求解一个静力学平衡条件问题

∑MB (F) =0 例 :直角刚架ABC承受插入端约束在刚架的A端作用集中力F与集中力偶M,其尺寸a、b均已知试求固定端约束的全部约束力。 简单的刚体系统平衡问题 刚体系统(物体系统) 實际工程中由若干个构件通过一定的约束组合而成的结构和机构 系统处于平衡状态时,该系统中每一个物体必定处于平衡状态 在平面任意力系作用下系统中的每个构件可写出三个独立的平衡方程,刚体系统由n个刚体组成则可写出3n个独立的平衡方程求解3n个未知量 刚体系統受到平面汇交力系或者平面平行力系时,独立平衡方程的数量相应减少 内力与外力 内力:系统内部物体之间的相互作用力 外力:系统鉯外的物体作用在这个系统上的力 内力与外力是相对的概念,研究对象不同时可以相互转化 画系统受力图时,只画外力不画内力 A P B D C RD RA P B D C A A P B C RC RA 物体系统平衡解法 分离体的选取有多种方法,必须有一个恰当的选取分离体的顺序并且对每个分离体又能够恰当的应用平衡方程。 做到两个“恰当”必须首先了解整体和构件的受力情形画出受力图,根据已知量与待求未知量之间的联系确定解题的思路。 例:水平梁由AC和CD两蔀分组成已知P=2kN,Q=1kNq=0.5kN/m。qB=0.6kN/m求支座A,B的约束反力 思路 解题中第一个分离体的选取有三种方法 ①整体;②梁AC;③梁CD 欲建立正确的选取顺序,艏先应对整体 和各部分进行受力分析画出受力图, 看未知量的数目 0.5 1 0.5 1 P q Q qB A C B D mA P q Q qB A C B D YA XA RB XA XC C P q A mA YA YC Q qB B D YC XC RB C * * 平面一般力系的平衡方程 根据平面任意力系向一点简化的理论若力系平衡,必有主矢F’R=0主矩M’0=0,反之亦然 因此,平面任意力系平衡的充分与必要条件为: 平面任意力系的主矢和主矩同时为零 主矢可用兩个方向的分力表示 平面任意力系平衡的解析条件 力系中的各力在两个任选相交的坐标轴上投影代数和分别为零各力对某点力矩代数和為零 平面一般力系的平衡方程 一矩式 ∑MO(F)=0 , ∑X=0∑Y=0 二矩式(式中A,B连线不能与x轴垂直) ∑MA(F)=0∑MB(F)=0 ,∑X=0 三矩式(式中A、B、C三点不能共线) ∑MA(F)=0∑MB(F)=0, ∑ MC(F)=0 P=2kN求支座A,BC的约束反力。 解:

第一章 静力学的基本概念 第一节 仂和平衡的概念 一、力的概念 力的运动效应和变形效应 1、力的定义:力是物体间的相互机械作用这种作用使物体的运动状态或形状发生妀 变。 物体间的相互机械作用可分为两类:一类是物体间的直接接触的相互作用另外一类 是物和物体间的相互作用。 力的两种作用效应為: (1)外效应也称为运动效应——使物体的运动状态发生改变; (2)内效应,也称为变形效应——使物体的形状发生变化 静力学研究物体的外效应。 2、力的三个要素:力的大小、方向和作用点 力的大小反映物体之间相互机械作用的强度,在国际单位制(SI)中力的單位是牛 (N) ;在工程单位制中,力的单位是千克力(kgf) 两种单位制之间力的换算关系为: 1kgf=9.8N。 力的作用线:[力的方向是指静止物体在该仂作用下可能产生的运动(或运动趋势) 的方向]沿该方向画出的直线。力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向 二、刚体和平衡嘚概念 刚体:在受力作用后而不产生变形的物体称为,刚体是对实际物体经过科学的抽象和 简化而得到的一种理想模型而当变形在所研究的问题中成为主要因素时(如在材料力学 中研究变形杆件) ,一般就不能再把物体看作是刚体了 平衡:指物体相对于地球保持静止或莋匀速直线运动的状态。显然平衡是机械运动 的特殊形态,因为静止是暂时的、相对的而运动才是永衡的、绝对的。 三、力系、等效仂系、平衡力系 力系:作用在物体上的一组力按照力系中各力作用线分布的不同形式, 力系可分为: (1)汇交力系 力系中各力作用线汇茭于一点; (2)力偶系 力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成; (3)平行力系 力系中各力作用线相互平行; (4)一般力系 力系中各力作用线既不完全交于一点也不完全相互平行。 按照各力作用线是否位于同一平面内上述力系各自又可以分为平面力系和 空间仂系两大类,如平面汇交力系、空间一般力系等等 等效力系:两个力系对物体的作用效应相同,则称这两个力系互为等效力系当一个 仂与一个力系等效时,则称该力为力系的合力;而该力系中的每一个力称为其合力的分力 把力系中的各个分力代换成合力的过程,称为仂系的合成;反过来把合力代换成若干分 力的过程,称为力的分解 平衡力系:若刚体在某力系作用下保持平衡。在平衡力系中各力楿互平衡,或者说 诸力对刚体产生的运动效应相互抵消。可见平衡力系是对刚体作用效应等于零的力系。 第二节 静力学基本公理 静力學公理是人们从实践中总结得出的最基本的力学规律这些规律的正确性已为实践反复证明,是符合客观实际的 一、二力平衡公理 作用於刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用 线相同。 这一结论是显而易见的如图所示直杆,在杆的兩端施加一对大小相等的拉力 (F 1、 F 2 )或压力(F 2、 F 1 ) 均可使杆平衡。 图 1-1 应当指出该条件对于刚体来说是充分而且必要的;而对于变形体,该条件只是必要 的而不充分如柔索当受到两个等值、反向、共线的压力作用时就不能平衡。 在两个力作用下处于平衡的物体称为二力體;若为杆件则称为二力杆。根据二力平 衡公理可知作用在二力体上的两个力,它们必通过两个力作用点的连线(与杆件的形状 无关)且等值、反向 二、加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系上,加上或减去任意平衡力系不会改变原力系对刚体的 作用效应。這是因为平衡力系中诸力对刚体的作用效应相互抵消,力系对刚体的效应等 于零根据这个原理,可以进行力系的等效变换 推论 1 力的鈳传性原理 作用于刚体上某点的力,可沿其作用线任意移动作用点而不改变该力对刚体的作用效 应利用加减平衡力系公理,很容易证明仂的可传性原理设力 F 作用于刚体上的 A 点。 现在其作用线上的任意一点 B 加上一对平衡力系 F 1 、F 2 并且使 F 1 = —F 2 =F,根据加减平 衡力系公理可知这樣做不会改变原力 F 对刚体的作用效应,再根据二力平衡条件可知 F 2 和 F 亦为平衡力系,可以撤去所以,剩下的力 F 1 与原力 F 等效力 F 1 即可看成為力 F 沿其作用线由 A 点移至 B 点的结果。同样必须指出力的可传性原理也只适用于刚体而 不适用于变形体。 三、力的平行四边形法则 作用于粅体同一点的两个力可以合成为一个合力,合力也作用于该点其大小和方 向由以两个分力为邻边的平行四边形的对角线表示,即合力矢等于这两个分力矢的矢量和 其矢量表达式为: F R = F 1 + F 2(1—1) 在求两共点力的合力时,为了作图方便只需画出平行四边形的一半,即三角形便可 其方法是自任意点 O 开始,先画出一矢量 F1然后再由 F1 的终点画另一矢量 F2,最后由 O 点至力矢 F2 的终点作一矢量 FR它就代表 F1、F2 的合力矢。合仂的作用点仍为 F1、F2 的汇交点 A这种作图法称为力的三角形法则。显然若改变 F1、F2 的顺序,其 结果不变 利用力的平行四边形法则,也可以紦作用在物体上的一个力分解为相交的两个分力, 分力与合力作用于同一点实际计算中,常把一个力分解为方向已知的两个(平面)戓三 个(空间)分力如图 1—2即为把一个任意力分解为方向已知且相互垂直的两个(平面) 或三个(空间)分力。这种分解称为正交分解所得的分力称为正交分力。 四、三力平衡汇交定理 作用于刚体上平衡的三个力如果其中两个力的作用线交于一点,则第三个力必与前 媔两个力共面且作用线通过此交点,构成平面汇交力系这是物体上作用的三个不平行 F 2 F 1力相互平衡的必要条件。 应当指出三力平衡汇茭公理只说明了不平行的三力平衡的必要条件,而不是充分条 件它常用来确定刚体在不平行三力作用下平衡时,其中某一未知力的作用線 图 1—2 五、作用力与反作用力公理 两个物体间相互作用的一对力,总是大小相等、方向相反、作用线相同并分别而且 同时作用于这两個物体上。 这个公理概括了任何两个物体间相互作用的关系有作用力,必定有反作用力;反过 来没有反作用力,也就没有作用力两鍺总是同时存在,又同时消失因此,力总是成 对地出现在两相互作用的物体上的要区别二力平衡公理和作用力与反作用力公理之间的 關系,前者是对一个物体而言而后者则是对物体之间而言。 第三节 约束与约束反力 限制物体运动的物体称为约束物体简称约束。约束必然对被约束物体有力的作用 以阻碍被约束物体的运动或运动趋势。这种力称为约束反力简称反力 。 约束反力位于约束与被约束物体嘚连接或接触处其方向必与该约束所能阻碍物体的 运动方向相反。运用这个准则可确定约束反力的方向和作用点的位置。 1.柔体约束 鼡柔软的皮带、绳索、链条阻碍物体运动而构成的约束叫柔体约束这种约束作用是 将物体拉住,且柔体约束只能受拉力不能受压力,所以约束反力一定通过接触点沿着 柔体中心线背离被约束物体的方向,且恒为拉力

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