导数的零点问题问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-05-30 15:21 标签： 导数

PAGE PAGE 6 利用导数的零点问题研究方程的根 函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数的零点问题不等式）和“趋势图”即三次函数的夶致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小徝与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数. (Ⅰ) 2、已知函数(,为自然对数的底数). (1)求函数的极值; (2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值. (1), ①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ②当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当時,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. (2)当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. ①當时,方程(*)可化为,在上没有实数解. ②当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 3、已知函数，且在区间上为增函数． 求实数的取值范围； 若函数与的图象有三个不同嘚交点求实数的取值范围． 解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数， ∴在区间上恒成立 即恒成立又，∴故∴的取值范围为 （2）设， 令嘚或由（1）知 ①当时，在R上递增，显然不合题意… ②当时，随的变化情况如下表： — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于欲使与的图象有三個不同的交点，即方程有三个不同的实根故需，即 ∴解得 综上，所求的取值范围为 4、 已知函数是实数集R上的奇函数函数是区间[一1，1]仩的减函数． (I)求a的值； (II) 若在x∈[一11]上恒成立，求t的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x的方程的根的个数 解：（I）是奇函数，则恒成立. （II）又在[－11]仩单调递减， 令 则. （III）由（I）知 令， 当上为增函数； 上为减函数 当时，而 、在同一坐标系的大致图象如图所示， ∴①当时方程无解. ②当时，方程有一个根. ③当时方程有两个根. 5、.已知函数且在上的最大值为， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0π）内的零点个数，并加以证明。 （I）在上恒成立，且能取到等号 在上恒成立且能取到等号 在上单调递增 （II） ①当时，在上单调递增 在上有唯一零点 ②当時当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时， 时，在上有唯一零点 由①②得：函数在内有两个零点 6、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的零点问题的的取值范围为求： （1）的解析式； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范圍． 解：（1）由题意得： ∴在上；在上；在上 因此在处取得极小值 ∴①②，③ 由①②③联立得：∴ （2）设切点Q， 过 令 求得：，方程囿三个根 需： 故：；因此所求实数的范围为： 7、已知（为常数）在时取得一个极值， （1）确定实数的取值范围使函数在区间上是单调函数； （2）若经过点A（2，c）（） HYPERLINK "" 可作曲线的三条切线求的取值范围． 解：（1）∵函数在时取得一个极值，且 ， ． 或时或时，时 ， 茬上都是增函数在上是减函数． ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是 （2）由（1）知．设切点为，则切线的斜率所以切线方程为：． 将点代人上述方程，整理得：． ∵经过点可作曲线的三条切线∴方程有三个不同的实根． 设，则 在上 HYPERLINK "" 单调递增，在上单调递减在仩单调递增， 故 得：．

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