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省天天低价，畅选无忧Unity ShaderLab学习总结 - 简书
Unity ShaderLab学习总结
Why Bothers？
为什么已经有这种可视化Shader编辑器、为什么Asset Store已经有那么多炫酷的Shader组件可下载，还是有必要学些Shader的编写？
07-11-33.png
因为上面这些Shader工具/组件最终都是以Shader文件的形式而存在。
需要开发人员/技术美术有能力对Shader进行功能分析、效率评估、选择、优化、兼容、甚至是Debug。
对于特殊的需求，可能还是直接编写Shader比较实际、高效。
总之，Shader编写是重要的；但至于紧不紧急，视乎项目需求。
本文只讨论Unity ShaderLab相关的知识和使用方法。但，
既不讨论渲染相关的基础概念，基础概念可参考等文章。
也不讨论具体的
移动设备GPU和桌面设备GPU硬件架构上有较多不同点，详见下面的“移动设备GPU架构简述”一章。
使用Shader
07-25-36.png
如上图，一句话总结：
GameObject里有MeshRenderer，
MeshRenderer里有Material列表，
每个Material里有且只有一个Shader；
Material在编辑器暴露该Shader的可调属性。
所以关键是怎么编写Shader。
Shader基础
使用MonoDevelop这反人类的IDE来编写Shader居然是让人满意的。有语法高亮，无语法提示。如果习惯VisualStudio，可以如下实现.Shader文件的语法高亮。
下载作者donaldwu自己添加的关键词文件。其包括了Unity ShaderLab的部分关键字，和HLSL的所有关键字。关键字以后持续添加中。
将下载的usertype.dat放到Microsoft Visual Studio xx.x\CommonX\IDE\文件夹下；
打开VS，工具&选项&文本编辑器&文件扩展名，扩展名里填“shader”，编辑器选VC++，点击添加；
重启VS，Done。
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
07-17-42.png
Shader的名字会直接决定shader在material里出现的路径
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader" {
一个Shader有多个SubShader。一个SubShader可理解为一个Shader的一个渲染方案。即SubShader是为了针对不同的渲染情况而编写的。每个Shader至少1个SubShader、理论可以无限多个，但往往两三个就足够。一个时刻只会选取一个SubShader进行渲染，具体SubShader的选取规则包括：
从上到下选取
SubShader的标签、Pass的标签
是否符合当前的“Unity渲染路径”
是否符合当前的ReplacementTag
SubShader是否和当前的GPU兼容
按此规则第一个被选取的SubShader将会用于渲染，未被选取的SubShader在这次渲染将被忽略。
SubShader的Tag
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader" {
Tags { "Queue"="Geometry+10" "RenderType"="Opaque" }
SubShader内部可以有标签（Tags）的定义。Tag指定了这个SubShader的渲染顺序（时机），以及其他的一些设置。
"RenderType"标签。Unity可以运行时替换符合特定RenderType的所有Shader。或配合使用。Unity内置的RenderType包括：
"Opaque"：绝大部分不透明的物体都使用这个；
"Transparent"：绝大部分透明的物体、包括粒子特效都使用这个；
"Background"：天空盒都使用这个；
"Overlay"：GUI、镜头光晕都使用这个；
用户也可以定义任意自己的RenderType这个标签所取的值。
应注意，或不要求标签只能是RenderType，RenderType只是Unity内部用于Replace的一个标签而已，你也可以自定义自己全新的标签用于Replace。比如，你为自己的ShaderA.SubShaderA1（会被Unity选取到的SubShader，常为Shader文件中的第一个SubShader）增加Tag为"Distort"="On"，然后将"Distort"作为参数replacementTag传给函数。此时，作为replacementShader实参的ShaderB.SubShaderB1中若有也有一模一样的"Distort"="On"，则此SubShaderB1将代替SubShaderA1用于本次渲染。
