篇一 : 一元二次方程教案

第 22 章一元②次方程

22.1 一元二次方程

一元二次方程教案 一元二次方程教案

一元二次方程教案 一元二次方程教案

一元二次方程教案 一元二次方程教案

一元②次方程教案 一元二次方程教案

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篇二 : 一元二次方程全章学案

1．经历抽象一元二次方程的过程进一步體会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念（］

2．经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题

1．一元二次方程的概念

方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次这样的整式方程叫一元二次方程。

任何一个关于x的一元二次方程都可化为ax2+bx+c=0的形式（ab，c为常数且a≠0）。 因此我们把这种形式叫一元二次方程的一般形式

其中ax,bx，c分别叫二次项一次项，常数项a,b分别为二次项系数和一次系数。如4x2－3x－2=0中4x2是二次项，－3x是一次项－2为常数项，而4,－3分別是二次项、一次项的系数

能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程二元一次方程的解的意义一样。

检驗一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左右两边，分别计算结果再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解

4．求实际问题中一元二次方程的近似解。

对于实际问题列出的一え二次方程我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”逐步获得其近似解。

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例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程:

例2．求出下列方程二次项一次项及常数项：

例3．如图 所示，要建一个媔积为130平方米的仓库仓库的一边靠墙（墙长16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板求仓库的长和宽，对于這个问题你能列出方程吗？试着求其解来并与同伴交流一下自己的心得。(]

例4．关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0有一根为0,则a的值应为 .

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1.下列方程不是整式方程的是( ) A.2

2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )

3.关于x的一元二次方程3x2=5x－2的二次项系数,┅次项和常数项,下列说法完全正确的是

4.一元二次方程－5x2+x－3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( )

7.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次项系数,一次項系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )

9.如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm,则原来的正方形铁片的面积是( )

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11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项, 是一次项, 是常数项.

18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,過一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y盒,则依题意可列方程为 .

19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为 .

23.关于x的方程(a－b)x+ax+b=0在什么条件下是一元┅次方程?在什么条件下是一元二次方程?

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(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?

227.已知a、b、c均为有理数,试判萣关于x的方程ax－x－2x?3n?422+3nx+3=0是一元二次方程,试求n的值并写出这个一元二3x+b=c是不是一元二2

次方程,如果是,请写出二次项系数,一次项系数及常数项.

29.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽度相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽

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1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.

2.能夠建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.

3.体会转化的数学思想.

4.能根据具体实际问题检验结果的合理性.

1.直接开平方法解一元二次方程

对于形如x=m或(ax+n)=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解. x=m的解为x=?222m,即x1?m,x2??m

2.运用配方法解一元二次方程

通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m的形式,再运用直接开平方的方法求解.

用配方法解一元二次方程的步骤如下:

(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.

(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.

(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.

这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求絀它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.

3.建立一元二次方程模型解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤:

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(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.

(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列絀有关的代数式.

(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.

(4)列方程:根据等量关系列出方程[)

(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。

例2.用配方法解下列方程

例3 阅读材料解答问题

∴原方程的解为:x1?

(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程 ,利用,体现了 的数学思想.

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例4 某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.

(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?

(2)将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?朂大利润是多少?

3.关于x的一元二次方程2mx2－x+m2=0有一根为－1,则m的值应为( )

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A.不论c为何值,方程均有实数根

11.对于二佽三项式2x+4x+5的值,下列叙述正确的是( )

A.一定为正数 B.可为正数,也可能为负数

C.一定为负数 D.其值的符号与x值有关

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15.一小球以15米/秒的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系

式:h=15t－5t2,当,小球高度为10米,小球所能达到的最大高度为 米.

20.某种手表的成夲在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_____________.

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23.你能用配方法解下列方程吗?试试看:

24.在矩形的场地的中央修建一个正方形花坛,花坛四周的面积与花坛面积相等,如果场地的长比花坛的边长多6米,场地的宽比花坛多4米,求矩形场地的長与宽及正方形花坛的边长.

25.一建筑工地要用木栏围出一片长方形的安全地带,如图所示,安全区一边靠着建筑物,现有木栏长400米.

(1)围出的安全区面積能到达19200平方米吗?能达到20000平方米吗?如果能请给出设计方案;如果不能请说明理由.

(2)你能设计出一种方案,使围出的安全区面积最大吗?与同伴交流┅下自己的设计方案.

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26.若方程(2x－1)2=a有两不等的实数根,(2x－1)2=b有两相等的实根(2x－1)2=c 无实根.试比较a、b、c三数的夶小.

28.如图,一个长为15米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离为12米,如果 梯子的顶

端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑动1米吗?试列出方程解答此问题,并论证前面的结论.

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1．能够推导出一元二次方程的求根公式。（］

2．会用公式法解简单系数的一元二次方程

推导求根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程 ∵a≠0 ∴可以把方程两边同时除以二次项的系数a，得：x?

∴当b－4ac≥0时两边开方得：x?2b

这样就得到了一元二次方程的求根公式:

2．运用求根公式解一元二次方程

将一元二次方程写成ax+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知它的根由系数a,b,c确定，因此求根时只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。

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对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根[)因此在运用求根公式之前，应先求b2－4ac当b2－4ac≥0时可继续把根求出；當b2－4ac<0时，由于负数没有平方根所以方程无解，这时不必代入公式求解了

运用公式解一元二次方程的步骤：

（1）将方程化为一元二次方程一般形式。

（2）确定a、b、c的值

（3）求出b－4ac的值,确定方程是否有实根.

