．（结果可含有π）
科目：初中数学
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
科目：初中数学
已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
科目：初中数学
如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：AC=CP；（2）⊙O的直径是6，以点B为圆心作圆，当半径为多长时，AC与⊙B相切？（3）若PC=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，）
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2016年苏州中考数学二轮复习几何部分专题提升试题（带答案和解释）
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2016年苏州中考数学二轮复习几何部分专题提升试题（带答案和解释）
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
专题提升(八)　以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是(&&&&& )A. y＝32x2　　& B. y＝3x2&&&&&&&&& C. y＝23x2　　& D. y＝33x2&(第1题图)&&&&& (第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.&
3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.&(第3题图)4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.&(第4题图)二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长．(2)在△ABC中，求BC边上高的长．&(第5题图)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.&(第6题图)7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，求线段DE的长．&(第7题图)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．(1)求证：AE＝ED.(2)若AC＝2，求△CDE的周长．&(第8题图)9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数．(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝12AB.&(第9题图)10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5 s，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200 m，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．&(第10题图)11．如图所示，一根长2.5 m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7 m，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．&(第11题图)专题提升(九)　以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．&(第1题图)2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．&(第2题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．&(第3题图)4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．&(第4题图)二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝12x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．&(第5题图)
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．&(第6题图)7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．&(第7题图)8．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC.(1)求证：△ADF≌△ECF.(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．&(第8题图)9．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H.&(1)求证：CF＝CH.(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．&(第9题图)10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OBEC是矩形．(2)若菱形ABCD的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC的面积．&(第10题图)11．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连结CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连结AF.(1)求证：△AED≌△CFD.(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？&(第11题图)12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连结BF.(1)求证：BD＝CD.(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形(写出条件即可，不要求证明)?&(第12题图)13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF，CG.&&& （1）求证：AF＝BF.（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．&(第13题图)14．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.(1)证明：PC＝PE.(2)求∠CPE的度数．(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．&(第14题图)15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．专题提升(十)　与圆有关的计算与证明1．已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是(&& )A. 30°　　　& &B. 60°&&&&&&&&& C. 90°　　& &D. 180°2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则AB的长为(&&&&& )A. π　　& B. 32π&&&&& C. 3π　　& D. 6π &,(第2题图))　　　 ,(第3题图))3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD.若∠A＝25°，则∠C的度数为(&&&&& )A. 35°　　& B. 40°&&&&&&& C. 45°　　& D. 50°&(第4题图)& (第5题图)　4．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白＝(&&&&&& )A. 3　　　B. 4&&&&&&& C. 5　　　& D. 6 5．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 __&&&& ．　 (第6题图)& (第7题图)6．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是__&&&&&&&&&& °.7．如图，在四边形形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°.则图中阴影部分的面积为&&&&&&&&&&& ．8．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是&&&&&&&& ．9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为BD的中点，则AC的长是&&&&&&&&&&& ．&(第8题图)　　 (第9题图) (第10题图)10．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E.(1)求证：AB＝AC.(2)求证：DE为⊙O的切线．(3)若AB＝13，sin B＝1213，求CE的长．&