具体可参考
"Queue"标签。定义渲染顺序。预制的值为
"Background"。值为1000。比如用于天空盒。
"Geometry"。值为2000。大部分物体在这个队列。不透明的物体也在这里。这个队列内部的物体的渲染顺序会有进一步的优化（应该是从近到远，early-z test可以剔除不需经过FS处理的片元）。其他队列的物体都是按空间位置的从远到近进行渲染。
"AlphaTest"。值为2450。已进行AlphaTest的物体在这个队列。
"Transparent"。值为3000。透明物体。
"Overlay"。值为4000。比如镜头光晕。
用户可以定义任意值，比如"Queue"="Geometry+10"
"ForceNoShadowCasting"，值为"true"时，表示不接受阴影。
"IgnoreProjector"，值为"true"时，表示不接受Projector组件的投影。
另，关于渲染队列和Batch的非官方经验总结是，一帧的渲染队列的生成，依次决定于每个渲染物体的：
Shader的RenderType tag,
Renderer.SortingLayerID,
Renderer.SortingOrder,
Material.renderQueue（默认值为Shader里的"Queue"）,
Transform.z(ViewSpace)（默认为按z值从前到后，但当Queue是“Transparent”的时候，按z值从后到前）。
这个渲染队列决定了之后（可能有dirty flag的机制？）渲染器再依次遍历这个渲染队列，“同一种”材质的渲染物体合到一个Batch里。
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader" {
SubShader {
一个SubShader（渲染方案）是由一个个Pass块来执行的。每个Pass都会消耗对应的一个DrawCall。在满足渲染效果的情况下尽可能地减少Pass的数量。
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader" {
SubShader {
Tags{ "LightMode"="ForwardBase" }
和SubShader有自己专属的Tag类似，Pass也有Pass专属的Tag。其中最重要Tag是 "LightMode"，指定Pass和Unity的哪一种渲染路径（“Rendering Path”）搭配使用。除最重要的ForwardBase、ForwardAdd外，这里需额外提醒的Tag取值可包括：
Always，永远都渲染，但不处理光照
ShadowCaster，用于渲染产生阴影的物体
ShadowCollector，用于收集物体阴影到屏幕坐标Buff里。
其他渲染路径相关的Tag详见下面章节“Unity渲染路径种类”。具体所有Tag取值，可参考。
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"{
SubShader { Pass {} }
FallBack "Diffuse" // "Diffuse"即Unity预制的固有Shader
// FallBack Off //将关闭FallBack
当本Shader的所有SubShader都不支持当前显卡，就会使用FallBack语句指定的另一个Shader。FallBack最好指定Unity自己预制的Shader实现，因其一般能够在当前所有显卡运行。
Properties
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
Properties {
_Range ("My Range", Range (0.02,0.15)) = 0.07 // sliders
_Color ("My Color", Color) = (.34, .85, .92, 1) // color
_2D ("My Texture 2D", 2D) = "" {} // textures
_Rect("My Rectangle", Rect) = "name" { }
_Cube ("My Cubemap", Cube) = "name" { }
_Float ("My Float", Float) = 1
_Vector ("My Vector", Vector) = (1,2,3,4)
// Display as a toggle.
[Toggle] _Invert ("Invert color?", Float) = 0
// Blend mode values
[Enum(UnityEngine.Rendering.BlendMode)] _Blend ("Blend mode", Float) = 1
//setup corresponding shader keywords.