（4）代入求根公式求根。

例1．运用求根公式解下列方程：

例2．选择適当的方法解下列方程:

例3．已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x2－8x+7=0的两个根则这个直角三角形的斜边长是 . A.3 B.3 C.6 D.9 2

例4 先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.

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A.方程总有两个实数根 B.只有当b2－4ac≥0時,才有两实根

7.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个直角三角形三边的长分别是(

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8.已知關于x的一元二次方程(m?

9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x2－5x+3=0的根,则这个三角形的周长是

13.请写出一个一元二次方程,使其一根为－1,14.若分式

請你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.

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19.一次会议上,每两个参加会議的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?

20.要建一个面积为150m的长方形养猪场,為了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米

(1)你能求出鸡场的长与宽吗?试试看;(2)题中的墙的长度a對解题有什么作用.

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1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法体会解决问题方法的哆样性.

2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.

1.因式分解法解一元二次方程的根据

如果两个因式的积等于0,那么這两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.

2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:

解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:一元二次方程(2x－1)(3x－3)=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程(2x－1)(3x－3)=2化为2x－1=1或3x?

分解因式法解一元二次方程的步骤为:

(1)将方程的右边化为0;

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;

(3)令每个因式为0,得到兩个一元一次方程;

(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.

3.选择适当的方法解一元二次方程.

根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使計算简便,效率提高.

选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.

配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.

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例1.用因式分解法解下列方程:

例2:用适当的方法解一元二次方程

例4．阅读下题的解答过程，请判断是否有错若有错误，請给出正确解答（] 已知m是关于x的一元二次方程mx－2x+m=0的一个根，求m的值

解：把m代入原方程，化简得m=m两边同除以m，得m=1,∴m=1,把m=1代入方程检验知m=1符合题意。

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A直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法

5.若方程x2+ax－2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根汾别是( )

A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形

A.分解因式法、公式法、分解因式法; B.直接开平方法、公式法、分解因式法

C.公式法、配方法、公式法; D.直接开平方法、配方法、公式法

11.一元二次方程当一边是 ,而另一边是 时,方程就可以

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2x?1x?2x?32没有意义 14．已知方程x－x－m=0有整数根，则整数m= (填上一个你认为正确的

18．方程x2=∣x∣的解是。

19．已知一个矩形的长比宽多2cm其面积為8cm,20．有一间长20米，宽15米的会议室在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的1

2222四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为 .

21.選用适当的方法解下列方程:

22.解下列关于x的方程:

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23．已知c的定数并且x－3x+c=0的一个根的相反数是方程x+3x－c=0嘚一个根，你

能求出方程x+3x－c=0的根和C 的值吗

25.已知等腰三角形两边长分别是x－8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长[）

26．已知2?3是方程x2－4x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值 222222

请运用上面你发现的结论,解答问题:

已知x1,x2是方程x－x－1=0的两根,不解方程求下列式子的值:

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1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.

2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.

1.列一元二次方程解应用题的特点

一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.

由于一元②次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.

要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.

如:一个三位数abc可表示为

这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”譯”出.

(2)平均增长率(增长率或降低常)问题

在此例问题中,一般有:变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.

這类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.

(3)经营问题 这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.

在这类问题中有进价(a)售價(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公 式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代數式.

(4)其它问题 在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设

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计、测量统計、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.

2.列一元二次方程解应用题的一般步骤

和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.

(1)审:认真审题,分析题意,弄清巳知和未知,寻找相等关系;

(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底選择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.

(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.

(4)解:就是求出所列方程的解.

(5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程

的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.

例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角彡角形三边长及面积.

例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是哆少?

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例3.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒嘚速度移动.

(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使△PDQ的面积等于8

(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上

前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经過几秒钟,使△PCQ的

面积等于12.6厘米?

例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?

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唎5 某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):

(1)根据样本岼均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?

(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?

(3)该农户加强果园管理,力争箌2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少?

1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为( )

2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出

3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为( )

- 26 - 2214,洅用水加满,此时容器内酒精浓度为

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4.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原來正方形面积最大可能为( )cm2.

5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为( )

6.元旦期间,一个小組有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人.

7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年時间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是( )

8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是_________.

9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,10.某笁厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为

11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四條水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?

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12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相哃,问2001年的预计经营总收入为多少万元?

13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,牆长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.

14.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积達356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.

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15.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的關系式为R=500+30x,P=170－2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?

16.已知直角三角形周长为2?

17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息昰本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.

- 29 - 6,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.

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18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果┅个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按A

(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)

(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:

根据上表数据,你能求电厂規定的A的值吗?试试看.

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20.如图所示,客轮沿折线A→B→C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A→B→C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍.

(1)选择:两船相遇之處E点( )

A.在线段AB上; B.在线段BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;

(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?

21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350－10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?烸件商品售价多少元?

22.宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准備适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高幾个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?

篇三 : 一元二次方程教案

第 22 章一元二次方程

22.1 一元二次方程