bundle’Ihnsmissioncharact丽stics，Fiberopticli曲t KEYWoImS：Optical邱erLongtapered助er 目录 摘要……………………………………………………………………………………………I ABSTRACT………………………………………………………………………………………………………………II 目录…………………………………………………………………………………………．V 第一章绪论…………………………………………………………………………………l 1．1灯的发展历程…………………………………………………………………………．．1 1．2本课题的研究背景……………………………………………………………………．．2 1．3研究长距离锥形光纤灯的意义………………………………………………………．．3 1．4本课题研究的主要内容………………………………………………………………．．4 第二章錐形光纤的基本理论………………………………………………………………．．5 2．1光纤的研究……………………………………………………………………………．．5 2．1．1光纤的分类…………………………………………………………………………6 2．1．2锥形光纤的结构……………………………………………………………………8 2．1．3非通信光纤的应用…………………………………………………………………9 2．2锥形咣纤的几何特性…………………………………………………………………11 1 2．2．1锥形光纤的数值孔径……………………………………………………………．1 2．2．2锥形光纤中的子午光线…………………………………………………………．12 2．2．3锥形光纤中的斜光线…………．．．．．………………………………………………．14 2．2．4锥形光纤的弯曲…………………………………………………………………．14 2．3锥形光纖中光信号的偏振特性………………………………………………………15 2．4锥形光纤的功率分布特点……………………………………………………………16 2．5锥形光纤的传输特性分析………………………………………………

年月保定学院学报May,第卷第期JOURNALOFBAODINGUNIVERSITYVol．No．【数学研究】多元分布拟合优度检验研究进展苏岩摘要：探讨多元概率分布的构造理论与多元概率分布拟合优度的各种检验方法指出擬合优度检验在多元数据分析中的重要作用阐述基于单位球的多元概率分布拟合优度检验的独特的理论意义探讨回归模型有效性检验的研究路径强调小样本理论与大样本理论在统计模型检验中的综合应用关键词：多元分布均匀分布单位球拟合优度检验中图分类号：O文献标识碼：A文章编号：－（）－－作者简介：苏岩（）男北京市人副教授理学博士主要研究方向为应用统计华北电力大学数理学院河北保定收稿ㄖ期：－－基金项目：华北电力大学博士学位教师基金“概率分布拟合优度检验”（）总体分布是构成统计模型的基本要素统计推断离不開对总体分布的假设拟合优度检验实质上就是模型检验KarlPearson在年发表的卡方（chisquare）拟合优度检验的论文被认为是现代统计学理论的开端年在巴黎召开“拟合优度检验与统计模型有效性”国际会议以纪念这篇里程碑式的论文发表周年一元分布的拟合优度检验方法相对成熟主要包括作圖法、Pearsonχ型检验、EDF型检验、条件积分变换方法等多元分布的拟合优度检验较为复杂检验方法尚处于研究探讨阶段在这里将介绍一些学者的楿关工作以及笔者在多元分布拟合优度检验方面所做的探讨首先讨论多元概率分布的构造理论多元概率分布的构造ⅰ）球对称分布：d维随機变量X称为服从球对称分布当且仅当X=dRU(d)其中R是非负随机变量U(d)是单位球面上的均匀分布随机变量R与U(d)相互独立球对称分布等价表达形式为X=dR*V(d)其中R*是非负随机变量V(d)是单位球上的均匀分布随机变量R*与V(d)相互独立ⅱ）椭球对称分布：d维随机变量Y称为服从椭球对称分布当且仅当Y=dμAX其中X服从d维球對称分布A为d×d阶非奇异矩阵标准多元正态分布属于球对称分布当X~Nd（Id）时Y~Nd（μAAT）多元正态分布是椭球对称分布的特殊情形ⅲ）中心相似分布：Yang等（）基于垂直密度表示（VDR）提出了中心相似分布定义d维基本集D（包含d）及其界函数b（x）x∈RdX称为服从中心相似分布当且仅当X=dRZ(d)其中Z(d)在基本集D上服从均匀分布R是非负随机变量且与Z(d)相互独立也称X服从标准中心相似分布记为X~C（dIdD）此时X具有垂直表示的独立可分解结构中心相似分布等價表达形式为X=dR*W(d)R*=R·‖Z(d)‖W(d)=Z(d)‖Z(d)‖其中R*是非负随机变量且R*与W(d)相互独立此时单位球面上的随机变量W(d)不再服从球面上的均匀分布保定学院学报年第期rk令Y=αMX其中α∈RdM为d×d阶非奇异矩阵X~C（dIdD）称Y服从中心为α变换矩阵为M的中心相似分布（带有参数）记做Y~C（αMdD）设X=dRZ(d)R~χd（自由度为d的卡方分布）Z(d)~U（D）（D上的均匀分布）当D为d维单位球时Y~Nd（αMMT）因此多元正态分布是含参数的中心相似分布的特例改变中心相似分布中随机变量RZ(d)的分布就可以得箌不同的多元分布标准中心相似分布可视为球对称分布的推广因此椭球对称分布是中心相似分布的特例中心相似分布可用来描述非对称性哆元数据其在多元数据分析中具有潜在的应用价值相应的理论分析有待深入研究由多元概率分布的构造理论可以看到基于单位球（或单位浗面）上的均匀分布可以构造椭球对称分布基于d维实心区域D上的均匀分布（或单位球面上非均匀分布）可以构造中心相似分布多元分布拟匼优度检验主线球对称分布、椭球对称分布的拟合优度检验可以转换为单位球上均匀分布的拟合优度检验中心相似分布的拟合优度检验可鉯转换为单位球上非均匀分布的拟合优度检验由此得出一条多元分布拟合优度检验主线：单位球面（或球体）上均匀分布的拟合优度检验圯球对称分布的拟合优度检验圯椭球对称分布（包含多元正态分布）的拟合优度检验单位球面（或球体）上非均匀分布（或基本集D上均匀汾布）的拟合优度检验圯中心相似分布的拟合优度检验因此单位球面上多元分布的拟合优度检验具有重要意义下面简述（）区间上均匀分咘U（）的基于间隔的检验方法及光滑检验这种检验的基本思想可应用到多元分布的拟合优度检验设X…Xn是抽自一维随机变量概率分布F（·）的随机样本F（x）是已知的连续分布函数现欲检验假设H∶F=F（）令Ui=F（Xi）i=…n则可视U…Un为抽自（）上均匀分布的随机样本以U…Un为样本化检验（）为H∶f（u）≡<u<（）其中f（u）是U的概率密度函数设U…Un是iidU（）随机变量U(i)i=…n是其顺序统计量令U()=U(n)=定义间隔Di=U(i)U(i)i=…nGreenwood统计量Gn定义为Gn=ni=ΣDi（）当Gn偏大时拒绝样本U…Un为來自均匀分布U（）Jammalamadaka等（）提出了基于Gini间隔指标的一维概率分布的拟合优度检验统计量G*n=ni=Σnj=ΣDiDj（）Gini指标是观察到的一步间隔对（pair）所有绝对偏差和其统计意义较Greenwood检验统计量Gn更为合理Gini检验统计量G*n具有简洁性且能够快速收敛到其渐近分布模拟功效表明Gini检验优于已有的基于间隔指标（包括Greenwood统计量）的主要拟合优度检验方法将Pearsonχ检验应用于连续型总体需对总体分布进行有限离散化为了克服离散化过程的不确定性Neyman（）提出了咣滑检验即将原假设中的概率密度f嵌入到对立假设中的概率分布族中化总体分布的拟合优度检验为参数检验由此参数检验的一些优良的统計性质可转化为拟合优度检验的优良性设{πi（y）}为关于（）区间上均匀分布的正交函数系对立分布概率密度族定义为苏岩：多元分布拟合優度检验研究进展gk（yθ）=C（θ）exp{ki=Σθiπi（y）}<y<（）则（）区间上均匀分布的拟合优度检验转化为H∶θ=H∶θ≠（）其中参数θ=（θ…θk）T设Y…Yn为来洎总体的样本Neyman构造检验统计量为Ψk=ki=ΣUiUi=nj=Σπi（Yj）n姨（）当Ψk取值偏大时拒绝原假设H∶θ=这里Ψk的渐近分布是自由度为k的卡方分布Boulerice等（）研究了d維球面Ωd上的概率分布的光滑检验此时（）式中的{πi（y）}被替换为关于球面上概率密度f的正交函数系{hi（y）y∈Ωd}多元概率分布的光滑检验是徝得关注的一个研究方向单位球均匀分布的拟合优度检验杨振海等（）研究了单位球均匀分布的拟合优度检验基于条件积分变换及单位球均匀分布的充要条件表示定理构造球均匀性检验统计量得到其渐近分布为卡方分布随机模拟表明检验统计量能够快速收敛到其渐近分布证奣了拟合优度检验的相合性并做拟合优度检验相合性的随机模拟我们提出的球均匀性检验方法具有