[KeywordEnum(Off, On)] _UseSpecular ("Use Specular",
Float) = 0
SubShader{
uniform float4 _C
float4 frag() : COLOR{ return fixed4(_Color); }
#pragma multi_compile __ _USESPECULAR_ON
//fixed pipeline
Color[_Color]
Shader在Unity编辑器暴露给美术的参数，通过Properties来实现。
所有可能的参数如上所示。主要也就Float、Vector和Texture这3类。
除了通过编辑器编辑Properties，脚本也可以通过Material的接口（比如SetFloat、SetTexture编辑）
之后在Shader程序通过[name]（固定管线）或直接name（可编程Shader）访问这些属性。
在每一个Property前面也能类似C#那样添加Attribute，以达到额外UI面板功能。详见。
Shader中的数据类型
有3种基本数值类型：float、half和fixed。这3种基本数值类型可以再组成vector和matrix，比如half3是由3个half组成、float4x4是由16个float组成。
float：32位高精度浮点数。
half：16位中精度浮点数。范围是[-6万, +6万]，能精确到十进制的小数点后3.3位。
fixed：11位低精度浮点数。范围是[-2, 2]，精度是1/256。
数据类型影响性能
精度够用就好。
颜色和单位向量，使用fixed
其他情况，尽量使用half（即范围在[-6万, +6万]内、精确到小数点后3.3位）；否则才使用float。
ShaderLab中的Matrix
当提到“Row-Major”、“Column-Major”，根据不同的场合，它们可能指不同的意思：
数学上的，主要是指矢量V是Row Vector、还是Column Vector。引用自[Game Engine Architecture 2nd Edition, 183]。留意到V和M的乘法，当是Row Vector的时候，数学上写作VM，Matrix在右边，Matrix的最下面一行表示Translate；当是Column Vector的时候，数学上写作MtVt，Matrix在左边并且需要转置，Matrix最右面一列表示Translate。
访问接口上的：Row-Major即MyMatrix[Row][Column]、Column-Major即MyMatrix[Column][Row]。/的访问接口都是Row-Major，比如MyMatrix[3]返回的是第3行；的访问接口是Column-Major，比如MyMatrix[3]返回的是第3列。
寄存器存储上的：每个元素是按行存储在寄存器中、还是按列存储在寄存器中。需要关注它的一般情况举例是，float2x3的MyMatrix，到底是占用2个寄存器（Row-Major）、还是3个寄存器（Column-Major）。在HLSL里，可以通过#pragmapack_matrix设定row_major或者column_major。
上述情况，互不相干。然后，ShaderLab中，数学上是Column Vector、访问接口上是Row-Major、存储上是（尚未查明）。
ShaderLab中各个Space的坐标系
一般情况下，从Vertex Buff输入顶点到Vertex Shader，
该顶点为左手坐标系Model Space中的顶点vInModel，其用w=1的Homogenous Cooridniates（故等效于Cartesian Coordinates）表达vInModel = float4(xm, ym, zm, 1)；
vInWrold = mul(_Object2World , vInModel)后，得出左手坐标系World Space中的vInWorld，其为w=1的Homogenous Cooridniates（故等效于Cartesian Coordinates）vInWorld = float4(xw, yw, zw, 1)；
vInView = mul(UNITY_MATRIX_V , vInWrold)后，得出右手坐标系View Space中的vInView，其为w=1的Homogenous Cooridniates（故等效于Cartesian Coordinates）vInWorld = float4(xv, yv, zv, 1)；
vInClip = mul(UNITY_MATRIX_P , vInView)后，得出左手坐标系Clip Space中的vInClip，其为w往往不等于1的Homogenous Cooridniates（故往往不等效于Cartesian Coordinates）vInClip = float4(xc, yc, zc, wc)；设r、l、t、b、n、f的长度绝对值如下图：
注意View Space中摄像机前方的z值为负数、-z为正数。则GL/DX/Metal的Clip Space坐标为：
xc=(2nx+rz+lz)/(r-l);
yc=(2ny+tz+bz)/(t-b);
zc=(-fz-nz-2nf)/(f-n);
xc=(2nx+rz+lz)/(r-l);
yc=(2ny+tz+bz)/(t-b);
zc=(-fz-nf)/(f-n);
vInNDC = vInClip / vInClip.w后，得出左手坐标系Normalized Device Coordinates中的vInNDC，其为w=1的Homogenous Cooridniates（故等效于Cartesian Coordinates）vInNDC = float4(xn, yn, zn, 1)。xn和yn的取值范围为[-1,1]。
GL: zn=zc/wc=(fz+nz+2nf)/((f-n)z);
DX/Metal: zn=zc/wc=(fz+nf)/((f-n)z);
在Unity中，zn的取值范围可以这样决定：
如果UNITY_REVERSED_Z已定义，zn的取值范围是[UNITY_NEAR_CLIP_VALUE, 0]，即[1,0]