11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF•BO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝&& 46，求BG的长．&(第11题图)12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x－23与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长．(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．&(第12题图)13．如图①，在⊙O中，E是AB的中点，C为⊙O上的一动点(C与E在AB异侧)，连结EC交AB于点F，EB＝23r(r是⊙O的半径)．(1)D为AB延长线上一点，若DC＝DF，求证：直线DC与⊙O相切．(2)求EF•EC的值．(3)如图②，当F是AB的四等分点时，求EC的值．&(第13题图)专题提升(十一)　巧用图形变换进行计算与证明1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2则旋转的牌是(&&&&&&& )&(第1题图)&2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是(&&&&& )A. 3　　　　& B. 23&&&&&&&&& C. 33　　&&&&& D. 43&(第2题图)　　　 (第3题图)3．如图，已知⊙O的半径长为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分面积为&&&&&&& ．4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为____&&&&&&&& m.&(第4题图)　　 (第5题图)5．如图，四边形是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连结BN，MN，延长MN交BC于点G.有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝33；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是3.其中正确结论的序号是__&&&&&&&&&&&&&&& ．6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是__&&&&&& ．&(第6题图)　　　 (第7题图)7．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则△AOC与△AOB的面积之和为&&&&&&&&& ．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，CD＝2，则AD的长为__&&&&&& ．&(第8题图)　　　 (第9题图)9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.&10．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A(2，3)，B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？&(第10题图)&11．如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3 B3B2B1(即阴影部分)．(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示．(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1＝(a－1)b，S2＝(a－1)b，S3＝(a－1)b．(3)如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？ &&(第11题图)(4)如图⑤，若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
专题提升(十二)　以圆为背景的相似三角形的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E，则图中相似三角形共有(&&&&&& )A. 1对　　& B. 2对&&&&&& C. 3对　&&& D. 4对&(第1题图)　　　 (第2题图)2．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(&&&&& )A. ∠ACD＝∠DAB　　& B. AD＝DE&&&&& C. AD2＝BD•CD　　　 D. AD•AB＝AC•BD 3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是(&&&&& )A. ACOR＝OQAB　　& B. AQAB＝BPBC&&&&&&& C. ACAP＝OROP　　　& D. AQAP＝ACAB&(第3题图)　　　 (第4题图)4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，已知半径长为4，AC＝42，AB＝6，则AD的长为(&&&&& ) A. 5　　& B. 4.8&&&&&&& C. 32　　& D. 265．如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D，若CD＝3，CO＝4，则AC的长为&&&&&&& ．&(第5题图)　　 (第6题图)6．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连结AE.若∠F＝60°，GF＝1，则⊙O的半径长为&&&&&&&&&&&&& ．7．如图，已知AD是⊙O的弦，BD＝CD，DE是⊙O的切线且与弦AB的延长线相交于点E，若AC＝3，AE＝8，则AD的长为_&&&&&&& ．&(第7题图)　　　 (第8题图)8．如图，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，则⊙O的半径长为&&&&&&&&&&&&& ．9．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连结OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.则AC的长为&&&&& ．&(第9题图)　　　 (第10题图)10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为&&&&&&&&&&&&&&& ．11．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求证：直线CD为⊙O的切线．(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．&(第11题图)12．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF.(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．&(第12题图)13．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A，B，D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连结ED.(1)求证：ED∥AC.(2)若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面积．&(第13题图)14．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q.