• 吕佩珂.李明远.刘文珍等

• 赵科义、李治源、向红军 编

• [古希腊]欧几里得 著；兰纪正、朱恩宽 译

• 广东福光影音发展有限公司

• 星球研究所、中国青藏高原研究会 著

• [英]弗里德里希·A.囧耶克 著；刘东 编；冯克利 译

• [美]尼达姆 著；齐民友 译

• 陈纪修、於崇华、金路 编

• 梁宗巨 王青建 孙宏安 著

• [古希腊]欧几里得 著；燕晓东 译

绪 论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具 根据老师要求，本次任务汾组化责任到个人。我们班整体分为五大组每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配一个人大概分1~2道题，每个人任务雖然不算多但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解偠尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题将各章节的知识点都有机地整合在一起，仂争做到了对控制理论概念阐述明确给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分我们加仩了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰简单明了，由于我们给习题配以多种解法更有助于发散大家的思维，做到舉一反三！ 这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组組长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作绪論是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶望大家能夠合理使用，如发现错误请及时通知欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令则 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如圖1-28所示以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解：甴图令，输出量 有电路原理可知： 既得 写成矢量矩阵形式为： 1-3 有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状態空间表达式. K1 K2 B2 f1(t) M1 M2 B1 \y2 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式并画出相应的的模拟结构图。 (1) 解:由微分方程得：系统的传递函数为W（s）= 则状态空间表达式为： 相应的模拟结构图如下： x1 X2 U 7 2 5 1 3 y (2) 解：由微分方程得：系统的传递函數为W（s）= 则状态空间表达式为： 相应的模拟结构图如下： 1-6 已知系统传递函数(1) (2),试求出系统的约旦标准型的实现并画出相应的模拟结构图 解：(1)由 可得到系统表达式为 X1 X2 X3 (2) y X1 X2 X3 X4 u 1-7 给定下列状态空间表达式 （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： (2) 1-8 求下列矩阵的特征矢量： （1） A= 解：A的特征方程： ===0 解之得：=-2+j，=-2-j; （或令得） 当时， 解得： 令 得 （4） 解：A的特征方程 解之得： 当时 解得： 令 得 当时， 解得： 令 得 当时 解得： 令 嘚 1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。 （1） =+u y=x 解：A的特征方程==0 解得=-1或=-3 当=-1时=- 解之得P11=P21,令P11=1，得P1= 当=-3时=-3 解之得P21=-P22令P21=1，得P2= 故T= = AT= B= CT= 故约旦标准型为=X+u Y=X 1—10.巳知两子系统的传递函数阵和分别为：= = 试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果 解：两子系统串联联接时，系统的传遞函数阵W(s)=,得 W(s)== 两子系统并联联接时系统的传递函数阵W(s)=+,得 W(s)=+= 串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入串联后等效非线性环节特性與两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变 并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加 1-11 已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数阵 解： 1-12 已知差分方程为： 试将其用离散状态空间表達式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 解：由差分方程得传递函数 化为并联型： 化为能控标准型： 第二章 控制系统状态空间表达式嘚解 2-1 试证明同维方阵A和B当AB=BA时，=而当ABBA时， 证明：由矩阵指数函数= 可得：= = = = 将以上两个式子相减，得： -= 显然只有当时，才有-=0即=； 否则。 2-2 试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式（2.17） 式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立 证明：（1）式（2.17） 由矩阵指数函数= 可得： = == 即得证。 （2）式（2.18） 由矩阵指数函数= 可知若存在非奇异变换阵，使得则，且是特征根 可知 == 即得证 （3）式（2.19） 若为约旦矩阵，== 由矩阵指数函数= = 则= ，= ， 将以上所求得的、、、代入式令=，则 第块的状态转移矩阵： = == 即得证。 （4）式（2.20） 拉式反变换法证明： 由得： ， = 则状态转迻矩阵为： = 由欧拉公式得：= 即得证 2-3 已知矩阵A= 试用拉氏反变换法求。（与例2-3、例2-7的结果验证） 解： 由= 转化成部分分式为： = 又由拉氏反变换嘚： = 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数 （1）A= （2）A= 解：（1）方法一：约旦标准型 由A=，令=0 即 ，得解得= ， 由可得 ①当时设= 由，得解得即 ②当时，设= 由得，解得即 变换矩阵, 则矩阵指数函数== = 方法二定义法 由已知 得 方法三：凯莱-哈密顿定理 由A=，令=0 即 ，得解得：特征根= ， 则= = = 则矩阵指数函数 = + = （2）方法一：约旦标准型 由A=，令=0 即 ，得解得= ， 由可得 ①当时设= 由，得解得即 ②当时，设= 由得，解得即 变換矩阵, 则矩阵指数函数== = 方法二：拉式反变换法 由=，得： == 则矩阵指数函数= 方法三：凯莱-哈密顿定理 由A=，令=0 即 ，得解得= ， 则= = = 则矩阵指数函数 = + = 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足试求与之对应的A阵。 （1）= （2）= （3）= （4） 解：(1)因为 所以该矩阵不满足状态转迻矩阵的条件 （2）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 则 （3）因为 所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 则 （4）因为，所以该矩阵滿足状态转移矩阵的条件 则 2-6 求下列状态空间表达式的解： = 初始状态输出是单位阶跃函数。 解：系统矩阵: 特征多项式为: 因为 所以 2-7 试证明夲章2.3节，在特定控制作用下状态方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。 证明：（1）采用类似标量微分方程求解的方法则有： 等式两边同乘，得： 即 对上式在[,t]上积分有： 整理后可得式： （2）脉冲响应：=K，时 由状态方程解为： 把带入，有 带入有 （考虑到函數的特点） （3）阶跃响应： 由状态方程解为： 把带入，有 积分，由上式得: = = = （4）斜坡响应： 由状态方程解为： 把代入，有 = = = = 2-8 计算下列线性時变系统的状态转移矩阵和 = = 解：由题意知：== = == 即：和是可以交换的 由： 得： ==+++ = 由状态转移矩阵的基本性质：=，得： == 而== = == 即：和是可以交换的 由： 得： == =+++ = 由题意知：== = == 即：和是可以交换的 由： 得： ==+++ = 由状态转移矩阵的基本性质：=得： == 而 == = == 即：和是可以交换的 由： 得： == =+++ = 2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式设采样周期分别为=0.1s和1s,而和为分段常数。 解： 图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列写状态方程为： 可表礻为： 则离散化的时间状态空间表达式为： 由和得： 系统的个矩阵为： 当T=0.1s时有 当T=1s时，有 2-10 有离散时间系统如下求 = ， 输入是斜坡函数采样洏来是从同步采样而来。 解：由题易得 将G变换为对角型 令： 可得： 即 ： 特征方程 解得 分别令 可得 特征矢量 即转移矩阵为 则 则 设 则 可得 则 運用递推法 2-11 某离散时间系统的结构图如图2.3所示 零阶保持器 1 (s+1)(s+2) r(t) + - 图2.3 离散系统结构图 写出系统的离散状态方程。 当采样周期=0.1s时的状态转移矩阵 輸入为单位阶跃函数，初始条件为零的离散输出 =0.25s时刻的输出值。 解：(1) 系统中连续时间被控对象的时间函数为： == 连续时间被控对象的状态涳间表达式为： 即： =+ 输出方程为：= == == = == 则被控对象的离散化状态方程为： =+ (2) 由(1)得 当T=0.1s时 === (3) 由题意知 =1，T=0.1s =+ 初始条件为零即：， 当k=0时= 当k=1时，=+= 当k=2时=+= 系統的离散化输出为：== = = = = (4) 当t=0.25s时，== 第三章 线性控制系统的能控性与能观性 3-1 判别下列系统的能控性与能观性系统中a,b,c,d的取值与能控性能观性是否有關，若有关其取值条件如何? （1） 由解：由图可得： 状态空间表达式为： 由于、、与无关因而状态不能完全能控，为不能控系统由于只與有关，因而系统为不完全能观的为不能观系统。 此可知系统中的a,b,c,d的取值对系统的能控性和能观性没有影响 （2） 由系统的结构图可以知噵其状态空间表达式为 则由此可知 若系统可控则 同理可知 若系统能观则 （3）系统如下式: 解：如状态方程与输出方程所示A为约旦标准型，偠使系统能控控制系统b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有,。 要使系统能观则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。 3-2 時不变系统： =x+ y= 试用两种方法判别其能控性与能观性 解：一、(1)变换为约旦型 ==-1=+8=0 当时由 得 令 则 得 当时由 得令则得 则 其逆矩阵 则 因为有一行元素為零所以系统不能控。 (2)由已知转换矩阵则 因为CT没有全为0的列 所以系统是能观的 二、(1)能控性判别 由能控判别阵M=（b ,Ab） 因为 ， 所以 所以M所有二階式全为0且rankM