如果UNITY_REVERSED_Z未定义，zn的取值范围是[UNITY_NEAR_CLIP_VALUE, 1]
如果SHADER_API_D3D9/SHADER_API_D3D11_9X定义了，即[0,1]
否则，即OpenGL情况，即[-1,1]
v2f vert (appdata v)
o.vertex = mul(UNITY_MATRIX_MVP, v.vertex);
// 1 、2、3是等价的，和4是不等价的
// 因为是M在左、V在右，所以是Column Vector
// 因为是HLSL/CG语言，所以是访问方式是Row-Major
o.rootInView = mul(UNITY_MATRIX_MV, float4(0, 0, 0, 1)); // 1
o.rootInView = float4(UNITY_MATRIX_MV[0].w, UNITY_MATRIX_MV[1].w, UNITY_MATRIX_MV[2].w, 1); // 2
o.rootInView = UNITY_MATRIX_MV._m03_m13_m23_m33;
//o.rootInView = UNITY_MATRIX_MV[3]; // 4
fixed4 frag (v2f i) : SV_Target
// 因为是ViewSpace是右手坐标系，所以当root在view前面的时候，z是负数，所以需要-z才能正确显示颜色
fixed4 col = fixed4(i.rootInView.x, i.rootInView.y, -i.rootInView.z, 1);
struct appdata
float4 vertex : POSITION;
struct v2f
float4 rootInView : TEXCOORD0;
float4 vertex : SV_POSITION;
Shader形态
Shader形态之1：固定管线
固定管线是为了兼容老式显卡。都是顶点光照。之后固定管线可能是被Unity抛弃的功能，所以最好不学它、当它不存在。特征是里面出现了形如下面Material块、没有CGPROGRAM和ENDCG块。
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
Properties {
_Color ("My Color", Color) = (.34, .85, .92, 1) // color
// Fixed Pipeline
Diffuse [_Color]
Ambient [_Color]
Lighting On
Shader形态之2：可编程Shader
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
Properties {}
// ... the usual pass state setup ...
// compilation directives for this snippet, e.g.:
#pragma vertex vert
#pragma fragment frag
// the Cg/HLSL code itself
float4 vert(float4 v:POSITION) : SV_POSITION{
return mul(UNITY_MATRIX_MVP, v);
float4 frag() : COLOR{
return fixed4(1.0, 0.0, 0.0, 1.0);
// ... the rest of pass setup ...
功能最强大、最自由的形态。
特征是在Pass里出现CGPROGRAM和ENDCG块
编译指令#pragma。详见。其中重要的包括：
#pragma vertex name#pragma fragment name
替换name，来指定Vertex Shader函数、Fragment Shader函数。
#pragma target name
替换name（为2.0、3.0等）。设置编译目标shader model的版本。
#pragma only_renderers name name ...#pragma exclude_renderers name name...
#pragma only_renderers gles gles3，#pragma exclude_renderers d3d9 d3d11 opengl，只为指定渲染平台（render platform）编译
引用库。通过形如#include "UnityCG.cginc"引入指定的库。常用的就是UnityCG.cginc了。其他库详见。
ShaderLab内置值。Unity给Shader程序提供了便捷的、常用的值，比如下面例子中的UNITY_MATRIX_MVP就代表了这个时刻的MVP矩阵。详见。
Shader输入输出参数语义（Semantics）。在管线流程中每个阶段之间（比如Vertex Shader阶段和FragmentShader阶段之间）的输入输出参数，通过语义字符串，来指定参数的含义。常用的语义包括：COLOR、SV_Position、TEXCOORD[n]。完整的参数语义可见（由于是HLSL的连接，所以可能不完全在Unity里可以使用）。
特别地，因为Vertex Shader的的输入往往是管线的最开始，Unity为此内置了常用的数据结构：
appdata_base
vertex shader input with position, normal, one texture coordinate.
appdata_tan
vertex shader input with position, normal, tangent, one texture coordinate.
appdata_full
vertex shader input with position, normal, tangent, vertex color and two texture coordinates.
appdata_img
vertex shader input with position and one texture coordinate.