(1)当点P运动到使Q，C两点重合时(如图①)，求AP的长．&(2)点P在运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为12？(直接写出答案) (3)当△CQD的面积为12，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时(如图②)，求AP的长． &参考答案：专题提升(八)　以特殊三角形为背景的计算与证明1. B；解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠EOC＝45°.∵DE⊥OC，∴∠ODC＝∠OEC＝45°，∴CD＝CE＝OC＝x，∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x.∵∠DFE＝∠GFH＝120°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE•tan 30°＝33x，∴EF＝2CF＝233x，∴S△DEF＝12DE•CF＝33x2.∵四边形FGMH是菱形，∴FG＝MG＝FE＝233x.∵∠G＝180°－∠GFH＝60°，∴△FMG是等边三角形，∴S△FGH＝33x2，∴S菱形FGMH＝233xx2，∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝3x2.故选B.2. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.3. 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4.解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°.易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝22＝2，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴BE＝DEtan30°＝233＝6，∴AB＝AE＋BE＝2＋6.(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝xtan30°＝x33＝3x，∴BD＝x2＋（3x）2＝2x.∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝12BD＝x，∴BF＝BD2－DF2＝（2x）2－x2＝3x，∴CF＝3x，∵AB＝AE＋BE＝x＋3x，CD＝DF＋CF＝x＋3x，AB＋CD＝23＋2，∴x＝1，∴AB＝3＋1.&(第4题图解)& (第5题图解)5. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E.∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.6. 解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB.7. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE.∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE.∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝12AB＝2.5.8. 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB.∵∠B＝30°，∴∠A＝60°.∴△ACD是等边三角形．∵CE是斜边AB上的高，∴AE＝ED.(2)由(1)，得AC＝CD＝AD＝2ED，又∵AC＝2，∴CD＝2，ED＝1.∴CE＝22－1＝3.∴△CDE的周长＝CD＋ED＋CE＝2＋1＋3＝3＋3.9. 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝12AB.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又∵由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC＝12AB，∴AE＝BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE＝12AB.10. 解：此车没有超速．理由：过点C作CH⊥MN于点H.&(第10题图解)& (第11题图解)∵∠CBN＝60°，BC＝200 m，∴CH＝BC•sin 60°＝200×32＝1003(m)，BH＝BC•cos 60°＝200×12＝100(m)．∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝1003 m，∴AB＝≈73(m)．∵60 km/h＝503 m/s，∴735＝14.6(m/s)＜503≈16.7(m/s)，∴此车没有超速．11. 解：(1)如解图，在Rt△ABC中，已知AB＝2.5 m，BO＝0.7 m，则由勾股定理，得AO＝AB2－BD2＝2.4(m)，∴OC＝2.4－0.4＝2(m)．∵在Rt△CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴由勾股定理，得OD＝CD2－OC2＝1.5 m，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．&(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．&
专题提升(九)　以特殊四边形为背景的计算与证明1. 证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，∵∠BAC＝∠DCF，AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．2. 证明：∵CE∥AB，∴∠ADE＝∠CED.在△AOD与△COE中，∵∠ADE＝∠CED，∠AOD＝∠COE，OA＝OC，∴△AOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.又∵OA＝OC，∴四边形ADCE是平行四边形．3.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4.解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.　 (第4题图解)& (第5题图解)5. 解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE和△CDE中，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE.又∵BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD＝4.∵点A(2，n)，B(m，n)(m&2)，∴AB∥x轴，∴CD∥x轴．∴m＝6.∴n＝12×6＋1＝4.∴点A(2，4)，B(6，4)．∵△AEB的面积是2，∴EF＝1，∵▱ABCD的面积为△ABE的面积的4倍，∴S▱ABCD＝8，∴▱ABCD的高为2.∵q&n，∴q＝2.∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．6. 证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BECD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN＝2.设AP＝x，则PD＝6－x，在Rt△PDN中，∵PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝103.∴AP＝103.　　　 (第7题图解)8. 解：(1)证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AD∥CE.∴∠ADF＝∠ECF，在△ADF和△ECF中，∵∠ADF＝∠ECF，DF＝CF∠AFD＝∠EFC，∴△ADF≌△ECF(ASA)．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，CD⊥AD.由(1)知，△ADF≌△ECF.∴AD＝CE.又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED的面积＝AD•DC＝2.9. 