高数函高数求单调区间间

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-26 11:04 标签： 高数求单调区间

《同济大学高数B期末考试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高数B期末考试题（17页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

1、 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 设函数具有二阶导数, 且, 则.2. 设函数为可导函数, 且, 由参数方程所确定的函数的 导数.3. 极限.4. 微分方程的特解形式为(不需确定系数) .二 选择题()5. 设函数在内连续, 且, 则常数满足: . ; ; ; 6. 曲线, 没有水平渐近线但有铅直渐近线; 没有铅直渐近线但有水平渐近线; 没有水平和铅直渐近线; 有水平和铅直渐近线7. 将时的无穷小量排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: ; ; ; 8. 设函数在点的某个邻域内有定义, 且, 则在该点处 : 不可

2、导; 可导且; 取得极大值; 取得极小值.三. 解答题()9. 求极限, 10. 计算定积分 11. 计算反常积分 12. 试求微分方程的通解 四. ()求曲线上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小. 五. ()设不定积分, (1)计算; (2)利用变换, 建立的递推公式 (1); (2)六. ()设函数在上连续, 且在上, 证明至少存在一点 , 使. 七. ()过坐标原点作曲线的切线, 记该切线与此曲线及轴所围成的平 面图形为, 试求: (1)平面图形的面积; (2)平面图形绕直线旋转一周所成的旋转体的体积, 八. ()已知是某个二阶常系数线性非齐 次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的

3、通解并建立此微分方程. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题()1. 已知极限存在, 且函数满足: , 则 .2. 设函数, 则.3. 不定积分.4. 定积分.二. 选择题()5. 曲线的斜渐近线方程为 ; ; ; .6. 曲线上点处曲率 ; ; ; .7. 设为内连续的偶函数, , 则原函数 均为奇函数; 均为偶函数; 中只一个奇函数; 既非奇函数也非偶函数.8. 设为曲线上相应于的一段弧长, 为椭圆的周长, 则 ; ; ; .三. 解答题()9. 求极限. 10. 设是内的连续的奇函数, 且, 证明在处可导, 并求. 11. 求定积分, 其中表示不超过

4、的最大整数. 12. 判定反常积分的收敛性, 如果收敛, 求出其值. 四. ()设是内的连续函数, 且, 试求极限. 五. ()设可积函数在内满足关系式: , 且当 时, 试求. 六. ()设为正整数, 函数, 求曲线与直线 所围平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积. 七. ()求微分方程的通解. 八. ()令, 化简微分方程, 并求其通解. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限.2. 若极限, 则.3. 积分.4. 积分.5. 微分方程的通解为.6. 记, , , . 则这项积 分的大小关系为 ;.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是

5、 ; ; ; 8. 若函数在连续, 则常数 ; ; ; .二. 解答题()1. 计算由曲线与直线所围平面图形的面积. 2. 若函数与具有阶导数, 试写出计算阶导数的莱布尼茨公式, 计算的阶导数. 3. 求函数的单调区间以及函数的极大与极小值. 4. 计算反常积分. 5. 求微分方程的解. 三. ()在长度单位为米的坐标中, 由方程与直线围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中轴平行于水面且在水下米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. 四. ()求积分, 五. ()1. 试求常数, 使得函数在=在区间上可导; 2. 若由该曲线段绕轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量向容器均匀 的注水, 试求该

6、容器在水溢出前水深为时水面的上升速度. ;六. ()要建一个容积为, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知 顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省. ,七. ()函数在上具有二阶导数, 并且, 对于任意, 由拉格 朗日中值定理, 存在, 使得. 证明定义了 上的一个单调增加函数. 递减唯一确定(函数); 又可证, 可得递增 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 函数的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2. 在所对应点的曲率3. 极限4. 由方程所确定的函数在点的导数

7、5. 函数在上连续, 则数列极限存在是函数极限存在的什 么条件? 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 在区间上, 函数连续的充分条件是: 存在; 可导; 具有原函数; 有界.7. 如果作换元, 则定积分等于 ; ; ; .8. 可导函数在区间上单调增加的充分条件是在该区间上 ; ; ; .二. ()1. 如图是函数的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: ; 或. ; ; ; .2. 求极限 3. 计算不定积分 三. ()1. 求曲线的凹凸区间与拐点的坐标. ; 拐点:2. 计算反常积分. 3. 一个由曲线段绕轴旋转形成的容器内装满了比重为的均匀液体, 如果要将该容器内的