Shader形态之3：SurfaceShader
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
Properties {
// Surface Shader
SubShader {
Tags { "RenderType" = "Opaque" }
#pragma surface surf Lambert
struct Input {
float4 color : COLOR;
void surf (Input IN, inout SurfaceOutput o) {
o.Albedo = 1;
FallBack "Diffuse"
SurfaceShader可以认为是一个光照Shader的语法糖、一个光照VS/FS的生成器。减少了开发者写重复代码的需要。
在手游，由于对性能要求比较高，所以不建议使用SurfaceShader。因为SurfaceShader是一个比较“通用”的功能，而通用往往导致性能不高。
特征是在SubShader里出现CGPROGRAM和ENDCG块。（而不是出现在Pass里。因为SurfaceShader自己会编译成多个Pass。）
编译指令是：#pragma surface surfaceFunction lightModel [optionalparams]
surfaceFunction：surfaceShader函数，形如void surf (Input IN, inout SurfaceOutput o)
lightModel：使用的光照模式。包括Lambert（漫反射）和BlinnPhong（镜面反射）。
也可以自己定义光照函数。比如编译指令为#pragma surface surf MyCalc
在Shader里定义half4 LightingMyCalc (SurfaceOutput s, 参数略)函数进行处理(函数名在签名加上了“Lighting”）。
你定义输入数据结构（比如上面的Input）、编写自己的Surface函数处理输入、最终输出修改过后的SurfaceOutput。SurfaceOutput的定义为struct SurfaceOutput {
half3 A // 纹理颜色值（r, g, b)
half3 N // 法向量(x, y, z)
half3 E // 自发光颜色值(r, g, b)
half S // 镜面反射度
half G // 光泽度
half A // 不透明度
Shader形态之4：Compiled Shader
点击a.shader文件的“Compile and show code”，可以看到该文件的“编译”过后的ShaderLab shader文件，文件名形如Compiled-a.shader。其依然是ShaderLab文件，其包含最终提交给GPU的shader代码字符串。先就其结构进行简述如下，会发现和上述的编译前ShaderLab结构很相似。
// Compiled shader for iPhone, iPod Touch and iPad, uncompressed size: 36.5KB
// Skipping shader variants that would not be included into build of current scene.
Shader "ShaderLab Tutorials/TestShader"
Properties {...}
SubShader {
// Stats for Vertex shader:
gles : 14 avg math (11..19), 1 avg texture (1..2)
metal : 14 avg math (11..17)
// Stats for Fragment shader:
metal : 14 avg math (11..19), 1 avg texture (1..2)
Program "vp" // vertex program
SubProgram "gles" {
// Stats: 11 math, 1 textures
Keywords{...} // keywords for shader variants ("uber shader")
//shader codes in string
#ifdef VERTEX
vertex shader codes