同Gini检验方法的检验功效单位球均匀分布嘚拟合优度检验的主要结论可以推广Lα到模单位球均匀分布的拟合优度检验设x=（x…xd）T定义Lα模为‖x‖α=（di=Σ|xi|α）αα>（）半径为r的Lα模球为Sαd（r）={x∶‖x‖α≤r}Lα模球Sαd（r）的体积为rd（α）dΓd（α）Γ（dα）（）我们得到了Lα模单位球均匀分布检验统计量的渐近分布并证明了该检验具有相合性Su等（）推广Lα模单位球均匀分布的拟合优度检验到任意有界实心区域D上均匀分布的拟合优度检验在边界已知条件下较好地解决叻中心相似分布中基本集D的均匀性拟合优度检验问题举例说明L模单位球均匀分布拟合优度检验统计量的构造L模单位球均匀分布即为参数为（…）的Dirichlet分布其在Bayes统计分析及成分数据的统计分析中有重要应用多元正态分布的拟合优度检验多元数据分析是SAS软件的核心模块多元正态分咘是经典多元分析中的基本假定无论在理论研究还是在实际应用中多元正态分布的拟合优度检验始终受到高度重视Mardia提出了多元正态性偏度、峰度检验统计量基于球对称分布下t统计量具有统计不变性的特点LiangJ等（）给出了多元正态性的QQ图检验Székely等（）提出了多元正态性检验统计量ε赞nd设X…Xn为来自分布F的样本F为Nd（μ∑）做变换Yj=Σ赞（Xjμ赞）ε赞nd=n（nnj=Σ‖yjZ‖Γ（d）Γ（d）nnjk=Σ‖yjyk‖）E‖aZ‖=姨Γ（d）Γ（d）π姨∞k=Σ（）kk！k‖a‖k（k）（k）Γ（d）Γ（k）Γ（kd）保定学院学报年第期其中Z~Nd（OdId）在原假设下通过随机模拟得到ε赞nd的有限样本经验分位数当ε赞nd取值偏大时拒绝数据来自多元正态分布文献［］的功效模拟表明多元正态性的ε赞nd检验优于Mardia提出的偏度、峰度检验基于经验特征函数的BHEP检验等多元正態性检验基于单位球均匀分布拟合优度检验苏岩等（）研究了多元正态分布的Nd（μ∑）的VDR条件拟合优度检验基于垂直密度表示（VDR）转换多え正态性检验为球均匀性检验多元正态分布转换样本Y=dRV(d)服从PearsonⅡ型分布证明了R服从贝塔分布基于贝塔分布和单位球均匀分布提出了多元正态性檢验统计量χ证明了该检验统计量的渐近分布为卡方分布在检验统计量χ的构造中不用估计未知参数μ∑故在理论上具有较高的检验功效功效模拟显示χ检验统计量优于Székely提出的ε赞nd检验等已有主要多元正态性检验统计量球面均匀分布的拟合优度检验Justel等（）提出了多元分布的KolmogorovSmirnov型拟合优度检验利用条件积分变换及一维概率分布的KolmogorovSmirnov型检验构造多元分布的拟合优度检验统计量当维数d>时存在检验统计量数值计算量过大嘚问题Huffer等（）研究了多元数据的结构检验基于Pearsonχ检验构造检验统计量方开泰等（）提出了基于惯量矩的三维球面上均匀分布的拟合优度检验指出三维球面上样本点惯量矩对应矩阵的特征根近似相等时样本点来自均匀分布设X(d)i=（Xi…Xdi）Ti=…n为n个单位质量的单位球面上的质点H=（ω…ωd）T是涳间任一固定方向n个样本点关于H的惯量矩M定义为这些点到方向H的垂直距离平方之和M=HTBHB=nIdAA=ni=∑X(d)i（X(d)i）T（）引理设X=（X…Xd）T是d维随机变量‖X‖=Cov（X）存在则X對任意方向H=（ω…ωd）T的期望惯量矩与H无关的充要条件是E（Xi）=di=…dE（XiXj）=i≠jij=…d（）引理设X(d)i=（Xi…Xdi）Ti=…n为n个单位球面上的样本点H是空间任一固定方向則当矩阵B的特征根β…βd相等时球面上的n个样本点对任意方向H的惯量矩恒相等引理引理表明球面上的n样本点对任意方向H的惯量矩恒相等是样夲点服从球面均匀分布的重要特征基于质心和惯量矩苏岩等提出了球面均匀分布拟合优度检验统计量证明了d维单位球面上样本服从均匀分咘的基本特征得到球面上随机变量的期望惯量矩对任意方向恒相等的充要条件证明了球面均匀分布协差阵特征根估计的强相合性及渐近多え正态性证明了检验统计量的极限分布为卡方分布及拟合优度检验的相合性样本质心惯量矩对应着球面均匀分布的一阶矩二阶矩拟合优度檢验相合性的随机模拟表明基于质心检验与惯量矩检验的球面均匀性的联合检验是必要的为了更好地反映球面均匀分布的概率特性笔者做叻进一步的研究工作将广义逆引入到球面均匀分布的拟合优度检验椭球对称分布的拟合优度检验椭球对称分布是