解：(1)证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°.在△BCF和△ECH中，∠B＝∠E，BC＝EC，∠BCE＝∠ECH，∴△BCF≌△ECH(ASA)．∴CF＝CH.(2)四边形ACDM是菱形．证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E＝45°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE.∵∠ACD＝90°＋45°＝135°，∴∠A＋∠ACD＝45°＋135°＝180°，∴AM∥CD.∴四边形ACDM是平行四边形．∵AC＝CD，∴四边形ACDM是菱形．10. 解：(1)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD.∵BE∥AC，CE∥BD，∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，∴四边形OBEC是矩形．(2)∵菱形ABCD的周长是410，∴AB＝BC＝AD＝DC＝10.∵tan α＝12，∴设CO＝x，则BO＝DO＝2x，∴x2＋(2x)2＝(10)2，解得x＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC的面积为2×22＝4.11. 解：(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∵∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)．(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．(3)∵四边形AECF为菱形，∴AC⊥EF.∵AD＝3，AE＝5，∴根据勾股定理，得ED＝4，∴EF＝8，AC＝6，∴S菱形AECF＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF的面积是24.12. 解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴DE＝AE.在△AEF与△DEC中，∵∠AFE＝∠DCE，∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)四边形AFBD为矩形，证明如下：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴四边形AFBD为矩形．(3)AB＝AC，且∠BAC＝90°.13. 证明：(1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC.即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF＝CF.∴∠FAC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°.∴∠B＝∠BAF.∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∵∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)．∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF.即得点F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即得∠AFC＝90°.∴四边形AFCG是正方形．14. 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°.在△ABP和△CBP中，∵AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC.∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°.(3)AP＝CE.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，∠ADC＝∠ABC＝120°，∠BAD＝∠BCD.在△ABP和△CBP中，∵AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE.15. 解：分两种情况；①如解图①，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°.∵DE⊥OA，∴DE＝AE.∵四边形COED是正方形，∴OE＝DE，∴OE＝AE，∴OE＝12OA＝32，∴点E(32，0)．&(第15题图解)
②如解图②，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF＝2OF，AF＝2EF.∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF，∴AF＝2×2OF＝2OF，∴OA＝OF＋2OF＝3，∴OF＝1，∴点F(1，0)．∴正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．专题提升(十)　与圆有关的计算与证明1. D；2. B；3. B ；4.C；5. _45_；6. _35_；7. 2134－π；8. 42；9. 833；10. 解：(1)如解图，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.又∵D是BC的中点，∴AB＝AC.(2)如解图，连结OD.∵O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝13，sin B＝ADAB＝1213，∴AD＝12，∴由勾股定理，得BD＝5，∴CD＝5.∵∠B＝∠C，∴sin C＝sin B＝DECD＝1213，∴DE＝6013，∴根据勾股定理得CE＝2513.&(第10题图解)& (第11题图解)11. 解：(1)如解图，连结OC.∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°.又∵PC＝PG，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)如解图，连结OG.∵BG2＝BF•BO，即BG∶BO＝BF∶BG，又∵∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，即OG⊥BG，∴BG＝CG，即点G是BC的中点；(3)如解图，连结OE.∵ED⊥AB，∴FE＝FD.∵AB＝10，ED＝46，∴EF＝26，OE＝5.在Rt△OEF中，OF＝OE2－EF2＝1，∴BF＝5－1＝4.∵BG2＝BF•BO，∴BG2＝BF•BO＝4×5，∴BG＝25.12. 解：(1)原点O在⊙P外．理由：∵直线y＝3x－23与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A(2，0)，点B(0，－23)，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝OAOB＝33，∴∠OBA＝30°，如解图①，过点O作OH⊥AB于点H，在Rt△OBH中，OH＝OB•sin∠OBA＝3，∵3＞1，∴原点O在⊙P外；&(第12题图解)(2)如解图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°，∴弧长为120×π×.同理，当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为2π3.∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为2π3.(3)如解图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，则PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°，∴在Rt△DAP中，AD＝DP•tan∠DPA＝1×tan 30°＝33，∴OD＝OA－AD＝2－33，∴此时点D的坐标为(2－33，0)．当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋33，0)．综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－33，0)或(2＋33，0)．13. 解：(1)连结OC，OE，OE交AB于H，如解图①，&(第13题图解)∵E是AB的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF＝90°，∴∠HEF＋∠HFE＝90°.