// Note, on gles, fragment shader stays here inside Program "vp"
#ifdef FRAGMENT
fragment shader codes
SubProgram "metal"
some setup
Keywords{...}
//vertex shader codes in string
Program "fp" // fragment program
SubProgram "gles" {
Keywords{...}
"// shader disassembly not supported on gles" //(because gles fragment shader codes are in Program "vp")
SubProgram "metal" {
common setup
Keywords{...}
//fragment shader codes in string
Unity渲染路径（Rendering Path）种类
开发者可以在Unity工程的PlayerSettings设置对渲染路径进行3选1：
Deferred Lighting，延迟光照路径。3者中最高质量地还原光照阴影。光照性能只与最终像素数目有关，光源数量再多都不会影响性能。
Forward Rendering，顺序渲染路径。能发挥出Shader全部特性的渲染路径，当然也就支持像素级光照。最常用、功能最自由，性能与光源数目*受光照物体数目有关，具体性能视乎其具体使用到的Shader的复杂度。
Vertex Lit，顶点光照路径。顶点级光照。性能最高、兼容性最强、支持特性最少、品质最差。
渲染路径的内部阶段和Pass的LightMode标签
每个渲染路径的内部会再分为几个阶段。然后，Shader里的每个Pass，都可以指定为不同的LightMode。而LightMode实际就是说：“我希望这个Pass在这个XXX渲染路径的这个YYY子阶段被执行”。
Deferred Ligting
渲染路径内部子阶段
对应的LightMode
"PrepassBase"
渲染物体信息。即把法向量、高光度到一张ARGB32的物体信息纹理上，把深度信息保存在Z-Buff上。
Lighting Pass
无对应可编程Pass
根据Base Pass得出的物体信息，在屏幕坐标系下，使用BlinnPhong光照模式，把光照信息渲染到ARGB32的光照信息纹理上（RGB表示diffuse颜色值、A表示高光度）
Final Pass
"PrepassFinal"
根据光照信息纹理，物体再渲染一次，将光照信息、纹理信息和自发光信息最终混合。LightMap也在这个Pass进行。
Forward Rendering
渲染路径内部子阶段
对应的LightMode
"ForwardBase"
渲染：最亮一个的方向光光源（像素级）和对应的阴影、所有顶点级光源、LightMap、所有LightProbe的SH光源（Sphere Harmonic，球谐函数，效率超高的低频光）、环境光、自发光。
Additional Passes
"ForwardAdd"
其他需要像素级渲染的的光源
注意到的是，在Forward Rendering中，光源可能是像素级光源、顶点级光源或SH光源。其判断标准是：
配制成“Not Important”的光源都是顶点级光源和SH光源
最亮的方向光永远都是像素级光源
配置成“Important”的都是像素级光源
上面2种情况加起来的像素级光源数目小于“Quality Settings”里面的“Pixel Light Count”的话，会把第1种情况的光源补为额外的像素级光源。
另外，配置成“Auto”的光源有更复杂的判断标注，截图如下：
07-31-40.png
具体可参考。
Vertex Lit
渲染路径内部子阶段
对应的LightMode
渲染无LightMap物体
VertexLMRGBM
"VertexLMRGBM"
渲染有RGBM编码的LightMap物体
"VertexLM"
渲染有双LDR编码的LightMap物体
不同LightMode的Pass的被选择
