探究当点E在什么位置时,四边形EPCF是平行四边形的面积

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-05 15:22 标签： 平行四边形的面积
> 【答案带解析】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点...
在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90&，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120&，请直接写出∠BDG的度数．
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；
（3）延长AB、FG交于H...
考点分析：
考点1：全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
考点2：等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1．
考点3：平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：&&&& ①边：平行四边形的对边相等．&&&&&②角：平行四边形的对角相等．&&&& ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：&&&& ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．&&&& ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
考点4：菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
考点5：正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
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题型：解答题
难度：中等
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如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF＝BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．(1)如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；(2)如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；(3)在(2)的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．
主讲：杨朝粉
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBA＝90°∵在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC(SAS)，∴PA＝FC，∠PAB＝∠FCB．∵PA＝PE，∴PE＝FC．∵∠PAB＋∠APB＝90°，∴∠FCB＋∠APB＝90°．∵∠EPA＝90°，∴∠APB＋∠EPA＋∠FPC＝180°，即∠EPC＋∠PCF＝180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；(2)结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBF＝90°∵在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC(SAS)，∴PA＝FC，∠PAB＝∠FCB．∵PA＝PE，∴PE＝FC．∵∠FCB＋∠BFC＝90°，∠EPB＋∠APB＝90°，∴∠BPE＝∠FCB，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；(3)设BP＝x，则PC＝3－x平行四边形PEFC的面积为S，S＝PC•BF＝PC•PB＝(3－x)x．∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，∴当时，S最大，∴当时，四边形PCFE的面积最大，最大值为．
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