8、液体全部排空至少需要做多少功. 四. ()试用适当的换元法求微分方程的通解. 五. ()试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间 的函数未必连续. 最值定理; 介值定理; 反例略六. ()计算由曲线, 该曲线经过坐标原点的切线以及轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 切线:;切点:; 七. ()试求微分方程的通解. 八. ()是以为周期的连续函数, 若, 求极限. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题()1. 极限2. 利用定积分的几何意义，积分3. 微分方程的通解为4. 已知敌方的导弹阵地

9、位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线，我方 拦截导弹的阵地位于轴正向公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为，则该点满足的方程为 5. 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【】 充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.6. 是连续函数, 曲线段的弧长的计算公式为 【】 ; ; ; 无关条件.7. 函数具有三阶连续导数，如果，则下列四项积分中，积分值 确定为正数的积分为 【】 ; ; ; .8. 利用换元, 积分等于 【】 ; ; ; .二

10、. 计算下列各题()1. 试计算由所确定的曲线在点的切线方程. 2. 求由参数方程所确定函数的导数. 3. 求不定积分 4. 曲线段的弧长为, 是平面上与距离不超过的点集, 即,的面积为,求极限. 三. ()计算反常积分. 四. ()具有二阶导数, 如果极限, 求. 五. ()可导函数满足方程, 求函数. 六. ()求函数的单调区间与极值, 并求出该函数在区间上的最值. 极小,极大; 七. ()计算由曲线, 直线以及轴所围图形的面积; 并求出由该图 形绕轴旋转所得旋转体的体积. 八. ()计算极限. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限2

11、. 在对应点的曲率3. 反常积分收敛, 则常数的取值区间是4. 5. 在(其中)上具有二阶导数,且,下列不等式正确的是 【】 ; ; ; .6. 是连续函数, 极限等于下面的定积分 【】 ; ; ; .7. 如果数列在任意区间上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【】 是收敛数列; 是有界数列但不收敛; 是无界数列但是当时不是无穷大量; 极限.8. , 则在区间内有几个实根 【】 个; 个; 个; 至少个.二. 计算下列各题()1. 求函数的单调区间与凹凸区间. 2. 求曲线在点的切线方程. 3. 计算反常积分 4. 求微分方程的通解. 三. ()分析曲线是否有铅直、水平与斜渐近线, 如

12、果有则求出 相应的渐近线. 铅直渐近线; 斜渐近线四. ()已知都是非负的连续函数, 曲线与关于直线对 称,由曲线以及直线所围成的平面图形的面积为. (1)证明该图形绕轴旋转所得旋转体的体积为; (2)计算椭圆绕直线旋转所得旋转体的体积. 五. ()设是可导函数, 并且满足方程, 求函数. 六. ()(1)写出的带有佩亚诺余项的阶迈克劳林公式;(2)计算极限. (1);(2)七. ()由方程所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度 单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率. (1);

13、(2)八. ()设所围图形在第一象限部分的面积为. (1)利用定积分写 出的计算公式(无需计算的值); (2)证明极限存在; (3)计算极限. (1);(2);(3) 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题()1. 极限.2. 积分.3. 函数的导函数.4. 曲线的弧长.5. 极限的定义是 【】 , 当时, 有; , 当时, 有; , 当时, 有; , 当时, 有.6. 若是二阶微分方程的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【】 , 其中是任意常数; , 其中是任意常数; , 其中是任意常数; , 其中任意常数.7. 若是连续函数, 则极限等于 【】

14、; ; ; .8. 若对于积分作换元, 则该定积分化为 【】 ; ; ; .二. 计算下列各题()1. 试求曲线在点处的切线方程. 2. 求不定积分. 3. 求微分方程的通解. 4. 求微分方程的通解. 三. ()计算由与直线所围图形的面积. 四. ()计算反常积分. 五. ()已知的函数图像如图, (1)求函数的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线的凹凸区间与拐点. 极大,极小 拐点六. ()在半径为的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的 底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值. 七. ()一椭球形容器由长半轴为, 短半轴为的半支椭圆曲线绕其短