一个工程的渲染路径是唯一的，但一个工程里的Shader是允许配有不同LightMode的Pass的。在Unity，策略是“从工程配置的渲染路径模式开始，按Deferred、Forward、VertxLit的顺序，搜索最匹配的LightMode的一个Pass”。比如，在配置成Deferred路径时，优先选有Deferred相关LightMode的Pass；找不到才会选Forward相关的Pass；还找不到，才会选VertexLit相关的Pass。再比如，在配置成Forward路径时，优先选Forward相关的Pass；找不到才会选VertexLit相关的Pass。
移动设备GPU架构简述
《The Mali GPU: An Abstract Machine》系列以Arm Mali GPU为例子给出了全面的讨论，现简述如下：
Application/Geometry/Fragment三阶段组成，三者中最大才是瓶颈
OpenGL的同步API是个“illusion”，事实上是CommandQueue（直到遇到Fence会被强制同步）,以减少CPU/GPU之间的互相等待
Pipeline Throttle，为了更低的延迟，当GPU累积了多帧（往往是3帧，以eglSwapBuffers()或Present()来区分帧）的Command时，OS会通过eglSwapBuffers()或Present()来阻塞CPU让其进入idle，从而防止更多后续Command的提交
tile-based deferred rendering （，//）是重要的概念。其将Fragment一帧处理多个比如16x16的单元，并为Shader集成一个小但快的cache，从而大幅避免Shader和主内存之间带宽消耗（电量消耗）
GPU包含数个（当前常见为4-8个）Unified Shading Core，可动态分配用于Vertex Shader、Fragment Shader或Compute Kernel
每个Unified Shader Core包含数个（当前常见为2个）用于SIMD计算的运算器Arithmetic Pipeline（A-pipe），1个用于纹理采样的Texutre Pipeline（T-pipe），1个用于非纹理类的内存读写的Load/Store Pipeline（LS-pipe）比如顶点属性写读、变量访问等
会进行Early-ZS测试尝试减少Overdraw（依赖于渲染物体提交顺序由前至后）
Arm的和PowerVR的Hidden Surface Removal做到像素级别的Overdraw减少（不用依赖于渲染物体提交顺序由前至后）
当Shader使用discard或clip、在Fragment Shader里修改深度值、半透明，将不能进行Early-ZS，只好使用传统的Late-ZS
2016年的新型号，对架构作出了优化
Youtube： （包括part1-6）。视频是最佳的入门方式没有之一，所以墙裂建议就算不看下文的所有内容，都要去看一下part1。
书籍：《Unity 3D ShaderLab开发实战详解》
Unity各种官方文档
live learn and love&相关说明：
&您可能需要的资源：概述在上一次学习中，学习关于坐标系的那些事。这次学习继续往下，学习在坐标系中的点和矢量。了解点和矢量的区别，以及一些基本运算。点点的概念比较简单：点是n维空间中(游戏中指二维或者三维)的一个位置。点没有大小，方向。它仅仅表示一个位置。点的表示，通常使用一组数字来表示一个点P，二维和三维空间的点表示如下：二维空间的点：&三维空间的点：&矢量矢量 & 也被称为向量(vector)。矢量的表示也是一组数字，这不是和点一样了么!!!!没错，虽然表示方法看上去是相似的，但是矢量的定义比起点来说要复杂了一些。矢量指的是n维空间中一条包含了模(大小)和方向的有向线段。与矢量对应的是：标量(只有大小没有方向)。矢量和点的区别：矢量是一个有向线段，包含了模和方向，它没有位置的概念，只要矢量的模和方向不变，无论放到哪里都是同一个矢量。点是一个位置，没有大小和方向。矢量的运算下面开始，来了解一下矢量的一些常见运算。这些运算都相对比较好理解。1、矢量和标量的乘法/除法矢量和标量可以进行乘除法运算。但是不能进行加减法。这个运算很简单，直接给出公式。就是使用标量分别乘以矢量的各个分量：&&&&关于矢量和标量的乘除法，从几何意义上可以看做是对矢量V进行一个大小为|k|的缩放。若k&0，那么这个矢量的方向还会和原矢量相反。2、矢量的加减法上面我们提到了，矢量不能和标量进行加减法。但是矢量可以和矢量进行加减法运算。ps：参加矢量加减法的两个矢量，维度必须相同。矢量的加减法，就是将两个矢量的对应分量的进行加减法运算即可。