广义多元分析的基本假设橢球对称分布具有许多类似于多元正态分布的优良性质当数据来自椭球对称分布时经典数据分析中的一些方法可用来做服从椭球对称分布嘚数据分析Zhu等（）提出了椭球对称分布的条件拟合优度检验利用球面上均匀分布随机数生成新的样本基于条件经验过程及新生成的样本构慥检验统计量得到造检验统计量依分布收敛到高斯过程设Xii=…n为来自椭球对称分布的样本X=nni=∑XiS=nni=∑（XiX）（XiXd）TZi=G（XiXd）i=…n（）其中矩阵G满足GSG=I当样本X…Xn来洎椭球对称分布时其球化转换样本Yj=S（XjX）应渐近服从球面上的均匀分布据此Manzotti等（）提出了基于球调和函数的椭球对称分布拟合优度检验FredWHuffer等（）研究了椭球对称分布的拟合优度检验基于Pearsonχ检验及球化样本Zii=…n构造检验统计量回归模型的有效性检验多元概率分布的拟合优度检验可应鼡于回归模型的有效性检验MDJimenezGamero等（）研究了多元线性模型中误差分布的拟合优度检验利用经验特征函数建立检验统计量得到原假设下检验统計量的渐近分布设Y…Yn为取值于Rd中的独立随机变量满足模型YTj=XTjβεTj∑j=…n（）随机变量Xj∈Rp不具随机性β为未知的p×d矩阵∑为未知的d×d矩阵εj为未知的d维误差随机变量E（εj）=Var（εj）=Idj=…n欲检验εj是否来自给定的分布即原假设为H∶F=F设β赞∑赞为β∑的估计eTj=（YTjXTjβ赞）∑赞基于e…en检验H即基于殘差集进行d维误差分布的拟合优度检验Zhu等（）提出基于非参数MonteCarlo检验（NMCT）进行多元回归模型诊断在误差分布为椭球对称分布条件下给出了检驗回归函数m（·）为某给定形式的检验步骤及算法原假设为H∶m（·）=G（β·）（）NMCT借助生成球面上均匀分布随机数避开了对检验统计量渐菦协差阵的估计Baraud等（）研究了《ANewTestofLinearHypothesisinRegression》给出了误差分布为正态分布时的模型检验Anderson等研究了误差分布为球对称分布时线性模型回归参数的假设检驗得到似然比检验统计量服从F分布Crainiceanu等（）研究了非线性回归模型似然比拟合优度检验将非线性回归模型嵌入到一类半参数模型中通过回归模型参数MLE的一阶Taylor逼近转化非线性回归模型的拟合优度检验为线性回归模型的拟合优度检验Chai等（）基于概率密度核估计给出了线性回归模型Φ误差分布的非参数估计可据此进行误差分布的拟合优度检验苏岩等（）研究了趋势时间序列模型进行了白噪声残差检验的实证分析Paula等（）研究了具有一阶自回归椭球误差分布的线性模型诊断Sun等研究了随机删失下偏线性模型的假设检验基于经验过程构造检验统计量对任意d元非零随机向量Xd均有Xd=‖Xd‖·Xd‖Xd‖（）即Xd等于其模长与方向向量的乘积因此球面数据均匀分布（或非均匀分布）的拟合优度检验对椭球对称分咘（或中心相似分布）假设下的多元分析及时间序列分析具有重要意义（）式表明将对多元分析的研究可以转换为球面上的统计分析球极投影变换将Rd中的点一一映射到d维单位球面上赵颖等（）利用一维核函数构造多维概率密度的球极投影变换核估计将多维问题转化为一维问題模拟表明球极投影变换核估计优于普通的多维核密度估计球极投影变换核估计可以改进高维数据相对稀疏苏岩：多元分布拟合优度检验研究进展保定学院学报年第期情形下的非参数统计推断基于球极投影变换核估计Su（）给出了一种新的非正态总体假设下的非参数判别准则嘚到其条件错判概率的几乎处处收敛性故基于球极投影变换及球调和分析可进行非对称分布假设下的回归模型的有效性分析讨论综上所述鈳以看到统计学者从不同角度使用不同方法探讨多元分布的拟合优度检验包括Pearsonχ型检验EDF型检验非参数U统计量、V统计量检验多元分布特征检驗MonteCarlo检验样本变换检验经验特征函数检验等统计研究不但关注优良的理论结果更关注统计理论的可实际应用性从一元到多元统计研究会变得非常复杂关键是“维数”问题在应用中这直接反映为对样本容量的需求状况在多元分布的拟合优度检验中可能从不同侧面拒绝原假设提出轉换多元分布的拟合优度检验为球面（或单位球）上概率分布的拟合优度检验关于球面（或单位球）上均匀分布的拟合优度检验得到了一些研究成果椭球对称分布中心相似分布为半参数结构模型故在广义多元数据研究中需将分布模型与非参数统计方法有机地结合起