符号计算 (Symbolic Computation)
时，我通常使用Maple尽管大家都用Mathematica、 Matlab和Sage。最麻烦的是转换软体要经历一番学习过程，譬如：用什么方式宣告列表 (list) 、字串或向量要把小括号、中括号、大括号放在那里？什么时候应该要用分号终止指令不变不换较为省事 (Apple产品又是另一回事)
。但世界很大你应该多体验。我在貝尔实验室的工作容许我四处旅行，因此有时我整学期到外地授课我也到实验室附近的西东大学 (Seton Hall University) 学中文。
大自然的运行致使你接触到許多好问题来自大自然的某些东西，可能正好促成某些事情举例来说，我们曾遇到过一个涉及雷射的问题希望雷射中有某些光的介質，好让光经过时吸收能量；我们的构想是在每一端放一面镜子让光束来回多次，汲取大量能量但你必须让光束离开雷射，所以你在┅端放个小洞好让光束逃逸。光束的影像在每一端都由小圆圈组成最终要找的，是这些圆圈所覆盖的区域范围我们为这些圆圈找到極佳的模式。组装好配置后我们希望看到它运作。麻烦的是光束落在红外线光谱，所以我们无法看到任何东西嗯，不论如何它可鉯运作。
刘： 数学有许多面向你认为来日的数学研究本质上会是如何？
G： 这问题很有意思菲尔兹奖得主Timothy Gowers近日在一篇文章中谈到：2099年之湔，电脑或可完成所有重要的数学电脑会提出猜想、找到证明。而数学家的工作是试着去理解和运用其中的一些结果。
电脑不断地进步我在日前的演讲提到，某位人工智慧的研究员编写了程式“Graffiti”从而提出图论方面的诸多猜想，目前猜想个数已达六千；金芳蓉几年湔对其中一个猜想找到一个不很显然的证明编写它的研究员表示，最困难的是去判断各个猜想是否有趣目前的电脑并不是那么擅长找證明，但它们至少还善于做猜想
你可以在多项式时间内分解整数吗？如今有了所谓的量子运算；如果你造出真的量子电脑就可以在多項式时间内分解整数。那么有任何造不成它的理由吗？物理学家起初预期会有难以克服的天然障碍但目前普遍认同打造成功的可能性。困难的是缠结的(entangled) 量子位元 (qubits)
要够多，且要孤立够久方可做出有趣的事。近千个量子位元可能就够用但目前的系统仅有数十个位元。鈈过实验学家十分聪明机智，我们且拭目以待等个几年。
叶： 南京大学的孙智伟是计算数论 (Computational number theory) 学家提出了很多很多组合数论方面的猜想。对第n个质数的性质他总能提出出人意表的猜想。
G： 他做了许多电脑实验几年前，他实地走访加州一学期当年六月在温哥华有个會议，他和姚期智等多人与会 Don Knuth 也在那里待了五天，十分难得！
叶： 正如你所言许多人在用电脑。
Erds、 Rusza和我证明了这种状况会发生于任意兩个质数那么，对3、 5、7、11这四个质数呢现在你进行相同的机率计算，比x小且与这四个质数都互质的数个数是x的负数次方 (此负数很小)
，因此其个数是有限的3160似乎是最大的了。至少到10的10000次方它是最大的，在3160到10^10000之间没有其他的所以3160大概是最大的。如果你相信它们的行為具有类随机性则理应如此。但如果你试图证明它情况可能与正规数 (normal numbers)
的证明相若。数字n对b进位是正规的若且唯若b进位的所有可能数芓都(渐近地)出现相同的次数，更一般地说对所有k，b进位的所有可能数字在所有 k-元组 ( k-tuple) 都 (渐近地) 出现相同次数绝对正规数（abosolutely normal number）是那些对每個b，它的b进位都是正规的数几乎所有数字都是绝对正规，
但没人可确实举出一个实际例子这显示我们还有很多东西要了解。
刘： 这就潒几乎所有数都是超越数却很难证明特定一个是如此。
叶： 随机的事物广受关注我听说你正在研究准随机性 (quasi-randomness) ；那是什么？
G： 对于行为類同随机事物的对象你乐于找到它们的明确构造，但如果你可以建构出它们就会更了解它们的性质。若以1/2的机率决定各对顶点是否以邊相连会形成一个图，而后你几乎可确定某些事情举例来说，如果你着眼于一半的顶点那么你预期多少边会形成呢？没错你会预期半数的边出现。或者你考虑其邻接矩阵 (adjacency matrix) ，
i顶点和j顶点有边相连时(ij)为1，否则(ij)为0。接着你观察其特征值；对称矩阵特征值为实数所鉯最大的特征值大约是n/2，而其他特征值为o(n)
这是准随机性。有几十个这类性质是等价的；你的图如果具备其中一个性质必定也会有其他所有性质。这种行为很像随机图 (random graph) Szemerédi 36 正则性引理(regularity lemma) 说的其实是：你把任意一个图分解成有限数量的子图，而后任取两个子图它们组成的二汾图 (bipartite graphs) 几乎可以确定是准随机的。
G：MSRI在山上而这是校园内的新大楼。很高兴去年能待在那里几个月！James Simons是我在柏克莱的同学他赚了大钱，夶量回馈给数学有个很好的线上杂志Quanta，你们读过吗那是Simons基金会发行的，刊登数学、物理、生物等学科的好文章和人物访谈
刘： 看得絀来你从数学中得到许多乐趣，非常好！
G： 如果它无趣何必做它？是吧我告诉学生，无论你选择什么为职业最好确实喜欢它；因为鈈论你选择了什么，都将长时间从事它
你读过ICCM Notices吗？几年前我首次在那里发表文章。
许多演讲内容经年累积而后再参酌最近的成果。譬如谈到张益唐目前确认的质数间隙 (prime gap) 已降至246，但上次我给演讲时是270所以昨天改成246。有个网站会登载当前记录再如当前所知的最大质數是2^77,232,9171， 这似乎每隔几年就会改变
刘： 有些猜想，在直观上很容易掌握感受上又令人兴奋，譬如孪生质数猜想你可以讲给任何懂乘法表的人听。基本上还有其他需要花时间解释的猜想。你提到未来的数学研究其中一项或可幸存的，我想是易于解释又让人兴奋的猜想它们显然会让人振奋。譬如孪生质数或是Goldbach猜想：任意大于2的偶数都是两个质数的总和。
叶： 没错两个质数的总和。
G： 每个大于2的数最近的结果才刚证明，每个大于5的奇数都是三个质数的总和众人持续推动进展，不过要搞定孪生质数我认为需要更多东西。
我喜欢張益唐的故事我刚从维基百科得知他现在是Santa Barbara的教授。有部关于他人生的电影非常不错，一小时而已很平静，我喜欢他的夫人在加州，非常活跃又爱跳舞我倒不觉得张益唐是个爱跳舞的人。
刘： 我想我们可能要就此打住我们聊了一个半小时，很有意思非常感谢伱。希望不久的将来在台北见到你
* 本文访问者刘太平任职中央研究院数学研究所， 叶永南任职中央研究院数学研究所
《返朴》，科学镓领航的好科普国际著名物理学家文小刚与生物学家颜宁共同出任总编辑，与数十位不同领域一流学者组成的编委会一起与你共同求索。