又∵∠HFE＝∠CFD，∴∠HEF＋∠CFD＝90°.∵DC＝DF，∴∠CFD＝∠DCF.又∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＋∠DCE＝∠HEF＋∠CFD＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切．(2)如解图②，连结BC.∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∴∠FBE＝∠BCE.又∵∠FEB＝∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF∶BE＝BE∶EC，∴EF•EC＝BE2＝(23r)2＝49r2.(3)如解图②，连结OA.∵AE＝BE，∴AE＝BE＝23r.设OH＝x，则HE＝r－x，在Rt△OAH中，AH2＋OH2＝OA2，即AH2＋x2＝r2，在Rt△EAH中，AH2＋EH2＝EA2，即AH2＋(r－x)2＝(23r)2，解得x＝79r，∴HE＝r－79r＝29r.在Rt△OAH中，AH＝OA2－OH2＝429r.∵OE⊥AB，∴AH＝BH.又∵F是AB的四等分点，∴HF＝12AH＝22r9.在Rt△EFH中，EF＝HE2＋HF2＝239r.∵EF•EC＝49r2，∴239r•EC＝49r2，∴EC＝233r.专题提升(十一)　巧用图形变换进行计算与证明1. A；2. B；3. 15π4；4. 8；5. _①④⑤_；6. _3_；7. 6＋934；8. _6_；9. 证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC＝BA，∴将△BCN逆时针旋转90°得到△BAN′，如解图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°，在△MBN和△MBN′中，∵BN＝BN′，∠MBN＝∠MBN′，BM＝BM，∴△MBN≌△MBN′(SAS)，∴MN＝MN′，即AM＋AN′＝MN，∴AM＋CN＝MN.&(第9题图解)& (第10题图解)10. 解：(1)如解图，作点B关于x轴的对称点E，连结AE，则点E为(12，－7)．设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b，则2k＋b＝3，12k＋b＝－7，解得k＝－1，b＝5.∴直线AE的表达式为y＝－x＋5 .当y＝0时，x＝5，∴水泵站建在距离大桥5 km的地方，可使所用输水管道最短．(2)如解图，作线段AB的垂直平分线GF，交AB 于点F，交x轴于点G.设点G的坐标为(x，0)，在Rt△AGD中，AG2＝AD2＋DG2＝32＋(x－2)2，在Rt△BCG中，BG2＝BC2＋GC2＝72＋(12－x)2，∵AG＝BG，∴32＋(x－2)2＝72＋(12－x)2，解得x＝9.∴水泵站建在距离大桥9 km的地方，可使它到张村、李村的距离相等．11. 解：(1)如解图所示：&(第11题图解)(2)均填(a －1)b.(3)将右边空白部分向左平移2个单位，两块空白部分草地就拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)b；(4)将4块空白部分都移到右上方，则会发现它们拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)(b－1)．专题提升(十二)　以圆为背景的相似三角形的计算与证明1. C；2. D；3. D；4. C；5. 23；6. 23＋3；7. 26_；8. 53 ；10. 1＋22a；11. 解：(1)证明：如解图，连结OC.∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC.又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF.∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B.∵∠B＋∠BOF＝90°，∴∠OCF＋∠DCB＝∠OCD＝90°，∴直线CD为⊙O的切线．(2)如解图，连结AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB.又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB.∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴COAC＝CDBC，即2.53＝CD4，解得CD＝103.&(第11题图解)12. 解：(1)证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝90°.∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.又∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDE.(2)∵CF∶FB＝1∶2，∴设CF＝x，FB＝2x，则BC＝3x.∵AE＝3EB，∴设EB＝y，则AE＝3y，AB＝4y.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y.∵△ADE∽△CDF，∴AEAD＝CFCD，∴3y3x＝x4y，∵x，y均为正数，∴x＝2y，∴BC＝6y，CF＝2y，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，由勾股定理得：DF＝DC2－CF2＝16y2－4y2＝23y，∴⊙O的面积为π&#＝14π•DC2＝14π(4y)2＝4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF＝6y•23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2∶123y2＝π∶33.13. 解(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC.∵BE∥AD，∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC，∴ED∥AC.(2)∵BE∥AD，∴∠EBD＝∠ADC.又∵∠BED＝∠DAC，∴△EBD∽△ADC，相似比k＝BDDC＝2，∴S1S2＝k2＝4，即S1＝4S2，∵S12－16S2＋4＝0，∴16S22－16S2＋4＝0，即(4S2－2)2＝0，解得S2＝12.∵S△ABCS2＝BCCD＝BD＋CDCD＝3CDCD＝3，∴S△ABC＝32.14. 解：(1)∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.∵∠DAB＝30°，OB＝12CD＝1，∴AO＝2OB＝2，AC＝AO－CO＝2－1＝1.当Q，C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如解图①，则有∠ACP＝90°，∴cos∠CAP＝ACAP＝1AP＝32，解得AP＝233.(2)有4个位置使△CQD的面积为12.设点Q到CD的距离为h，∵S△CQD＝12CD•h＝12×2•h＝12，∴h＝12.由于h＝12&1，结合解图②可得： 有4个位置使△CQD的面积为12.(3)过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如解图③.∵S△CQD＝12CD•QN＝12×2•QN＝12，∴QN＝12.∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°，∴∠CQN＝90°－∠NQD＝∠NDQ，∴△QNC∽△DNQ，∴QNDN＝NCNQ，∴QN2＝CN•DN.设CN＝x，则有14＝x2－x，整理得4x2－8x＋1＝0，解得：x1＝2－32，x2＝2＋32.∵CQ＞QD，∴x＝2＋32，∴NCQN＝2＋3.∵QN⊥CD，PM⊥CD，∴∠PMC＝∠QNC＝90°.∵∠MCP＝∠NCQ，∴△PMC∽△QNC，∴MCMP＝NCNQ＝2＋3，∴MC＝(2＋3)MP.在Rt△AMP中，tan∠MAP＝MPAM＝tan 30°＝33，∴AM＝3MP.∵AC＝AM＋MC＝3MP＋(2＋3)MP＝1，∴MP＝3－14，∴AP＝2MP＝3－12. 文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
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