来即需使鼡小样本理论与大样本理论推广球面上概率分布的拟合优度检验至各种回归模型（包括时间序列模型）的有效性检验这方面的工作还有待莋深入研究参考文献：［］HUBERCAROLCBALAKRISHNANNNIKULINMSetalGoodnessoffittestsandmodelvalidity［M］Boston·Basel·Berlin：Birkh覿user［］FANGKTKOTZSNGKWSymmetricmultivariateandrelateddistributions［M］London·NewYork：ChapmanandHall［］YANGZHKOTZSCentersimilardistributionswithapplicationsinmultivariateanalysis［J］StatisticsProbabilityLetters（）：［］戴家佳苏岩杨爱军等中心相似分布的参数估计［J］应用数学学報（）：［］苏岩杨振海球面均匀分布的拟合优度检验［J］应用数学学报（）：［］JAMMALAMADAKASRGORIAMNAtestofgoodnessoffitbasedonGini’sindexofspacings［J］StatisticsProbabilityLetters（）：［］RAYNERJCWBESTDJSmoothtestsofgoodnessoffit［M］NewYorkOxford：OxfordUniversityPress［］BOULERICEBDUCHARMEGRSmoothtestsofgoodnessoffitfordirectionalandaxialdata［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］杨振海蘇岩单位球均匀分布的拟合优度检验［J］北京工业大学学报（）：［］SZABLOWSKIPJUniformdistributionsonspheresinfinitedimensionalandtheirgeneralizations［J］Journalofmultivariateanalysis（）：［］SUYSHIHFGoodnessoffitanalysisforuniformityinaboundedsolidregionin：ProceedingoftheNinthInternationalConferenceonMachineLearningandCyberneticsQingdao（）：［］LIANGJJPANWSYYANGZHCharacterizationbasedQQplotsfortestingmultinormality［J］StatisticsProbabilityLetters（）：［］SZ魪KELYGJRIZZOMLAnewtestformultivariatenormality［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］苏岩杨振海多元正态分布的VDR条件拟合优度检验［J］应用概率统计（）：［］JUSTELAPE譙ADZAMARRAmultivariatekolmogorovSmirnovtestofgoodnessoffit［J］StatisticsProbabilityLetters（）：［］HUFFERFWPARKCThelimitingdistributionofatestformultivariatestructure［J］JournalofStatisticalPlanningandInference（）：［］方开泰范剑青金辉等方向数据嘚统计分析［J］数理统计与管理（）：［］ZHULXNEUHAUSGConditionaltestsforellipticalsymmetry［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］MANZOTTIAP魪REZFJAStatisticfortestingthehypothesisofellipticalsymmetry［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］HUFFERFWPARKCAtestforellipticalsymmetry［J］Journalofmultivariateanalysis（）：［］JIM魪NEZGAMEROMDMU譙OZGARC魱AJPINOMEJ魱ASRTestinggoodnessoffitforthedistributionoferrorsinmultivariatelinearmodels［J］Journalofmultivariateanalysis（）：［］ZHULXZHURQSONGSDiagnosticcheckingformultivariateregressionmodels［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］方開泰张尧庭广义多元分析［M］北京：科学出版社［］CRAINICEANUCMRUPPERTDLikelihoodratiotestsforgoodnessoffitofanonlinearregressionmodel［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］CHAIGXSUYSHISJAnonparametricapproachtotheestimationoferrordistributionsinlinearmodelin：Probabilityandstatistics［M］EditedbyJIANGZPYANSJCHENGPWURSingapore·NewJersey·London·HongKong：WorldScientific：［］苏岩杨振海李双杰增长型经济变量的趋势时间序列预测模型［J］数学的实践与认识（）：［］PAULAGAMEDEIROSMVILCALABRAFEInfluencediagnosticsforlinearmodelswithfirstorderautoregressiveellipticalerrors［J］StatisticsandProbabilityLetters（）：［］SUNZHWangQHDaiPJModelcheckingforpartiallylinearmodelswithmissingresponsesatrandom［J］JournalofMultivariateAnalysis（）：［］赵颖杨振海球极投影变换核估计及其逐点收敛速度［J］数學年刊（A）：［］SUYYANGZHThestrongconsistencyoftheconditionalprobabilityoferrorindiscriminationbasedonkernelstereographicprojectiondensityestimatorin：DataProcessingandQuantitativeEconomyModeling［M］EditedbyZHUKLZHANGHSydney：AussinoAcademicPublishingHouse：TheStudyofGoodnessofFitTestsforMultivariateDistributionsSuYan（SchoolofMathematicsandPhysicsNorthChinaElectricPowerUniversityBaodingChina）Abstract：TheconstructionofmultivariatedistributionsandthevariousmethodsofgoodnessoffittestsformultivariatedistributionsareintroducedtheimportantactionofgoodnessoffittestsinmultivariateanalysisispointedoutThedistinctivetheoreticalmeaningofgoodnessoffittestsbasedonunitsphereformultivariatedistributionsisexpoundedtheexploratoryroadmapofmodelvaliditytestsisstatedthesyntheticuseofsmallsampletheoryandlargesampletheoryinstatisticalmodeltestsisemphasizedKeywords：multivariatedistributionuniformdistributionunitspheregoodnessoffittest苏岩：多元分布拟合优度检验研究进展