向量加减法的几何意义：1、向量加法的几何意义：向量a、b相加，可以看成是将向量a的头平移连接到向量b的尾，然后将向量a的尾和向量b的头连接就构成一条新的向量。这条新的向量就是a + b。如下图：&&关于向量加法的运算的几何意义，就是一个三角形法则。2、向量减法的几何意义：向量a、b相减，将向量b的尾平移到和向量a的尾的位置重合。然后将向量b的头和向量a的头连接就构成了一条新的向量。这条新的向量就是a - b。如下图：&&3、矢量的模矢量是有大小和方向的。矢量的大小就是它的模。矢量的模是一个标量，矢量的模可以理解成是矢量在空间中的长度。它用两条竖线包裹矢量表示。例如：|v|。模的计算公式如下：&&4、单位矢量矢量是有大小和方向的。上面我们已经知道了如何计算矢量的大小(模)。现在来看下如何获取到矢量的方向。在很多情况下，我们只关心矢量的方向而不是大小。例如：在计算光照模型的时候，我们往往需要得到法线和光源方向，这个时候我们就不用关心这些矢量有多长。计算矢量的方向就是计算单位矢量。 单位矢量就是：模为1的矢量。单位矢量的计算过程被叫做归一化。ps：零向量是没有单位矢量的。单位矢量的计算就是使用矢量的各个分量除以这个矢量的模长。单位矢量的计算公式：&&ps：由上面的公式可以看出，为什么零向量不能被归一化。因为零向量的模长为0，分母为0没有意义。5、矢量的乘法之前我们说过，矢量可以和标量进行相乘。最后的结果是对原矢量的缩放并且可能会造成方向相反。那么矢量和矢量之间可以进行相乘么?答案是可以的。矢量之间的乘法与矢量和标量之间的乘法有很大不同，分为两种：点积 & 也叫作内积 叉积 & 也叫作外积下面就来对他们分别进行介绍。5.1、点积点积的名称来源于它的运算符号。对矢量a和矢量b进行点击操作。表示为：&ps：矢量之间的点号是不能够省略的。点积的公式有两种形式：公式一：两个矢量的点积，就是将两个矢量的对应分量相乘后再取和。最后的到的结果是一个标量。公式如下：&&点积的第一个几何意义 & 投影假设，有一个单位矢量a和另外一个长度不限的矢量b。现在希望得到矢量b在矢量a上的投影。这时候就能够使用点积来得到投影结果。如下图：&ps：投影的值可能是负数。投影值的符号与单位矢量a和矢量b的方向有关。当方向相反时(夹角大于90&)，结果小于0。当方向相同时(夹角小于90&)，结果大于0。当方向互相垂直时(夹角等于90&)，结果等于0。疑问：如果这里的单位向量a不是单位向量也是任意长度的向量，那么结果会是什么样的?答案是：结果是等于单位向量a和向量b的点积再乘以a的模长。点积还有几个重要的性质：1、点积可结合标量乘法：&&2、点积可结合矢量加法和减法：&&3、一个矢量和本身进行点积的结果是该矢量模的平方。&&公式二：公式二从三角代数的角度出发，这种形式可以更明确的强调出两个矢量之间的角度关系。公式如下：&&疑问：这个公式到底是怎么来的?还记得上面我们说到的向量b投影到向量a上就是它们的点积吗?看下图：&&可以看到，用向量a和向量b可以构建出一个夹角。点积的结果刚好是这个夹角的邻边。假设现在矢量b是单位矢量。根据：&可以知道：&由性质1进行扩展一下，假设这时候向量a和向量b都不是单位矢量了那么就能够得到最后的公式：&&从这个可以更清楚的看出点积的结果和夹角之间的关系。这也就是投影的时候为什么会有不同符号投影值的原因。5.2、叉积矢量的另一种乘法运算是叉积。与点积不同的是，点积的结果是一个标量。而叉积的结果还是一个向量。叉积的运算符号同样来自于它的运算符号。表示为：这里的运算符号依旧不能省略。&叉积的公式相比于点积来说复杂一些：&&其实这个公式是有规律的，如下图：&&ps：叉积既不满足交换律也不满足结合律。但是叉积满足反交换律&叉积的几何意义：对两个矢量进行叉积的结果是一个垂直于这两个矢量的新矢量。那么这个新矢量的模和方向应该怎么计算呢? 叉积的模长公式如下：&&可以看到这个公式和点积的公式二非常相似。不同的是这里使用了正弦值。作者的书中说到：这个公式和平行四边形的公式是一样的。反正我是忘记了O(&_&)O哈哈哈~。那么来构建一个平行四边形。如下图：&&这里的高h使用矢量a的模长和夹角的正弦值来求得。最后再用这个求得的h乘以矢量b的模长就能求得到叉积的模长。ps：若矢量a和矢量b的反向相同或者相反，那么构建出来的新矢量就是一个零矢量!!!就爱阅读网友整理上传,为您提供最全的知识大全,期待您的分享，转载请注明出处。
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