15、半轴旋转而成, 若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功. 八. ()已知具有二阶导数, 且, 判断的情况, 并给出判 断的理由. 同济大学学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题()1. 具有二阶导数, 且. 若曲线在的曲率为, 其 反函数所表示的曲线在对应点的曲率为, 则有 【】 ; ; ; .2. 已知函数满足, 如果在任意点处, 当充分小时都有 , 则有 【】 ; ; ; 题中所给的条件无法得到确定的函数.3. 下面的极限式中哪项等于连续函数的定积分. 【】 ; ; ; .4. 要使反常积分收敛, 则实数的取值范围是 【】 ; ; ; .5. 如果作换元, 则积分.6. 微分方程的通解.7. 已知, 则.8. 定积分.二. 计算题()1. 求极坐标所表示的曲线在所对应点处的切线方程. 2. 计算定积分. 3. 可导函数满足等式, 求函数. 三. ()已知函数在点左连续, 同时该点是函数的跳跃间断点, 如 果该函数只有一个间断点, 试分析函数间断点的个数. 三个; 两个; 或一个四. ()求微分方程的解. 五. ()曲线. (1)求该曲线在点处的切线方程; (2)求该曲线与切线以及轴所围图形的面积; (3)求题

大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列，证明 【证明示例】语言 1．由化简得， ∴ 2．即对，，当时，始终有不等式成立， ∴ 第三节 函数的极限 ○时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数，证明 【证明示例】语言 1．由化简得， ∴ 2．即对，，当时，始终有不等式成立， ∴ ○时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数，证明 【证明示例】语言 1．由化简得， ∴ 2．即对，，当时，始终有不等式成立， ∴ 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数无穷小 函数无穷大 ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设为有界函数，为无穷小，则 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大 【题型示例】计算：（或） 1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的； （∵≤，∴函数在上有界；） 2．即函数是时的无穷小； （即函数是时的无穷小；） 3．由定理可知 （） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式、商式的极限运算 设： 则有 （特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值 【求解示例】解：因为，从而可得，所以原式 其中为函数的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解： ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么， 【题型示例】求值： 【求解示例】 第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限： ∵，∴ （特别地，） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★） 第二个重要极限： （一般地，，其中） 【题型示例】求值： 【求解示例】 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1． 2． （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值： 【求解示例】 第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） ○间断点的分类（P67）（★） （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数 ，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？ 【求解示例】 1．∵ 2．由连续函数定义 ∴ 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程至少有一个根介于与之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续； 2．∵（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（） 4．这等式说明方程在开区间内至少有一个根 第一章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数 ，在处可导，求， 【求解示例】 1．∵， 2．由函数可导定义 ∴ 【题型示例】求在处的切线与法线方程 （或：过图像上点处的切线与法线方程） 【求解示例】 1．， 2．切线方程： 法线方程： 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）： 特别地，当时，有 2．函数积的求导法则（定理二）： 3．函数商的求导法则（定理三）： 第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数的导数 【求解示例】由题可得为直接函数，其在定于域 上单调、可导，且；∴ ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设，求 【求解示例】 第四节 高阶导数 ○（或）（★） 【题型示例】求函数的阶导数 【求解示例】， ， …… 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程 【求解示例】由两边对求导 即化简得 ∴ ∴切线方程： 法线方程： ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程，求 【求解示例】1.2. 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 ○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） 第二章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数在上连续，在 上可导，试证明：， 使得成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令 显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导； 2．又∵ 即 3．∴由罗尔定理知 ，使得成立 ○拉格朗日中值定理（★） 【题型示例】证明不等式：当时， 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且； 2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立， 又∵，∴， 化简得，即证得：当时， 【题型示例】证明不等式：当时， 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数，则对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且； 2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立， 化简得，又∵， ∴，∴， 即证得：当时， 第二节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A．属于两大基本不定型（）且满足条件， 则进行运算： （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B．不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值： 【求解示例】 （一般地，，其中） ⑵型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值： 【求解示例】 ⑶型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 【求解示例】 ⑷型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 【求解示例】 ⑸型（对数求极限法） 【题型示例】求值： 【求解示例】 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数的单调区间 【求解示例】 1．∵函数在其定义域上连续，且可导 ∴ 2．令，解得： 3．（三行表） 极大值 极小值 4．∴函数的单调递增区间为； 单调递减区间为 【题型示例】证明：当时， 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设，

大一高数知识点与例题讲解

  蚂蚁文库所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。

2013年成人高考专升本高数（二）一元函数微分学考点及典型例题：函数单调性的判别（单调区间和驻点）

学易网校成人高考考试中心编辑整理2013年成人高考专升本高数（二）一元函数微分学考点及典型例题：函数单调性的判别（单调区间和驻点），供成考考生参考复习。更多关于成人高考辅导资料请登录学易网校 / 查询，或电话咨询：400-622-5005，010-！

2013年专升本高数（二）一元函数微分学考点及典型例题：函数单调性的判别（单调区间和驻点）


我要回帖

更多关于 高数求单调区间 的文章

 

随机推荐